गणित Chapter 5 समांतर श्रेणी

पहले किमी. का किराया  = 15 रु. = a₁
दूसरे किमी. का किराया = 15 + 8 = 23 रु. = a₂
तीसरे किमी. का किराया = 23 + 8 = 31 रु. = a₃
चौथे किमी. का किराया = 31 + 8 = 39 रु. = a₄
a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
a₄ – a₃ = 39 – 31 = 8
इस प्रकार बानी संख्यायों की सूचि : 15, 23, 31, ... जो की एक A.P. बनाती है जिसमें प्रत्येक अगला पद उससे पिछले पद में 8 जोड़ने से प्राप्त होता है।

माना सिलिंडर में वायु का आयतन = 1l
प्रत्येक बार पंप बची हुई वायु का  भाग निकाल देता है।
बानी संख्याओं की सूचि है:  जो कि एक A.P. नहीं है।

कुआँ खोदने के लिए पहले मीटर का खर्च = 150 रु. = a₁
कुआँ खोदने के लिए दूसरे मीटर का खर्च = 150 + 50 = 200 रु. = a₂
कुआँ खोदने के लिए तीसरे मीटर का खर्च = 200 + 50 = 250 रु. = a₃
कुआँ खोदने के लिए चौथे मीटर का खर्च = 250 + 50 = 300 रु. = a₄
सार्व-अन्तर:
a₂ – a₄ = 200 - 150 = 50 रु.
a₃ – a₂ = 250 - 200 = 50 रु.
a₄ – a₃ = 300 - 250 = 50 रु.
अत: बानी संख्यों की सूची: 150, 200, 250, 300, ... जो कि एक A.P. है जिसका प्रथम पद 150 है और सार्व-अन्तर 50 है।

a = 10, d = 10
पहला पद = a = 10
दूसरा पद = 18 + d = 10+ 10 = 20
तीसरा पद = 20 + d = 20 + 10 = 30
चौथा पद = 30 + d = 30 + 10 = 40
अत: अभीष्ट A.P. है: 10, 20, 30, 40, ...

a = –2_, d = 0
पहला पद = a = – 2
दूसरा पद = –2 + d = –2 + 0 = –2
तीसरा पद = –2 + d = –2 + 0 = –2
चौथा पद = –2 + d = –2 + 0 = –2
अत: अभीष्ट A.P. है: -2, -2, -2, -2

a = 4, d = –3
पहला पद = a = 4
दूसरा पद = 4 + d = 4 + (–3) = 1
तीसरा पद = 1 + d = 1 + (–3) = –2
चौथा पद = –2 + d = –2 + (–3) = –5
अत: अभीष्ट A.P. है: 4, 1, -2, -5

a = – 1, d = 
पहला पद = a = -1
दूसरा पद 
तीसरा पद 
चौथा पद 
अत: अभीष्ट A.P. है: 

a = –1.25, d = –0.25
पहला पद = a = –1.25
दूसरा पद = –1.25 + d
= – 1.25 + (–0.25)
= –1.50
तीसरा पद = – 1.50 + d
= – 1.50 + (–0.25)
= – 1.75
चौथा पद = – 1.75 + d
= – 1.75 + (–0.25)
= –2.00
अत: अभीष्ट A.P. है: -1.25, -0.50, -1.75, -2.00, ...

3, 1, -1, -3
प्रथम पद, a₁ = 3
सार्व अंतर, d = 1 - 3 = -2n

–5, –1, 3, 7, ...
प्रथम पद, a₁ = –5
सार्व अंतर d = –1 – (–5) = –1 + 5 = 4

प्रथम पद, a₁ = 
सार्व अंतर d = 

0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ...
प्रथम पद, a₁ = 0.6
सार्व अंतर, d = 1.7 - 0.6 = 1.1

2, 4, 8, 16, ...
a₂ - a₁ = 4 - 2 = 2
a₃ - a₂ = 8 - 4 = 4
a₄ - a₃  = 16 - 8 = 8
a₂ - a₁  a₃ - a₂
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं हैं।

–1.2, –3.2, –5.2, –7.2
a₂ – a₁ = –3.2 – (–1.2)
= –3.2 + 1.2
= –2.0
a₃ – a₂ = –5.2 – (–3.2)
= –5.2 + 3.2
= –2.0
a₄ – a₃
= –7.2 – (–5.2)
= –7.2 + 5.2
= –2.0
सार्व अंतर, d = – 2.0
अगले तीन पद:
a₅ = – 7.2 + (–2.0) = –9.2
a₆ = –9.2 + (–2.0) = –11.2
a₇ = –11.2 + (–2.0) = –13.2

–10, –6, –2, 2, ...
a₂ – a₁ = – 6 – (–10)
= –6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = –2 – (–6)
= –2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (–2)
= 2 + 2 = 4
सार्व अंतर, d = 4
अगले तीन पद:
a₅ = 2 + 4 = 6
a₆ = 6 + 4= 10
a₇ = 10 + 4 = 14

0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ...
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं हैं।

0, –4, –8, –12, ...
a₂ – a₁ = –4 – 0 = –4
a₃ – a₂ = – 8 – (–4)
= – 8 + 4 = –4
a₄ – a₃ = –12 – (–8) = –12 + 8 = –4
सार्व अंतर, d = –4
अगले तीन पद:
a₅ = – 12 + (–4) = –12 – 4 = –16
a₆ = – 16 + (–4) = –16 – 4 = –20
a₇ = – 20 + (–4) = –20 – 4 = –24

सार्व अंतर, d = 0
अगले तीन पद:

1, 3, 9, 27, ...
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं हैं।

a, 2a, 3a, 4a, ...
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
सार्व अंतर, d = a
अगले तीन पद:
a₅ = 4a + a = 5a
a₆ = 5a + a = 6a
a₇ = 6a + a = 7a

a, a², a³, a⁴, ...
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a² (a – 1)
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं हैं।

1², 5², 7², 73, ...
a₂ - a₁ = 5² – 1² = (5 – 1) (5 + 1)
= (4) (6) = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = (7 – 5) (7 + 5)
= (2) (12) = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
सार्व अंतर, d = 24
अगले तीन पद:
a₅ = 73 + 24 = 97
a₆ = 97 + 24 = 121
a₇ = 121 + 24 = 145

 a_n = a + (n - 1)d
⇒ a_n = 7 + (8 - 1)3
⇒ a_n = 7 + 21
⇒ a_n = 28
(ii) a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = -18 + (10 - 1)d
⇒ 18 = 9d
⇒ 
(iii) a_n = a + (n - 1)d
⇒ -5 = a + (18 - 1)(-3)
⇒ -5 = a - 51
⇒ a = 51 - 5
⇒ a = 46
(iv) a_n = a + (n - 1)d
⇒ 3.6 = -18.9 + (n - 1)(2.5)
⇒ 3.6 + 18.9 = (n - 1)(2.5)
⇒ 22.5 = (n - 1)(2.5)
⇒ 
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 9 + 1
⇒ n = 10
(v) a_n = a + (n - 1)d
⇒ a_n = 3.5 + (105 - 1)0
⇒ a_n = 3.5

C.

-77

A. P.   10, 7, 4, ...
a = 10
d = 7 - 10 = -3
n = 30
a_n = a + (n - 1) d
a₃₀ = 10 + (30 - 1) (-3)
 a₃₀ = 10 - 87
 a₃₀ = -77
तो सही उत्तर है (C) = - 77

B.

22

A. P.
यहाँ, a = - 3

n = 11
a_n = a + (n - 1) d

सही उत्तर है = (B) 22

A.P. का माना सार्व अंतर = d
तीसरा पद = 2 + d + d= 2 + 2d
प्रश्नानुसार,
2 + 2d = 26
 2d = 26 - 2
 2d = 24

तो, दूसरा पद = 2 + d = 2 + 12 = 14

माना A.P. का प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
दूसरा पद = 13
⇒ a + (2 – 1) d = 13
⇒ a + d = 13 ...(i)
चौथा पद = 3
⇒ a+ (4 – 1)d = 3
⇒ a + 3d = 3 ...(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
2d = -10
d = -5
तो, a = 18
तो,
तीसरा पद = a + (3 – 1)d
= a + 2d
= 18 + 2 ( – 5 )
= 18 – 10 = 8

माना A.P. का सार्व अंतर = d
a = - 4
6वाँ पद = 6

इसलिए,
दूसरा पद = - 4 + 2 = - 2
तीसरा पद = - 2 + 2 = 0
चौथा पद = 0 + 2 = 2
पाँचवाँ = 2 + 2 = 4

माना A.P. का प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
दूसरा पद = 38
⇒ a + (2 – 1)d = 38
[ ∴ a_n = a + (n – 1) d ]
⇒ a + d = 38 ...(i)
⇒ 6वाँ पद = – 22
⇒ a + (6 – 1 )d = – 22
⇒ a + 5d = – 22 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर
a = 53 d = – 15
इसलिए,
तीसरा पद = 53 + (3 – 1 (– 5))
[ ∵ a_n = a + (n – 1) d ] = 53 – 30 = 23
चौथा पद = 53 + (4 – 1) (– 15)
[ ∵ a_n = a + (n – 1) d ] = 8
पाँचवाँ पद = 53 + (5 – 1) (– 15)
[ ∵ = a + (n – 1) d ] = – 7

A. P. : 3, 8, 13, 18, ...
यहाँ, a = 3
d = 8 - 3 = 5
nवाँ पद = 78
तब, a_n = a + (n - 1)d
 78 = 3 + (n - 1) (5)
⇒ 5(n - 1) = 78 - 3
⇒ 5 (n - 1) = 75
       
⇒ n - 1 = 15
⇒ n = 15 + 1
⇒ n = 16
अत: A.P. का 16वाँ पद 78 है।

7, 13, 19, ... , 205
यहाँ, a = 7
d = 13 - 7 = 6
a_n = 205
माना पदों की संख्या = n
तब, a_n = 205
 a + ( n - 1) d = 205
 7 + ( n - 1)6 = 205
 6(n - 1) = 205 - 7
 6(n - 1) = 198

 n - 1 = 33
 n = 33 + 1
 n = 34
अत: दी हुई A.P. में 34 पद हैं।

11, 8, 5, 2, ...
a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3
a₃ – a₂ = 5 – 8 = – 3
a₄ – a₃ = 2 – 5 = – 3

a_{n + 1} - a_n समान हैं, इसलिए दी हुई श्रेढ़ी A.P. है।
अब, a₁ = 11
d = - 3
मान (- 150) दी हुई A.P. का nवाँ पद है।

तब, a_n = - 150
 a + (n - 1)d = - 150
 11 + (n - 1) (- 3) = - 150
- 3(n - 1 ) = - 150 - 11
 - 3(n - 1) = -161
 - 3(n - 1) = - 161
 3(n - 1) = 161

परन्तु n एक धन पूर्णांक होना चाहिए। इसलिए, हमारी कल्पना गलत है, अत: (- 150) दी गई A.P. का एक पद नहीं है।

यहाँ, a₁₁ = 38,  a₁₆ = 38
a₁₁ = a + 10d = 38    ... (i)
a₁₆ = a + 15d = 73    ... (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) घटाने पर
5d = 35

d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a + 10 x 7 = 38
a = 38 - 70 = - 32
a_n = a + (n - 1)d
a₃₁ = a + (31 - 1)d
a₃₁ = - 32 + 30 x 7
a₃₁ = - 32 + 210
a₃₁ = 178

a₃ = 12
a_n = 106,  n = 50
a₃ = a + 2d = 12    ... (i)
a_n = a + (n - 1)d = 106
⇒ a + (50 - 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106    ... (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
47d = 106 - 12 = 94

d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a + 2 x 2 = 12
⇒ a = 12 - 4 = 8
a₂₉ = a + (29 - 1)d
a₂₉ = 8 + 28 x 2
a₂₉ = 8 + 56 = 64

यहाँ, a₃  = 4
a₉ = - 8
माना nवाँ पद शून्य है
a₃ = a + 2d = 4    ... (i)
a₉ = a + 8d = - 8    ... (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
6d = - 8 - 4 = - 12
⇒  d = 
d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a + 2 x ( -2 ) = 4
⇒  a₁ = 4 + 4 = 8
a_n = a₁ + (n - 1)d
⇒  0 = 8 + (n - 1) x ( -2 )
⇒  2 x (n - 1) = 8
⇒  n - 1 = 
⇒  n = 4 + 1 = 5
अत: दी गई A.P. का 5वाँ पद शून्य है।

a₁₇ = a + 16d
a₁₀ = a + 9d
प्रश्नानुसार,
a₁₇ – a₁₀ = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ a + 16d – a – 9d = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
अत: सार्व अंतर d = 1 है।

A.P. : 3, 15,27,39 ...
यहाँ, a₁ = 3, a₂ = 15
a₃ = 27, a₄ = 39
d = a₂ – a₁ = 15 – 3 = 12
a₅₄ = a (54 – 1)d
= 3 + 53 x 12
= 3 + 636 = 639
माना इसका nवाँ पद  54वें पद से 132 अधिक है,
a_n = a + (n - 1)d
a₅₄ + 132 =  a + (n - 1)d
 639 + 132 = 3 + (n - 1) x 12
 771 - 3 = 12(n - 1)
 768 = 12(n - 1)

माना सार्व अंतर = d
पहली श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
दूसरी श्रेढ़ी का प्रथम पद = b
तब, पहली श्रेढ़ी का 100वाँ पद = a + 99d
दूसरी श्रेढ़ी का 100वाँ पद = b + 99d
उनके वें पदों में अंतर = 100   [ दिया है ]
⇒ (a + 99d) – (b + 99d) = 100
⇒ a – b = 100    ...(i)
पहली श्रेढ़ी का a₁₀₀₀ = a + 999d
दूसरी श्रेढ़ी का a₁₀₀₀ = b + 999d
अत: उनके 1000वें पदों का अंतर = (a + 999d) (b + 999d) = a – b
= 100   [ (i) द्वारा ]

10  और 250 के बीच 4  के गुणज हैं: 12, 16, 20, ..., 248
यहाँ, a = 12
d = 16 - 12 = 4
a_n = 248
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 248 = 12 + (n - 1) x 4
⇒ 248 - 12 = (n - 1) x 4
⇒ 236 = (n - 1) x 4
⇒ n - 1 = 
⇒ n = 59 + 1 = 60
अत: 4 के 60 गुणज 10 और 250 के बीच स्थित हैं।

दी गई A.P. 63, 65, 67, ... और 3, 10, 17, ... हैं
यहाँ, a₁ = 63, a₂ = 65, a₃ = 67
और  b₁ = 3, b₂ = 10, b₃ = 17
माना d₁ और d₂ क्रमश: दोनों A.P. के सार्व अंतर हैं
तब,
d₁ = 65 – 63 = 67 – 65 = 2
d₂ = 10 – 3 = 17 – 10 = 7
अब, पहली A.P. का nवाँ पद = a₁ + (n – 1)d₁

दूसरी A.P. का nवाँ पद = b₁ + (n – 1 )d₂
∵ दोनों A.P. के nवें पद समान हैं

 63 + (n - 1) x 2 = 3 + (n - 1) x 7
 63 + 2n -2 = 3 + 7n - 7
 2n + 61 = 7n - 4
 7n - 2n = 61 + 4
 5n = 65
 
अत: n का अभीष्ट मान = 13

3, 8, 13, ..., 253
यहाँ, a = 3
d = 5
l = 253
n = 20
l – (n – 1)d द्वारा आखरी पद से वाँ पद होगा
= 253 – (20 – 1)5
= 253 – (19 x 5)
= 253 – 95 = 158

a₄ + a₈ = 24
⇒ a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 ...(i)
a₆ + a₁₀ = 44
⇒ a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 ...(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ a + 7d – a – 5d = 10
⇒ 2d = 10
⇒ d = 5
d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a₁ + 5 x 5 = 12
a₁ = 12 - 25 = - 13
a₂ = - 13 + 5 = - 8
a₃ = - 8 + 5 = - 3

5000, 5200, 5400, 5600, ...
यहाँ, a = 5000, d = 200, a_n = 7000
a_n = a + (n – 1) d
⇒ 7000 = 5000 + (n – 1) 200
⇒ 7000 = 5000 + 200n – 200
⇒ 7000 = 4800 + 200n
⇒ 200n = 2200
⇒ n = 11
11 वर्ष बाद अर्थात 2006 में उसकी आय 7000 रु हो जाएगी।

5, 6.75, 8.50, 10.25, ..., 20.75
यहाँ, a = 5, d = 1.75, a_n = 20.75
a_n = a + (n - 1) d
 20.75 = 5 + (n - 1) (1.75)
 20.72 = 5 + 1.75 n - 1.75
 20.75 = 1.75 n + 3.25
 1.75n = 17.5
   
n = 10
अत: 10वें सप्ताह में उसकी बचत 20.75 रु होगी।

यहाँ, a = 2
d = 7 – 2 = 12 – 7 = 5
n = 10

= 5 x [4 + 9 x 5]
= 5 x [4 + 45]
= 5 x 49 = 245
अत: दी गई A.P. के प्रथम पदों का योगफल = 245

यहाँ, a = – 31
d = – 33 – (– 37)
= – 33 + 37 = 4
n = 12

= 6 [ - 74 + 11 x 4 ]
= 6 x [ - 74 + 44 ]
= 6 x ( - 30 ) = - 180
अत: दी गई A.P. के प्रथम 12 पदों का योगफल = – 180

यहाँ, a = 0.6
d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100

= 50 x [ 2 x 0.6 + (100 - 1) x 1.1 ]
= 50 x [ 1.2 + 108.9 ]
= 50 x 110.1 = 5505.0
अत: दी गई A.P. के प्रथम 100 पदों का योगफल = 5505

यहाँ,

n =11
 
  अत: दी गई A.P. के प्रथम 11 पदों का योगफल = 

a = 34, d = – 2, a_n = 10 = l
a_n = a + (n – 1)
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (–2)
⇒ 10 = 34 –2n + 2
⇒ 10 = 36 – 2n
⇒ –26 = –2n ⇒ n = 13

a = - 5,  d = - 3, a_n = - 230 = l
a_n = a + (n - 1)d
⇒ - 230 = - 5 + (n - 1) ( -3 )
⇒ - 230 = - 5 - 3n + 3
⇒ - 230 = - 2 - 3n
⇒ - 228 = - 3n
⇒ n = 

यहाँ, a = 5, d = 3, a_n = 50
a_n = a + (n – 1 )d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) x 3
⇒ 50 – 5 = 3 x (n – 1)
⇒ 45 = 3 x (n – 1)

= 8 x [ 10 + 15 x 3]
= 8 x 10 + 45
= 8 x 55 = 440
n = 16
S_n = S₁₆ = 440

यहाँ,  a = 7, a₁₃ =35
a_n = a + (n - 1)d
 a₁₃ = 7 + (13 - 1)d
 35 = 7 + 12d
 35 - 7 = 12d
 12d = 28

यहाँ,    a₁₂ = 37,   d= 3
a_n = a + (n - 1)d
 a₁₂ = a + (12 - 1) x 3
 37 = a + 11 x 3
 a = 37 - 33 = 4
 

यहाँ,  a₃ = 15
S₁₀  = 125

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर
5d = - 5

d का मान समीकरण (ii) में रखने पर

यहाँ,  d = 5, S₉ = 75

यहाँ,    a = 2, d = 8, S_n = 90
S_n =  [ 2 x 2 + (n - 1) d ]
 180 = n [ 2 x 2 (n - 1) x 8 ]
 180 = n ( 8n - 4 )
 180 = 8n² - 4n
 8n² - 4n - 180 = 0
 2n² - n - 45 = 0
 2n ( n - 5 ) ( 2n + 9 ) = 0
 n - 5 = 0,   2n + 9 = 0
 n = 5,   n = 
परन्तु पदों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती

a₅ = a+ 4d
= 2 + 4 + 8
अत:,   n = 5,   a_n = 34

यहाँ, a = 8
a_n = 62
S_n = 210
a_n = a + (n - 1)d
 62 - 8 = (n - 1)d
 54 = (n -d)d    ...(i)
S_n =  [ 2a - (n - 1) d ]
 210 = [ 2 x 8 + (n - 1) d ]
 420 = n [ 16 +(n - 1) d ]   ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
420  = n [ 16 + 54 ]
 420 = 70n

n का मान समीकरण (i) में रखने पर
54 = (6 - 1) x d
 5d = 54
 d = 
अत:, n = 6,   d = 

यहाँ,  a_n = 4,     d = 2
S_n = – 14  
a_n  = a + (n - 1)d
⇒ 4 = a + (n - 1) x 2
⇒ 4 = a + 2n - 2
⇒ a + 2n = 6  a = 6 - 2 n    ... (i)
S_n =  [ 2a + ( n - 1 ) d ]
⇒ - 14 =  [ 2a + ( n - 1 ) x 2 ]
⇒ - 28 = n [ 2a + 2 ( n - 1 ) ]
⇒ - 28 = 2n [ a + ( n - 1 ) ]
⇒ - 14 = n [ a + ( n - 1 ) ]     ... (ii)
a का नाम समीकरण (ii) में रखने पर

– 14 = n [ 6 – 2n + n – 1 ]
⇒ – 14 = n [ 5 – n ]
⇒ – 14 = 5n – n²
⇒ n² – 5n – 14 = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n – 7 = 0,   n + 2 = 0
⇒ n = 7,   n = – 2
परन्तु n ऋणात्मक नहीं हो सकता। ∴ n = 7
n का समीकरण (i) में रखने पर
a + 2 x 7 = 6
⇒ a = 6 – 14 = – 8
यहाँ, n = 7,   a = – 8

यहाँ, a = 3, n = 8
S = 192  


 6 +7d = 48

अत:, d = 6

यहाँ, l = 28, S = 144
n = 9
l = a + (n – 1)d
28 = a + (9 – 1)d
⇒ 28 = a + 8d ...(i)


 32 = 2( a + 4d )
 a + 4d = 16         ... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर,
a = 32 - 28 = 4
अत:,  a = 4

a = 9
d = 17 - 9 = 8
S_n = 636
S_n =  [ 2a + (n - 1) d ]
⇒ 636 =  [ 2 x 9 + (n - 1) x 8 ]
=  [ 18 + 8 (n - 1) ]
= n [ 5 + 4n - 4 ]
= n [ 5 + 4n ] = 5n + 4n²
⇒ 4n² + 5n - 636 = 0
द्विघात सूत्र का प्रयोग करने पर,

परन्तु पदों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती
n = 12
अत: पदों की संख्या 12 है।

यहाँ, a = 5, l = 45, S = 400

यहाँ,  a = 17,  l = 350,   d = 9
l = a + (n - 1)d
 350 = 17 + (n - 1) x 9
 350 - 17 = 9 x (n - 1)
 333 = 9 x (n - 1)
 n - 1 = 
 ⇒  n = 37 + 1 = 38
अत:,   A.P. में 28 पद हैं।

= 19 x 367 = 6973

यहाँ, n = 51, a₂ = 14, a₃ = 18
d = a₃ – a₂ = 18 – 14 = 4, a₂ = a + d
⇒ 14 = a + 4
⇒ a = 14 – 4 = 10

यहाँ, S₇ = 49
S₁₇ = 289

a_n = 3 + 4n   ... (i)
a₁ = 3 + 4(1) = 3 + 4 = 7
a₂  = 3 + 4 (2) = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
7, 11, 15, ...
यहाँ, a = 7,  d = 4,  n = 15

अत: दी गई के प्रथम 15 पदों का योगफल = 525

a_n = 9 – 5n
a₁ = 9 – 5(1) = 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 (2) = 9 – 10 = –1
and a₃ = 9 – 5(3) = 9 – 15 = –6
4, –1,–6, –11, ...
यहाँ, a = 4, d = – 5, n = 15

पहले n पदों का योग = 4n – n²
⇒ S_n = 4n – n²
जब, n = 1,
S₁ = 4(1) – (1)² = 4 – 1 = 3
⇒ d₁ = 3
पहला पद =
n = 2
S₂ = 4(2) – (2)²
= 8 – 4 = 4
दूसरा पद = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
n = 3
S₃ = 4(3) – (3)²
= 12 – 9 = 3
तीसरा पद = S₃ – S₂ = 3 – 4 = – 1
n = 9, 10
S₉= 4(9) – (9)²
= 36 – 81 = – 45
S₁₀ = 4(10) – (10)²
= 40 – 100 = – 60
∴ 10वाँ पद = S₁₀ – S₉
= – 60 – (– 45)
= – 60 + 45 = – 15
S_{n – 1} = 4(n – 1) – (n – 1)²
= (4n – 4) – (n² + 1 – 2n)
= 4n – 4 – n² – 1 + 2n
= 6n – n² – 5
∴ nवाँ पद = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
= 5 –2n

6 से विभाज्य धन पूर्णांक 6. 12, 18, 24, ... जो कि एक A.P. बनाते हैं।
यहाँ, a = 6, d = 6, n = 40

8 के गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, ... जो की एक A.P. बनाते है।
यहाँ,  a = 8, d = 16 – 8 = 8, n = 15

8 के प्रथम 15 गुणजों का योग = 960

0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ
1, 3, 5, 7, ... जो की एक A.P. बनाते हैं।
यहाँ,  a = 1, d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 49 = 1 + (n - 1) x 2
⇒ 49 - 1 = 2 x (n - 1)
⇒ 48 = 2 x (n - 1 )
⇒ n - 1 = 
⇒ n = 24 + 1 = 25

यहाँ, a₁ = 200, a₂ = 250
a₃ = 300, d = 50, n = 30

सार्व अंतर = (a – 20) – a = – 20, n = 7,  S_n = 700

पहला इनाम = 160 रु
दूसरा इनाम = 160 - 20 = 140 रु
तीसरा इनाम = 140 - 20 = 120 रु
चौथा इनाम = 120 - 20 = 100 रु
पाँचवाँ इनाम = 100 - 20 = 80 रु
छठा इनाम = 80 - 20 = 60 रु
सातवाँ इनाम = 60 - 20 = 40 रु

पहली कक्षा के तीन सैक्शन वृक्ष लगाएंगें = 1 x 3 = 3
दूसरी कक्षा के तीन सैक्शन वृक्ष लगाएंगें = 2 x 3 = 6
तीसरी कक्षा के तीन सैक्शन वृक्ष लगाएंगें = 3 x 3 = 9 ...
12वीं कक्षा के तीन सैक्शन वृक्ष लगाएंगें = 12 x 3 = 36
A .P. : 3, 6, 9, ..., 36
यहाँ,  a =  3
d = 6 - 3 = 3
a_n = 36
a_n = a +(n -1) d
 36 = 3 + (n - 1)d
 36 = 3 + (n - 1) x 3
 36 - 3 = 3 x (n - 1)
 33 = 3 x (n - 1)

अत: विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल वृक्ष = 234

हम जानते हैं कि
अर्द्धवृत की लंबाई = πr

l₁ = π x 0.5 cm
l₂ = π x 1.0 cm
l₃ = π x 1.5 cm
l₄ = π x 2.0 cm इसी तरह
मान चक्राकार स्पिरिंग की कुल लंबाई l है जो कि तेरह अर्द्धवृत्तों से बना है

अत: वृत्ताकार स्पिरिंग की कुल लंबाई जो कि तेरह अर्द्धवृत्तों से बना है = 143 cm

सबसे नीचे की पंक्ति में = 20 लठ्ठे
अगली पनकी में = 19 लठ्ठे
उससे अगली पंक्ति में = 18 लठ्ठे
और इसी प्रकार आगे,
अत: 20, 19, 18, ... एक A.P. बनाते हैं।
यहाँ पर a₁ = 20, d = 19 – 20 = (– 1)
S_n = 200

अत: अभीष्ट पंक्तियों की संख्या 16 हैं और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में 5 लठ्ठे हैं।

पहले आलू को उठाने और टोकरी में डालने में तय की गई दूरी = 2 x 5 m
दूसरे आलू को उठाने और टोकरी में डालने में तय की गई दूरी = 2 x (5 + 3) m
तीसरे आलू को उठाने और टोकरी में डालने में तय की गई दूरी  = 2 x (5 + 6) m
खिलाडी द्वारा दौड़ क्र तय की गई दूरी = 2 x 5 + 2 x (5 + 3) + 2 x (5 + 6) + ... 10 पदों तक
= 10 + 16 + 22 + .... जो कि एक A.P. है
यहाँ, a = 10, d = 16 – 10 = 6,  n = 10

अत: खिलाडी द्वारा दौड़ कर कुल तय की गई दूरी = 370 m

Tips: -

[Hint : To pick up the first potato and the second potato, the total distance (in metres) run by a competitor is 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

A .P. is 121, 117, 113, ... यहाँ, a = 121
d = 117 – 121 = –4
माना nवाँ पद ऋणात्मक पर है अर्थात

अत: दी गई A.P. का 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।

माना एक A.P. का प्रथम पद a₁ तथा सार्व अंतर d है, तब,
प्रश्नानुसार,
a₃ = a₁ + 2d
a₇ = a₁ + 6d
a₃ + a₇ = a₁ 2d + a₁ + 6d
= 2a₁ 8d = 6   ... (i)
a₃ x a₇ = ( a₁ + 2d ) x ( a₁ + 6d )
= a₁² + 8a₁d + 12d² = 8    ... (ii)
a₁ + 4d = 3
a₁ = 3 - 4d     ... (iii)
a₁ का मान (ii) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
(3 - 4d)² + 8 (3 - 4d) d + 12d² = 8
⇒ 9 - 24d + 16d² + 24d - 32d² + 12d² = 8
⇒ -4d² + 1 = 0

d का मान (iii) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

अत: a₁₆ = 20 या 76 है।

डंडों की संख्या = 

यहाँ, a₁ = 45,  a_n = 25,  n = 10

= 5 x 70 = 350 cm
अत: डंडों के लिए अभीष्ट लकड़ी की लंबाई = 350 cm

माना मकानों के नंबर है: 1, 2, 3, ... 49 जो कि एक A.P. में हैं।
यहाँ, a = 1, d = 2 – 1 = 1
प्रश्नानुसार

पहली सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन =  m³
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन =  m³
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन =  m³
15वीं सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन =  m³
अत: टैरस को बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन =

प्रथम पद, a = 18
सार्व अंतर, d = 16 - 18 = -2
s_n = 0                       ........ दिया है,

परन्तु n शून्य नहीं हो सकता है। 
इसलिये, शब्दों की संख्या, n = 19

माना a और b दो संख्याएँ हैं जो पहली संख्या AP के समान हैं,
तब,

d = 1 mn समीकरण। ..(1) में डालते हैं, जो हमारे पास है,

सातवाँ पद a₇ = 4

a + 6d = 4 

हमें पता है की

a_n = a + (n-1) d

सार्व-अंतर (d) = -4

a + (-24) = 4
a = 4 + 24 = 28
इसलिए श्रेढ़ी का प्रथम पद 28 है।

3 के पहले 8 गुणक हैं

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

उपरोक्त अनुक्रम एक A.P. है।

a = 3, d = 3 और l = 24

$$\begin{gathered} S_n = \frac{n}{2} (a + l) \\ = \frac{8}{2} [ 3 + 24] \\ = 4 \left(27\right) \\ {S}_n = 108 \end{gathered}$$