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समांतर श्रेणी

Question
CBSEHHIMAH10010272
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केंद्र A से प्रारंभ हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ... वाले उत्तराखर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल बनाया गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? ( straight pi space equals space 22 over 7 लीजिए )

[ संकेत: क्रमश: केंद्रों A, B, A, B, ... वाले अर्द्धवृत्तों की लंबाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं। ]

Solution

हम जानते हैं कि
अर्द्धवृत की लंबाई = πr

l1 = π x 0.5 cm
l2 = π x 1.0 cm
l3 = π x 1.5 cm
l4 = π x 2.0 cm इसी तरह
मान चक्राकार स्पिरिंग की कुल लंबाई l है जो कि तेरह अर्द्धवृत्तों से बना है
therefore space straight l space equals space straight l subscript 1 space plus space straight l subscript 2 space plus space straight l subscript 3 space plus space... space straight l subscript 13 equals space straight pi space straight x space 0.5 space plus space straight pi space straight x space 1.0 space plus space straight pi space straight x space 1.5 space plus space... space plus space straight pi space left curly bracket space 0.5 space plus space left parenthesis space 13 space minus space 1 space right parenthesis space 0.5 space right curly bracket left square bracket space because space straight a subscript straight n space equals space straight a space plus space left parenthesis straight n space minus space 1 right parenthesis space straight d space right square bracket equals space straight pi space left square bracket space 0.5 space plus space 1.0 space plus space 1.5 space plus space... space plus space left parenthesis space 0.5 space plus space 12 space straight x space 0.5 space right parenthesis space right square bracket equals space straight pi space left square bracket space 0.5 space plus space 1.0 space plus space 1.5 space plus space... space plus space left parenthesis space 00.5 space plus space 6.0 space right parenthesis space right square bracket equals space 22 over 7 space left square bracket space 0.5 space plus space 1.0 space plus space 1.5 space plus space... space plus space 6.5 space right square bracket equals space 22 over 7 space straight x space 13 over 2 space left square bracket space 0.5 space straight x space 6.5 space right square bracket space space space space open square brackets space because space straight S subscript straight n space equals space straight n over 2 space left curly bracket space straight a space plus space straight l space right curly bracket space close square brackets equals space 22 over 7 space straight x space 13 over 2 space straight x space 7 space equals space 143 space cm
अत: वृत्ताकार स्पिरिंग की कुल लंबाई जो कि तेरह अर्द्धवृत्तों से बना है = 143 cm

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निम्नलिखित स्थितिओं में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूचि A.P. है और क्यों?
प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर कुआँ खोदने में आई लागत 150 रु. है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत 50 रु. बढ़ती जाती है।

दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अन्तर d निम्नलिखित है:
a = 10, d = 10

दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अन्तर d निम्नलिखित है:
a = – 2, d = 0

दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अन्तर d निम्नलिखित है:
a = 4, d = – 3

दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अन्तर d निम्नलिखित है:
a = – 1.25, d = – 0.25

निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:
3, 1, – 1, – 3, ...

निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:
– 5, – 1, 3, 7, ...

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