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निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप आकृतियाँ (ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
समरूप: वर्ग, वृत्त, समबाहु त्रिभुज।
विषमरूप: आयत, अन्य त्रिभुज।
नहीं है। क्योंकि कोणों का माप समान नहीं है।
है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:
[ दिया है ]
[ दिया है ]
किसी 
की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm. PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm. PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
किसी की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या है:औरऔरऔर
हाँ, क्योंकि PQ:PR=PE:PF
हाँ, क्योंकि PQ:PR=PE:PF
है।
यह सिद्ध हुआ
है।
यह सिद्ध हुआ
...(i)
...(ii)
...(i)
...(ii)
है।
है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
...(ii)
(i) ∆ABC और ∆PQR में,
∆ABC ~ ∆PQR
(ii) ∆ABC और ∆QRP में,
∴ 
(iii) समरूप नहीं है।
(iv) ∆MNL और ∆QPR में,
और 
∴ ∆MNL ~ ∆QPR
समरूप नहीं है।
(v) समरूप नहीं है।
(vi) ∆DEF और ∆PQR में,
∴ ∆DEF ~ ∆PQR
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आकृति में ∆ODC~∆OBA, 
= 125° और 
= 70° है। 
ज्ञात कीजिए।
∆DOC में,
[त्रिभुज के तीनों कोणों का योग]
∵ ∆ODC ~ ∆OBA [ दिया है ]
आकृति में, 
तथा 
है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR है।
...(i)
[ दिया है ]
[ उभयनिष्ट ]
है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।
∆RPQ और ∆RTS में,
[ दिया है ]
और 
[ उभयनिष्ट ]
∆RPQ ~ ∆RTS
आकृति में, 
के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर पटिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
AD और CD की भुजाएँ एक दूसरे को P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
[ दिया है ]
और 
∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD और ∆CBE
[ दिया है ]
और 
[ उभयनिष्ट ]
∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP और ∆ADB
[ दिया है ]
और 
[ उभयनिष्ट ]
∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC और ∆BEC
[ दिया है ]
[ उभयनिष्ट ]
∆PDC ~ ∆BEC
[ एकान्तर कोण ]
[ सम्मुख कोण ]आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) 
(ii) 
दिया है: ∆ABC और ∆AMP समकोण त्रिभुज हैं।
(i) ∆ABC और ∆AMP में,
[ दिया है ]
और 
[ उभयनिष्ट ]
∆ABC ~ ∆AMP
(ii)
∵ ∆ABC ~ ∆AMP
CD और GH क्रमश: 
के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: ΔABC और ΔFEG कि भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC~ΔFEG है, तो दर्शाइए कि:
(i) 
(ii) 
(iii) 
...(i)
...(ii)
आकृति में, AB=AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC कि बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि 
है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD~ΔECF है।
∆ABD और ∆ECF में,
∆ABD = ∆ECF 
और 
∆ABD ~ ∆ECF
एक त्रिभुज ABC कि भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि 
है। दर्शाइए कि CA2=CB.CD है।
[दिया है]
[उभयनिष्ट]
∆ABD और ∆CDE में,
AD = DE
और BD = DC [AD समद्विभाजक है]
इसी तरह, 
दिया है कि,
...(i)
इसी प्रकार,
...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर
∆ABC और ∆PQR में,
और 
अत: सिद्ध होता है कि ∆ABC ~ ∆PQR
लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m यही, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(प्रत्येक 90o)
(सूर्य का उन्नयन कोण समान है)
ΔABC ~ ΔPQR
है।
.
[∵ AD और PM माध्यिकाएँ हैं]
[∵ ∆ABC ~ ∆PQR]
मान लीजिए ∆ABC~∆DEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64cm2 और 121cm2 हैं। यदि EF=15.4cm2 हो, तो BC ज्ञात कीजिए।
अत: 
अत:, BC = 11.2 cm
एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
[एकांतर कोण]
[सम्मुख कोण]
आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि 
है।
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमश: D, E और F हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
[BDEF एक समचतुर्भुज है]
[समचतुर्भुज के विपरीत कोण]
...(i)
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
x भुजा]
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2:1
1:2
4:1
1:4
∆ABC और ∆BDE दोनों समबाहु त्रिभुज हैं।
∴ ∆ABC ~ ∆BDE
∴ 
अत: C(4:1) सही उत्तर है
दो समरूप त्रिभुजों कि भुजाएँ के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
2:3
4:9
81:16
16:81
त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
72 = 49
242 = 576
और 252 = 625
हम देखते हैं कि
72 + 242 = 252
∴ दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
विकर्ण कि लंबाई = 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
32 = 9
82 = 64
62 = 36
∵ 32 + 62 ≠ 82
∴ दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
502 = 2500
802 = 6400
1002 = 10000
∵ 502 + 802 ≠ 1002
∴ दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
132 = 169
122 = 144
52 = 25
∵ 52 + 122 ≠ 132
∴ दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
विकर्ण कि लंबाई = 13 cm
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM⊥QR है। दर्शाइए कि PM2 = QM.MR है।
[दिया है]
...(i)
...(ii)
आकृत में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा 
है। दर्शाइए कि
(i) AB2 = BC.BD
(ii) AC2 = BC.DC
(iii) AD2 = BD.CD
(i) ∆BAC और ∆BDA में,
...(i)
समकोण ∆ABC में,
...(ii)
समकोण ∆ABD में,
...(iii)
समीकरण और की तुलना करने पर
और, 
[दोनों कोण 90o हैं]
∴ ∆BAC ~ ∆BDA
∴ 
⇒ BA2 = BC.BD
⇒ AB2 = BC.BD
(ii) समकोण ∆ACB और ∆DCA में,
∴ ∆ACB ~ ∆DCA
∴ 
⇒ AC2 = BC.DC
(iii) समकोण ∆ADB और ∆CDA में,
(उभयनिष्ट)
∴ ∆ADB ~ ∆CDA
∴ 
⇒ AD2 = BD.CD
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2=2AC2 है।
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC=BC है। यदि AB2=2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
माना ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं तथा विकर्ण एक-दूसरे पर लंबवत होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समकोण ∆AOB में,
(i) समकोण ΔOFA में,
OA2 = AF2 + OF2 ...(i)
समकोण ΔOBD में,
OB2 = OD2 + BD2 ...(ii)
समकोण ΔOEC में,
OC2 = OE2 + CE2 ...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:
OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + OD2 + BD2 + OE2 + CE2
⇒ OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + BD2 + CE2 + OD2 + OF2 + OE2
⇒ AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 - OD2 - OF2 - OE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = (OA2 - OE2) + (OB2 - OF2) + (OC2 - OD2)
= AE2 + CD2 + BF2
अत:, AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
10m लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
माना सीढ़ी है तथा A खिड़की है। AC = 10 m
समकोण ΔABC में,,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ BC2 = AC2 - AB2
= BC2 = (10)2 - (8)2
= BC2 = 100 - 64 = 36
⇒ BC = 6 m
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/h की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य जाहज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/h की चाल से उड़ता है। 
घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
घंटे बाद उत्तर दिशा में चली दूरी 
घंटे बाद पश्चिम दिशा में चली दूरी = 
दो खंभे जिनकी ऊँचाईयाँ 6m और 11m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी 12m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
∆ACE में,
AE2 = AC2 + CE2 ...(i)
∆BCD में,
BD2 = CD2 + BC2 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर
AE2 + BD2 = (AC2 + BC2) + (CE2 + CD2)
⇒ AE2 + BD2 = AB2 + DE2
∵ DB = 3CD [दिया है]
अब, BC = CD + DB
BC = CD+ 3CD
BC = 4CD
समकोण ΔADB में,
AB2 = AD2 + DB2
किसी समबाहु त्रिभुज ABC कि भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि 
है। सिद्ध कीजिए कि 9AD2=7AB2 है।
BE = CE
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
[उभयनिष्ट]
BD = DC
और BC=6cm है। कोण B है:
120o
60o
90o
45o
अब, 
∴ ∆ABC B पर एक समकोण त्रिभुज है।
अत: सही उत्तर (c) = 90o है।
आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि 
है।
[एकांतर कोण]
[सम्मुख कोण]
परन्तु 
[दिया है]
∴ 
[समीकरण (i) और (ii) से]
∴ PT = PR ...(iii)
अब ∆ORT में,
PS = RT
∴ 
आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD⊥AC तथा DM⊥BC और DN⊥AB है। सिद्ध कीजिए कि
(i) DM2 = DN.MC
(ii) DN2 = DM.AN
(i) ∆CDM~∆DBM 
(ii) ∆ADN~∆DBN 
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें है 
तथा AD⊥CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2=AB2+BC2+2BC.BD है।
समकोण ΔADB में,
AB2 = AD2 + BD2 ...(i)
समकोण ∆ADC में,
AC2 = AD2 + DC2
⇒ AC2 = AD2 + (BD + BC)2
⇒ AC2 = AD2 + BD2 + BC2 + 2BD.BC
⇒ AC2 = AB2 + BC2 + 2BC.BD [समीकरण (i) से]
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें 
है तथा AD⊥BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2=AB2+BC2-2BC.BD है।
समकोण ∆ABD में,
AB2 = AD2 + BD2 ...(i)
समकोण ∆ADC में,
AC2 = AD2 + DC2
⇒ AC2 = AD2 + (BC - BD)2
⇒ AC2 = AD2 + BC2 - 2BC.BD + BD2
⇒ AC2 = (AD2 + BD2) + BC2 - 2BC.BD
⇒ AC2 = AB2 + BC2 - 2BC.BD [समीकरण (i) से]
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM⊥BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) 
(ii) 
(iii) 
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC~∆DPB
(ii) AP.PB=CP.DP
(शीर्षाभिमुख कोण)
(एक ही वृत्तखंड के कोण)
(संगत भुजाओं का अनुपात)
आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC~∆PDB (ii) PA.PB=PC.PD
(i) 
...(i)
और 
...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
∆PAC ~ ∆PDB
(ii) ∆PAC ~ ∆PDB [ऊपर सिद्ध किया है]
∴ 
[∵ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात]
⇒ PA.PB ~ PC.PD
आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि 
है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
[दिया है]
...(i)
...(ii)∵ AC = AE
∴
...(iii)अर्थात 
अत: 
अत: AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकली हुई है? यदि वह डोरी को 5cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
(लगभग)आकृति 2 में, एक ABC के अंतर्गत एक वृत्त बना है जो त्रिभुज की भुजाओं AB, BC तथा CA को क्रमशः बिंदुओं D, E तथा F पर स्पर्श करता है। यदि AB, BC तथा CA की लंबाइयाँ क्रमशः 12 सेमी, 8 सेमी तथा 10 सेमी हैं, तो AD, BE तथा CF की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
जैसा कि हम जानते हैं,
AF = AD, CF = CE, BD = BE
माना AD =AF = x cm,
तब, DB = AB - AD = (12 - x) cm
दर्शाइए कि 
जहॉं 
तथा 
जहॉं 
है, समरूप त्रिभुज हैं।
ABC में, ऊर्ध्वाधर के निर्देशांक A(-2, 0), B(2, 0), C(0, 2) हैं।
Δ PQR में, ऊर्ध्वाधर के निर्देशांक P(-4, 0), Q(4, 0), R(0, 4) हैं।
अब, ABC और ΔPQR के समान होने के लिए, संबंधित पक्ष आनुपातिक होना चाहिए।
इस प्रकार, Δ ABC, ΔPQR के समान है।
सिद्ध कीजिए कि किसी वर्ग की एक भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, इसके विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
दिया गया: ABCD वर्ग, विकर्ण BD △ BCE जिसे आधार BC △ BDF पर वर्णित किया गया है जिसे आधार BD दोनों में वर्णित किया गया है △ BCE और △ BDF समतुल्य
सिद्ध करना:
प्रमाण:
△ BCE और △ BDF दोनों समकक्ष
△ BCE और △ BDF में
(SSS समानता से)
△ FBD ~ △ BCE
हम जानते हैं कि समान त्रिकोणों में, त्रिकोण के क्षेत्र का अनुपात संबंधित पक्षों के वर्ग के अनुपात के बराबर है
DB ( ) वर्ग ABCD का विकर्ण है अत,
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह त्रिभुजें सर्वांगसम होती हैं।
माना ΔABC और ΔDEF दोनों त्रिभुज समरूप है,
ΔABC ~ ΔDEF
माना ΔABC और ΔDEF दोनों त्रिभुज का क्षेत्रफल सामान है, क्षेत्रफल ΔABC = क्षेत्रफल ΔDEF
सिद्ध: त्रिभुजें सर्वांगसम ΔABC ≅ ΔDEF
जैसा दिया हुआ है की ΔABC और ΔDEF दोनों त्रिभुज समरूप है
इसलिए,क्षेत्रफल का अनुपात इसके संबंधित पक्ष के अनुपात के वर्ग के बराबर है
इसी तरह, हम पाते हैं
DE = AB
DF = AC
चूंकि, ΔABC और ΔDEF में
EF =BC
AB = DE
AC = DF
इसलिए SSS सर्वांगसम से
ΔABC ≅ ΔDEF
एक समबाहु त्रिभुज ABC में भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि BD = 1/3BC है । सिद्ध कीजिए कि । 9(AD)2 = 7(AB)2
माना हर एक पक्ष △ABC का 'a' है
∴ BD = a/3
सिद्ध करना :9 (AD)2 = 7 (AB)2
सिद्ध कीजिए की, एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजा के वर्गों के योग के बराबर होता है।
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°
सिद्ध करना:कर्ण2 = लंबाई2 + आधार2
AC2 = AB2 +BC2
अब B से एक लम्ब बनाइए जो BD ⊥ AC
अब त्रिभुज ADB और ABC में,
△ADB ~ △ ABC
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है।
है।
[ उभयनिष्ट ]
है। सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?
