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अफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, 'सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।' ( क्या यह मनोरंजक है? ) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफ़िय रूपों में व्यक्त कीजिए।
माना बेटी की वर्तमान आयु = x वर्ष
माना पिता की वर्तमान आयु = y वर्ष
सात वर्ष पहले, बेटी की आयु = x - 7 वर्ष
पिता की आयु = y - 7 वर्ष
तीन वर्ष बाद, बेटी की आयु = x + 3 वर्ष
पिता की आयु = y + 3 वर्ष
प्रश्नानुसार,
y - 7 = 7 ( x - 7 )
y - 7 = 7x - 49
7x - y = 42 ... ( i )
y + 3 = 3 ( x + 3 )
y + 3 = 3x + 9
3x - y = - 6 ... ( ii )
समीकरणों से
y = 7x - 42
| x | 6 | 7 |
| y | 0 | 7 |
क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रु. में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदीं। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रु. में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
माना एक बल्ले का मूल्य = x
माना एक गेंद का मूल्य = y
3 बल्लों का मूल्य = 3x
6 गेंदों का मूल्य = 6y
प्रश्नानुसार
3x + 6y = 3900
एक बल्ले का मूल्य = x
3 गेंदों का मूल्य = 3y
प्रश्नानुसार
x + 3y = 1300
3x + 6y = 3900 ...( i )
x + 3y = 1300 ...( ii )
3x + 6y = 3900
⇒ 3( x + 2y ) = 3900
⇒ x + 2y = 1300
⇒ x = 1300 - 2y
x + 3y = 1300
x = 1300 - 3y
2 किग्रा. सेब और 1 किग्रा. अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रु. था एक महीने बाद 4 किग्रा. सेब और 2 किग्रा. अंगूर का मूल्य 300 रु. हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
माना एक किग्रा.सेब का क्रय मूल्य = x रु.
माना एक किग्रा. अंगूर का मूल्य = y रु.
प्रश्नानुसार
2x + y = 160 ...( i )
4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 ... ( ii )
2x + y = 160
⇒ y = 160 - 2x
2x + y = 150
⇒ y = 150 - 2x
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफ़िय विधि से हल ज्ञात कीजिए:
( i ) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
माना लड़कों की संख्या = x, और लड़किओं की संख्या = y
x + y = 10 ...(i)
y = x + 4
⇒ x - y = - 4 ...(ii)
x + y = 10
⇒ x = 10 - y
x - y = - 4
⇒ x = y - 4
बिंदुओं को मिलाने पर दो सरल रेखाएँ प्राप्त होती है जो एक दूसरे को ( 3, 7 ) पर काटती है इसलिए x = 3 और y = 7 रैखिक समीकरणों का अभीष्ट हल है।
लड़कों की संख्या = 3
लड़कियों की संख्या = 7
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफ़िय विधि से हल ज्ञात कीजिए:
5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु. है। एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
माना एक पेंसिल का मूल्य = x
माना एक कलम का मूल्य = y
5 पेंसिल का मूल्य = 5x
7 कलम का मूल्य = 7y
प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
| x | 10 | 3 |
| y | 0 | 5 |
| x | 3 | - 2 |
| y | 5 | 12 |
इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें दो सरल रेखाएं प्राप्त होती हैं जो एक दूसरे को बिंदु B ( 3, 5 ) पर काटती है।
इसलिए x = 3 और y = 5 रैखिक समीकरणों का अभीष्ट हल है।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए की निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं, समान्तर हैं या संपत्ति हैं:
की तुलना कर ज्ञात कीजिए की निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं, समान्तर हैं या संपत्ति हैं:समीकरणों के मानक रूपों के साथ दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर a1x + b1y + c1, = 0 और a2x + b2y + c2 = 0
समीकरण युग द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाति रेखाएँ हैं।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए की निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं, समान्तर हैं या संपत्ति हैं:
समीकरण युग द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर रेखाएँ हैं।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :3x + 2y = 5 ; 2x - 3y = 7
संगत ( अद्वितीय हल ) है।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9
असंगत ( कोई हल नहीं ) हैं।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :
की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :5x-3y=11 ; -10x + 6y = -22
संगत ( अनेक हल ) हैं।
की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :
x + y = 5 ...(i)
⇒ y = 5 - x
2x + 2y = 10 ...(ii)
संपाती / संगत रेखाएँ हैं
x - y = 8
⇒ y = x - 8
इन बिन्दुओं को मिलाने पर दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं, इसलिए इन समीकरणों का कोई हल नहीं ( असंगत ) है:
2x + y - 6 = 0
⇒ y = 6 - 2x
4x - 2y - 4 = 0
2 ( 2x - y - 2 ) = 0
2x - y - 2 = 0
⇒ y = 2x - 2
इन सभी बिन्दुओं को मिलाने पर ये (2, 2) पर मिलती है
x = 2, y = 2
संगत ( अद्वितीय हल ) है।
2x - 2y - 2 = 0
⇒ y = x - 1
4x - 4y - 5 = 0
दो समान्तर रेखाएँ प्राप्त होती है
असंगत ( कोई हल नहीं ) हैं।
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एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मी. अधिक है, का अर्ध परिमाप 36 मी. है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
ना बाग की लंबाई = x मी.
बाग की चौड़ाई = y मी.
प्रश्नानुसार
x = y + 4
अर्ध परिमाप = 36
⇒ x + y =36
x - y = 4
⇒ x = 4 + y
x + y = 36
⇒ x = 36 - y
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y - 8 = 0 दी गई है दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
2x + 3y - 8 = 0
(i) प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए अन्य रैखिक समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं
4x - 2y - 8 = 0
(ii) समान्तर रेखाओं के लिए अन्य रैखिक समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं
4x + 6y - 22 = 0
(iii) संपाती रेखाओं के लिए अन्य रैखिक समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं
6x + 9y - 24 = 0
समीकरणों x - y - 1 = 0 और 3x + 2y - 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
3x + 2y - 12 = 0
ये दोनों एक दूसरे को एक बिन्दु ( 2, 3 ) पर काटती है और त्रिभुज BDE को छायांकित करती है।
x + y = 14 ...( i )
x - y = 4 ...( ii )
समीकरण ( i ) से
y = 14 - x ...( iii )
y का मान समीकरण ( ii ) में रखने पर, हमे प्राप्त होगा
x - ( 14 - x ) = 4
x का मान समीकरण ( iii ) में रखने पर
y = 14 - 9 = 5
x = 9, y = 5
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
s - t = 3
s - t = 3
s - t = 3 ...(i)
2s + 3t = 36 ...(ii)
s = 3 + t ...(iii)
s का मान समीकरण ( ii ) में रखने पर
2s + 3t = 36
⇐ 2( 3 + t ) + 3t = 36
⇒ 6 + 2t + 3t = 36
⇒ 5t + 6 = 36
⇒ 5t = 30
⇒ t = 6
t का मान समीकरण ( iii ) में रखने पर
s = 3 + 6 = 9
s = 9, t = 6
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
3x – y = 3
9x – 3y = 9
3x - y = 3 ...(i)
9x - 3y = 9 ...(ii)
समीकरण (i) से
y = 3x - 3 ...(iii)
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
9x - 3 ( 3x - 3 ) = 9
⇒ 9a - 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
समीकरण (i) और (ii) के अनेक हल है।
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
0.2x + 0.3y = 1.3 ...(i)
0.4x + 0.5y = 2.3 ...(ii)
समीकरण (i) से
0.3y =1.3 - 0.2x
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
0.4x + 0.5 
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 2, y = 3
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
9x - 10y = - 12 ...(i)
2x + 3y = 13 ...(ii)
समीकरण (ii) से
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
9x - 10y = - 12
x = 2, y = 3
2x + 3y = 11 और 2x - 4y = - 24 को हल कीजिए और इससे m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
2x + 3y = 11 ...(i)
2x - 4y = - 24 ...(ii)
समीकरण (i) से
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = - 2, y = 5
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
दो संख्याओं का अन्तर 26 है तथा एक संख्या दूसरी संख्या की तिगुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
माना दो संख्याएँ x और y है
प्रश्नानुसार,
x - y = 26 ...(i)
x = 3y ...(ii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
3y - y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y = 13
समीकरण (ii) से
x = 3y = 3 x 13 = 39
x = 39, y = 13
माना बड़ा कोण = x और छोटा कोण = y है
प्रश्नानुसार,
x + y = 180 ...(i)
x = y + 18 ...(ii)
समीकरण (ii) का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + y = 180
⇒ ( y + 18 ) + y = 180
⇒ y + 18 + y = 180
⇒ 2y = 180 - 18
⇒ 2y = 162
⇒ y = 81° ...(iii)
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x = y + 18
= 81 + 18 = 99°
तो कोण होंगे 81° और 99°
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रु. में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदे 1750 रु. की खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
माना एक बल्ले का क्रय मूल्य = x
एक गेंद का क्रय मूल्य = y
प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 ...(i)
3x + 5y = 1750 ...(ii)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
7x + 6y = 3800
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
एक बल्ले का क्रय मूल्य = x = 500 रु.
एक गेंद का क्रय मूल्य = y = 50 रु.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी. दूरी के लिए भाड़ा 105 रु. है तथा 15 किमी. के लिए भाड़ा 155 रु. है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी. भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी. यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
माना नियत भाड़ा = x
प्रति किमी. भाड़ा = y
प्रश्नानुसार,
x + 10y = 105 ...(i)
x + 15y = 155 ...(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
( x + 15y ) - ( x + 10y ) = 155 - 105
⇒ x + 15y - x — 10y = 50
⇒ 5y = 50 ⇒ y = 10
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + 10y = 105
⇒ x + 10 ( 10 ) = 105
⇒ x + 100 = 105 ⇒ x = 5
∴ नियत भाड़ा = x = 5 रु.
प्रति किमी. भाड़ा = y = 10 रु.
25 किमी. के लिए भाड़ा
= x + 25y = 5 + 25 ( 10 )
= 5 + 250 = 255 रु.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो भिन्न 
हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो भिन्न 
हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
माना भिन्न का अंश = x
हर = y
भिन्न = 
प्रश्नानुसार,
11 ( x + 2 ) = 9 ( y + 2 )
11x + 22 = 9y + 18
11x - 9y = - 4
6 ( x + 3 ) = 5 ( y + 3 )
6x + 18 = 5y + 15
6x - 5y = - 3
11x - 9y = - 4 ...(i)
6x - 5y = - 3 ...(ii)
समीकरण (ii) से
6x - 5y = - 3
6x = 5y - 3
...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
5 वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुना होगी। 5 वर्ष पूर्व, जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है।
माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
उसके बेटे की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष बाद,
जैकब की आयु = ( x + 5 ) वर्ष
उसके बेटे की आयु = ( y + 5 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 5 = 3( y + 5 )
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x - 3y = 10
5 वर्ष पहले
जैकब की आयु = ( x - 5 ) वर्ष
उसके बेटे की आयु = ( y - 5 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x - 5 = 7( y - 5 )
⇒ x - 5 = 7y - 35
⇒ x - 7y = - 35 + 5
⇒ x - 7y = -30
x - 3y = 10 ...(i)
x - 7y = - 30 ...(ii)
समीकरण (i) से
x - 3y = 10
⇒ x = 3y + 10 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x - 7y = - 30
⇒ 3y + 10 - 7y = - 30
⇒ - 4y + 10 = - 30
⇒ - 4y = - 40
⇒ y = 10
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 3y + 10
= 3( 10 ) + 10
= 30+10 = 40
जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष
उसके बेटे की वर्तमान आयु = 10 वर्ष
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
x + y = 5 और 2x - 3y = 4
x + y = 5 ...(i)
2x - 3y = 4 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (i) और (ii) को 3 से गुणाकरने पर, हमे प्राप्त होगा
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + y = 5
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
x + y = 5 ...(i)
2x - 3y = 4 ...(ii)
समीकरण (i) से
x + y = 5
⇒ x = 5 - y ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - 3y = 4
2( 5 - y ) - 3y = 4
10 - 2y -3y = 4
10 - 5y = 4
- 5y = 4 - 10
- 5y = - 6
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
3x + 4y = 10 ...(i)
2x - 2y = 2 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (i) और ((ii) को समन बनाने के लिए समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके जाने पर
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = 10
⇒ 3 ( 2 ) + 4y = 10
⇒ 6 + 4y = 10
⇒ 4y = 4
⇒ y = 1
x = 2, y = 1
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
3x + 4y = 10 ...(i)
2x - 2y = 2 ...(ii)
समीकरण (i) से
3x + 4y = 10
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - 2y = 2
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x=2, y=1
निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विशि अधिक उपयुक्त है?
3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
3x - 5y = 4 ...(i)
9x - 2y = 7 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (i) को 3 से गुणा समीकरण (ii) में से घटाने से
9x - 15y = 12
9x - 2y = 7
- + -
-13y = 5
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
3x - 5y = 4 ...(i)
9x - 2y = 7 ...(ii)
समीकरण (i) से
3x - 5y = 4
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विशि अधिक उपयुक्त है?
3x + 4y = - 6 ...(i)
3x - y = 9 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = - 6
3x + 4 ( - 3 ) = - 6
⇒ 3x - 12 = - 6
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
x = 2, y = - 3
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
3x + 4y = - 6 ...(i)
3x - y = 9 ...(ii)
समीकरण (ii) से
3x - y = 9
⇒ y = 3x - 9 ...(iii)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = - 6
⇒ 3x + 4( 3x - 9 ) = -6
⇒ 3x + 12x - 36 = - 6
⇒ 15x = - 6 + 36
⇒ 15x = 30
⇒ x = 2
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
y = 3x - 9
= 3 ( 2 ) - 9 = 6 - 9= - 3
x = 2, y = - 3
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह 
हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
x - y = - 2 ...(i)
2x - y = 1 ...(ii)
समीकरण (i) से
x - y = - 2
⇒ x = y - 2 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - y = 1
⇒ 2( y - 2 ) - y = 1
⇒ 2y - 4 - y = 1
⇒ y - 4 = 1⇒ y = 5
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = y - 2
= 5 - 2 = 3
तो भिन्न होगी 
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
माना नूर की वर्तमान आयु = x वर्ष
और सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले,
नूर की आयु = ( x - 5 ) वर्ष
सोनू की आयु = ( y - 5 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x - 5 = 3( y - 5 )
⇒ x - 5 = 3y - 15
⇒ x - 3y = -10
10 वर्ष बाद,
नूर की आयु = ( x + 10 ) वर्ष
सोनू की आयु = ( y + 10 ) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2( y + 10 )
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x - 2y = 10
x - 3 y = - 10 ...(i)
x - 2y = 10 ...(ii)
समीकरण (i) से
x - 3y = - 10
⇒ x = 3y - 10 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x - 2y = 10
⇒ 3y - 10 - 2y = 10
⇒ y = 20
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 3y - 10
= 3 ( 20 ) - 10
= 60 - 10 = 50
तो, नूर की आयु = 50 वर्ष
सोनू की आयु = 20 वर्ष
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निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बानी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
माना संख्या के इकाई का अंक = x और दहाई का अंक = y
तो संख्या होगी = 10y + x
संख्या के अंकों को पलटने से बानी संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
x + y = 9 ...(i)
9( 10y + x ) = 2( 10x + y )
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 11x - 88y = 0
⇒ x - 8y = 0 ...(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर
9y = 9
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + 1 = 9
⇒ x = 9 - 1 = 8
तो संख्या होगी
= 10 y + x
= 10 ( 1 ) + 8
= 10 + 8 = 18
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
मीना 2000 रु. निकलने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु. तथा 100 रु. के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु. और 100 रु. के कितने-कितने नोट प्राप्त किए?
माना मीना के पास 50 रु. के x नोट और 100 के y नोट है, तब प्रश्नानुसार
x + y = 25 ...(i)
50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 ...(ii)
(ii) समीकरण में से समीकरण (i) को घटाने पर
y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + 15 = 25
⇒ x = 25 - 15 = 10
तो, मीना के पास 50 रु. के 10 नोट और 100 के 15 नोट है।
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु. अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रु. अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
माना तीन दिनों का नियत किराया = a रु. और प्रत्येक दिन का किया b रु.
प्रश्नानुसार,
a + 4b = 27 ...(i)
[ अतिरिक्त दिन = 7 - 3 = 4 ]
a + 2b = 21 ...(ii)
[ अतिरिक्त दिन = 5 - 3 = 2 ]
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर
2b = 6
b का मान समीकरण (ii) में रखने पर
a + 2 ( 3 ) = 21
⇒ a + 6 = 21
⇒ a = 21 - 6 = 15
तो पहले तीन दिन का नियत किराया = 15 रु. और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = 3 रु.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
x - 3y - 3 = 0
3x - 9y - 2 = 0
a1 = 1, b1 = - 3
a2 = 3, b2 = - 9, c2= - 2
अत: दिए हुए समीकरण का कोई हल नहीं है।
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
2x + y = 5
3x + 2y = 8
2x + y = 5 ...(i)
3x + 2y = 8 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
⇒ 2x + y - 5 = 0
3x + 2y - 8 = 0
a1 = 2, b1 = 1, c, = - 5
a2 = 3, b2 = 2, c2 = - 8
दिए हुए समीकरण का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन द्वारा हल करने पर, हमें प्राप्त होगा
x = 2, y = 1
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
3x - 5y = 20
6x - 10y = 40
3x - 5y = 20
6x - 10y = 40
⇒ 3x - 5y - 20 = 0
6x - 10y - 40 = 0
a1 = 3, b1 = - 5, c1 = - 20
a2 = 6, b2 = - 10, c2 = - 40
दिए हुए समीकरणों के अनन्त हल है।
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 = 0
x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 = 0
a1 = 1, b2 = - 3, c1 = - 7
a2 = 3, b2 = - 3, c2 = - 15
दिए हुए समीकरण का एक अद्वित्तीय हल है
वज्र-गुणन द्वारा हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
x = 4, y = - 1
a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
( a - b ) x + ( a + b ) y = 3a + b - 2
2x + 3y = 7
( a - b ) x + ( a + b ) y = 3a + b - 2
a1 = 2, b1 = 3, c1 = 7
a2 = a - b, b2 = a + b, c2 = 3a + b -2
दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म के अनन्त हल के लिए
पहले दो से
a - 5b = 0 (i)
a - 2b - 3 = 0 (ii)
k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1
3x + y = 1
(2k - 1) x + (k - 1) y= 2k + 1
a1 = 3, b1 = 1, c1 = - 1
a2 = 2k - 1, b2 = (k - 1), c2 = - (2k + 1)
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र-गुणन विधियों से हल कीजिए किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
8x + 5y = 9 ...(i)
3x + 2y = 4 ...(ii)
प्रतिस्थापन विधि द्वारा
समीकरण (ii) से
2y = 4 - 3x
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = - 2, y = 5
वज्र-गुणन विधि द्वारा
8x + 5y - 9 = 0 ...(i)
3x + 2y - 4 = 0 ... (ii)
x = - 2, y - 5
माना खर्चे का नियत भाग = x रु.
प्रतिदिन का मूल्य = y रु.
प्रश्नानुसार
x + 20y = 1000
x + 26y = 1180
x + 20y - 1000 = 0
x + 26y - 1180 = 0
वज्र-गुणन के द्वारा
नियत भाग = 400 रु.
प्रतिदिन खाने का खर्च =30 रु.
माना ठीक उत्तर वाले प्रश्नों की संख्या = x
और गलत प्रश्नों की संख्या = y
प्रश्नानुसार
3x - y - 40 = 0
4x -2y - 50 = 0
वज्र-गुणन विधि द्वारा,
कुल प्रश्न = 15 + 5 = 20
माना A से चलने वाली कार की चाल = x किमी. / घंटा
B से चलने वाली कार की चाल = y किमी. / घंटा
x - y = 20
x + y = 100
⇒ x - y - 20 = 0
x + y - 100 = 0
A से चलने वाली कार की चाल = 60 किमी. / घंटा
B से चलने वाली कार की चाल = 40 किमी. / घंटा
माना आयत की लंबाई = x इकाई
आयत की चौड़ाई = y इकाई
आयत का क्षेत्रफल = xy इकाई
प्रश्नानुसार
xy - 9 = ( x - 5 ) ( y + 3 )
⇒ xy - 9 = xy + 3x - 5y - 15
⇒ 3x - 5y - 6 = 0
xy + 67 = ( x + 3 ) ( y + 2 )
⇒ xy + 67 = xy + 2x + 3y + 6
⇒ 2x + 3y - 61 = 0
3x - 5y - 6 = 0 (i)
2x + 3y - 61 =0 (ii)
आयत की लंबाई = 17 इकाई
आयत की चौड़ाई = 9 इकाई
3u + 2v = 12 ...(i)
2u + 3v = 13 ...(ii)
समीकरण (i) से
u का मान समीकरण (ii) में रखने पर
v का मान समीकरण (iii) में रखने पर
4u - 9v = -1 ...(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करके, इसमें से समीकरण (ii) घटाने पर
समीकरण (i) को 4 से गुणा करके और समीकरण (ii) को 3 से गुणा करके जोड़ने पर
निम्न समीकरणों के युग्मों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
6u - 3v = 1 ...(ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर
u का मान समीकरण (i) में रखने पर
5u + v = 2
निम्न समीकरणों के युग्मों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
निम्न समीकरणों के युग्मों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
6x + 3y = 6xy
दोनों ओर xy से भाग देने पर
2x + 4y = 5xy
दोनों ओर से भाग देने पर
6v + 3u = 6 ....(iii)
2v + 4u = 5 ....(iv)
समीकरण (iii) को 4 से गुणा करके और समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके में से घटाने पर
v का मान समीकरण (iii) में रखने पर
निम्न समीकरणों के युग्मों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
15u - 5v = - 2 ...(ii)
समीकरण (i) को 5 से गुणा करके और समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके जोड़ने पर
10u + 2v = 4
x का मान समीकरण (iv) में रखने पर
x - y = 1
⇒ 5 - y - y = 1
⇒ 5 - 2y = 1
⇒ - 2y = 1 - 5 ⇒ - 2y = - 4
⇒ y = 2
y का मान समीकरण (v) में रखने पर
x = 5 - y
= 5 - 2 = 3
x = 3, y = 2
निम्न समीकरणों के युग्मों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
6x = 6
⇒ x = 1
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
3 x + y = 4
⇒ 3(1) + y = 4
⇒ y = 1
x = 1, y = 1
निम्न संमस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
रितु धरा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी. तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 किमी. तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
माना स्थिर जल में रितु की चाल = x किमी. / घंटा
धारा की चाल = y किमी. / घंटा
धारा की विपरीत दिशा में चाल = (x - y) किमी. / घंटा
धारा की दिशा में चाल = (x + y) किमी. / घंटा
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
10 - y - y = 2
⇒ 10 - 2y = 2
⇒ - 2y = - 8
⇒ y = 4
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + y = 10
⇒ x + 4 = 10
⇒ x = 6
स्थिर जल में रितु की चाल = 6 किमी. / घंटा
धारा की चाल = 4 किमी. / घंटा
निम्न संमस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
माना एक महिला काम को पूरा करने में समय लेती है = x दिन
एक पुरुष काम को पूरा करने में समय लेता है = y दिन
एक महिला का एक दिन का काम 
एक पुरुष का एक दिन का काम
दो महिलाओं का एक दिन का काम
5 पुरुषों का एक दिन का काम
प्रश्नानुसार
3 महिलाओं का एक दिन का काम
6 पुरुषों का एक दिन का काम
प्रश्नानुसार
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके और समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके समीकरण (i) में से घटाने पर
एक महिला काम को पूरा करने में समय लेती है = 18 दिन
एक पुरुष काम को पूरा करने में समय लेता है = 36 दिन
निम्न संमस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए:
रूही 300 किमी. दुरी पर अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 किमी. रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी. रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मंत अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
माना रेलगाड़ी की चाल = x किमी. / घंटा
माना बस की चाल = y किमी. / घंटा
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर
समीकरण (ii) में से समीकरण (iii) को घटाने पर
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 60, y = 80
तो रेलगाड़ी की चाल = 60 किमी. / घंटा
बस की चाल = 80 किमी. / घंटा
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है। अनी के पिता धर्म की आयु अनी से दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु से दुगुनी है। कैथी और धर्म की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
माना अनी की आयु = x वर्ष
बीजू की आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार
x - y = - 3 ...(i)
अनी के पिता धर्म की आयु = 2x वर्ष
बीजू की बहन की आयु 
प्रश्नानुसार
जब x - y = 3
तो
x - y = 3 ...(i)
4x - y = 60 ...(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण(i) को घटाने पर
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
19 - y = 3
y = 19 - 3 = 16
अनी की आयु = 19 वर्ष
बीजू की आयु = 16 वर्ष
एक मित्र दूसरे से कहता है, 'यदि तुम मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।' दूसरा उत्तर देता है, 'यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आप से छः गुना धनी बन जाऊँगा' बताइए कि उसकी क्रमश क्या संपतियां हैं? [ भास्कर-II के बीजगणित से ]
[ संकेत : x + 100 = 2( y - 100 ), y + 10 = 6( x - 10 )]
माना पहले व्यक्ति कि पास राशि है = x रु.
दूसरे व्यक्ति कि राशि है = y रु.
प्रश्नानुसार
x + 100 = 2(y - 100)
⇒ x - 2y = - 300 ...(i)
6(x - 10) = y + 10
⇒ 6x — y = 70 ...(ii)
समीकरण (i)से
x = 2y - 300 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 2( 170 ) - 300
= 340 - 300 = 40
x = 40, y - 170
पहले व्यक्ति कि पास राशि है = 40 रु.
दूसरे व्यक्ति कि राशि है = 170 रु.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 किमी. / घंटा अधिक तेज़ चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 किमी. / घंटा धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
माना रेलगाड़ी की चाल = x किमी. / घंटा
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = y घंटे
तय की गई दूरी = ( x y ) किमी. ...(i)
प्रश्नानुसार
रेलगाड़ी की चाल = (x + 10) किमी. / घंटा, रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = (y - 2) घंटे
∴ तय की गई दूरी = (x + 10) (y - 2)
⇒ xy = xy - 2x + 10y - 20
⇒ 2x - 10y = -20
रेलगाड़ी की चाल = (x - 10) किमी. / घंटा, रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = (y + 3) घंटे
∴ तय की गई दूरी = (x - 10) (y + 3)
⇒ xy = (x - 10) (y + 3)
⇒ xy = xy + 3x - 10y - 30
⇒ - 3x + 10y = - 30
2x - 10y = - 20 ...(i)
- 3x + 10y = - 30 ...(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में जोड़ने पर
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
2x - 10y = - 20
⇒ 2( 50 ) - 10y = - 20
⇒ 100 - 10y = - 20
⇒ - 10y = - 120
⇒ y = 12
तय की गई दूरी = ( xy ) किमी.
= (50 × 12) किमी.
= 600 किमी.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
माना प्रत्येक पंक्ति में विज्ञार्थीयों की संख्या = x
पंक्तियों की संख्या = y
कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
प्रश्नानुसार
xy = (x + 3) (y - 1)
⇒ xy = xy - x + 3y - 3
⇒ x - 3y = - 3
xy = (x - 3) (y + 2)
⇒ xy = xy + 2x - 3y - 6
⇒ - 2x + 3y = - 6
x - 3y = - 3 ...(iv)
- 2x + 3y = - 6 ...(v)
समीकरण (iv) से
x - 3y = - 3
⇒ x = 3y - 3 ...(vi)
x का मान समीकरण (v) में रखने पर
- 2x + 3y = - 6
⇒ - 2( 3y - 3 ) + 3y = - 6
⇒ - 6y + 6 + 3y = - 6
⇒ - 3y = - 12
⇒ y - 4
y का मान समीकरण (vi) में रखने पर
x = 3y - 3
= 3( 4 ) - 3 = 12 - 3 = 9
कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy
= 9 × 4 = 36
एक Δ ABC में, ∠ C = 3∠ B = 2(∠ A + ∠ B) है। त्रिभुजों के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
माना ∠A = x°, ∠B = y°
∠C = 3∠B = ⇒ ∠C = 3y°
∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B). ...(i)
3∠B = 2(∠A + ∠B)
⇒ 3y = 2(x + y)
⇒ y = 2x
∠A, ∠B और ∠C त्रिभुज के कोण है
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + y + 3y = 180
⇒ x + 4y = 180 ...(ii)
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x + 4( 2x ) = 180
⇒ x + 8x = 180
⇒ 9x = 180
⇒ x = 20°
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
y = 40°
∠A = 20°, ∠B = 40°
∠C = 3y° = (3 × 40°)= 120°
समीकरणों 5x - y = 5 और 3x - y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
5x - y = 5 ...(i)
3x - y = 3 ...(ii)
समीकरण (i) से
y = 5x - 5
समीकरण (ii) से
y = 3x - 3
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
px + qy = p - q
qx - py = p + q
px + qy = p - q ...(i)
qx - py = p + q ...(ii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 1, y = - 1
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
ax + by = c
bx + ay = 1 + c
ax + by = c ...(i)
bx + ay = 1 + c ...(ii)
समीकरण (i) से
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
(a + b)x + (a + b) y = a2 + b2
⇒(a + b) (a + b) + (a + b)y = a2 + b2
⇒ (a + b)2 + (a + b)y = a2 + b2
⇒(a + b)y = (a2 + b2) - (a + b)2
⇒ (a + b)y = (a2 + b2) - (a2 + b2 + 2ab)
⇒ (a + b)y = a2 + b2 - a2 - b2 - 2ab
⇒ (a + b)y = - 2ab
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
152x – 378y = – 74
– 378x + 152y = – 604
152x - 378y = - 74
- 378x + 152y = - 604
152x - 378y = - 74 ...(i)
- 378x + 152y = - 604 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर
- 226x - 226y = - 678
⇒ x + y = 3 ...(iii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
530x - 530y = 530
⇒ x - y = 1 ...(iv)
समीकरण (iii) में (iv) को जाने पर
2x = 4
समीकरण (iii) में से (iv) को घटाने पर
2y = 2
x = 2, y = 1
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हम जानते है कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 1800
∠A + ∠C = 180°
⇒ 4y + 20 + 4x = 480°
⇒ 4x + 4y = 60°
⇒ x + y = 40° ...(i)
और ∠B + ∠D = 180°
⇒3y - 5 + 7x + 5= 180°
⇒ 7x + 3y = 180° ...(ii)
समीकरण (i)से
y = 40 - x ...(iii)
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
7x + 3(40 - x) = 180°
⇒ 7x + 120 - 3x = 180°
⇒ 4x = 60
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
y = 40 - x
= 40 - 15 = 25°
∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20 = 120
∠B = 3y - 5 = 3 × 25 - 5 = 75 - 5 = 70
∠C = 4x = 4 × 15 = 60°
∠D = 7x + 5 = 7 × 15 + 5
= 105 + 5 = 110°
Sponsor Area
यदि x = 3, द्विघातीय समीकरण x2- 2kx-6= 0 का एक मूल है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि ,x = 3 द्विघातीय समीकरण x2- 2kx-6= 0 का एक मूल है तो,
(3)2 -2k(3) - 6 =0
9-6k - 6 = 0
3 - 6k = 0
3 = 6k
k = 3/6 = 1/2
Sponsor Area
Sponsor Area
हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और यह 
हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
