For Daily Free Study Material Join wiredfaculty Whatsapp Group | Download Android App | Ncert Book Download

गणित Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Sponsor Area

NCERT Solution For Class 10 गणित गणित

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Here is the CBSE गणित Chapter 13 for Class 10 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 10 गणित पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Chapter 13 NCERT Solutions for Class 10 गणित पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Chapter 13 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 10 गणित.

Question 1

Wired Faculty App

दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³है, के सलंग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

माना दिए गए प्रत्येक घन की भुजा = a cm
प्रश्नानुसार,
दिए गए प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³
$rightwards double arrow$ $straight a cubed space equals space 64$

rightwards double arrow

left parenthesis straight a right parenthesis cubed space equals space left parenthesis 4 right parenthesis cubed

rightwards double arrow

a = 4

अब दो घनों को मिलाकर रखने से बने घनाभ के लिए
लंबाई(l) = (4+4)cm = 8 cm
चौड़ाई (b) = 4 cm
ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2(8 x 4 + 4 x 4 + 4 x 8)cm²
= 2(32+16+32)cm²
= 2 x 80 cm² = 160 cm²

Question 2

Wired Faculty App

कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकर का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, बर्तन के अर्धगोले का व्यास = 14 cm
बर्तन के अर्धगोले की त्रिज्या (r) = $14 over 2 cm space equals space 7 space cm$
बर्तन के अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πr squared$
$equals space 2 cross times 22 over 7 cross times 7 cross times 7 space cm squared equals space 308 space cm squared$

बर्तन के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = $14 over 2 cm space equals space 7 space cm$
बर्तन के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = (13 - 7)cm = 6 cm
बर्तन के बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πrh$
$equals 2 cross times 22 over 7 cross times 7 cross times 6 space cm squared equals space 264 space cm squared$
अत: बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = (308 + 264) cm² = 572 cm²

Question 3

Wired Faculty App

एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकर का हो, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
खिलौने के अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने के अर्धगोलाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πr squared$
   $equals space 2 cross times 22 over 7 cross times 3.5 cross times 3.5 space cm squared$
= 77 cm²

खिलौने के शंकु वाले भाग की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने के शंकु वाले भाग की ऊँचाई (h) = (15.5 - 3.5)cm = 12 cm
खिलौने के शंकु वाले भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = $square root of straight r squared plus straight h squared end root$
$equals square root of left parenthesis 3.5 right parenthesis squared plus left parenthesis 12 right parenthesis squared end root equals square root of 12.25 plus 144 end root equals square root of 156.25 end root space space equals space 12.5 space cm$
खिलौने के शंकु वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $πrl$
   $equals space 22 over 7 cross times 3.5 cross times 12.5 space cm squared equals space 137.5 space cm squared$
अत: खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = (अर्धगोलाकार + शंकु वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= (77+137.5)cm² = 214.5 cm²

Question 4

Wired Faculty App

भुजा 7cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm
प्रश्नानुसार अर्धगोले का अधिकतम व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा
$rightwards double arrow$ अर्धगोले का अधिकतम व्यास = 7 cm
$rightwards double arrow$ अर्धगोले की त्रिज्या (r) = $7 over 2 cm$

घनाकार ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(भुजा)²
= 6 x 7 x 7 cm²
= 294 cm²
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πr squared space minus space πr squared space equals space πr squared$

$equals 77 over 2 cm squared space equals space 38.5 space cm squared$
अत: पूर्ण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (294 + 38.5) cm² = 332.5 cm²

Question 5

Wired Faculty App

एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काटकर एक अर्धगोलाकार गड्डा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास l घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, घनाकार ब्लॉक की भुजा = l मात्रक
∴   घनाकार ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(भुजा)²
= 6l² वर्ग मात्रक
अर्धगोले का व्यास = l मात्रक
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = $l over italic 2$ मात्रक
∴ अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πr squared minus πr squared$
   $equals πr squared$
$equals straight pi open parentheses straight l over 2 close parentheses squared space equals space πl squared over 4$   वर्ग मात्रक
अत: शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल $equals 6 straight l squared plus πl squared over 4$
$equals space straight l squared over 4 left square bracket straight pi plus 24 right square bracket$ वर्ग मात्रक

Question 6

Wired Faculty App

दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकर का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, कैप्सूल के बेलनाकार भाग का व्यास = 5 mm
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = $5 over 2 mm$
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = $open parentheses 14 minus 5 over 2 minus 5 over 2 close parentheses mm space equals space 9 space mm$
$rightwards double arrow$   कैप्सूल के बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πrh$
   $equals 2 cross times 22 over 7 cross times 5 over 2 cross times 9 space space mm squared equals space 990 over 7 mm squared$
कैप्सूल के दोनों अर्धवृत्ताकार सिरों की त्रिज्या (r) = $5 over 2 mm$
$rightwards double arrow$ कैप्सूल के दोनों अर्धवृत्ताकार सिरों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 left square bracket 2 πr squared right square bracket$
$equals space 4 cross times 22 over 7 cross times 5 over 2 cross times 5 over 2 space mm squared equals space 550 over 7 mm squared$
अत: कैप्सूल का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $open parentheses 990 over 7 plus 550 over 7 close parentheses mm squared$
   $equals space 1540 over 7 mm squared space equals space 220 space mm squared$

Question 7

Wired Faculty App

कोई तम्बू एक बेलन के आकर का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, 500रु प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए।(ध्यान दीजिए की तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)

Solution

यहाँ पर, तंबू के बेलनाकार भाग का व्यास = 4 m
तंबू के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = $4 over 2 straight m space equals space 2 space straight m$
तंबू के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 2.1 m
$rightwards double arrow$   तंबू के बेलनाकार भाग का एक पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πrh$
   $equals 2 cross times 22 over 7 cross times 2 cross times 2.1 space straight m squared equals space 26.4 space straight m squared$

तंबू के शंकु वाले भाग की त्रिज्या (r) = $4 over 2 straight m space equals space 2 straight m$
तंबू के शंकु वाले भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m
$rightwards double arrow$ तंबू के शंकु वाले भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $πrl$
   $equals space 22 over 7 cross times 2 cross times 2.8 space straight m squared equals space 17.6 space straight m squared$
अत: तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवस का क्षेत्रफल = (26.4 + 17.6)m² = 44 m²
1m² कैनवस की लागत = 500 रु
44m²कैनवस की लागत = 44 x 500 रु = ₹22000

Question 8

Wired Faculty App

ऊँचाई 2.4cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
बेलनाकार ठोस का व्यास = 1.4 cm
बेलनाकार ठोस की त्रिज्या (r₁) = $fraction numerator 1.4 over denominator 2 end fraction cm space equals space 0.7 space cm$
बेलनाकार ठोस की ऊँचाई (h₁) = 2.4 cm

$rightwards double arrow$ बेलनाकार ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₁) = $2 πr subscript 1 straight h subscript 1$
$equals space 2 cross times 22 over 7 cross times 0.7 cross times 2.4 space cm squared space equals space 10.56 space cm squared$
तथा बेलनाकार ठोस के आधार का क्षेत्रफल (A₂) = $πr subscript 1 superscript 2 space equals space 22 over 7 cross times 0.7 cross times 0.7 space cm squared$
= 1.54 cm²
काटे गए शंक्वाकार खोल की तिर्यक ऊँचाई (l₁) = $square root of straight r subscript 1 superscript 2 plus straight h subscript 1 superscript 2 end root$

equals space square root of left parenthesis 0.7 right parenthesis squared plus left parenthesis 2.4 right parenthesis squared end root space cm

equals space square root of left parenthesis 0.49 space plus space 5.76 right parenthesis end root space cm

equals square root of 6.25 end root space equals space 2.5 space cm

rightwards double arrow space

काटे गए शंक्वाकार खोल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₃) =

πr subscript 1 straight l subscript 1

equals 22 over 7 cross times 0.7 cross times 2.5 space cm squared equals space 5.5 space cm squared

अत: शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = A₁ + A₂ + A₃
= (10.56 + 1.54 + 5.5)cm²
= 17.6 cm²

Question 9

Wired Faculty App

लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकलते हुए, एक वस्तु बनाई गई हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, दिए गए ठोस बेलन के
आधार की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
दिए गए ठोस बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
$rightwards double arrow$ दिए गए ठोस बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₁) = $2 πrh$
$equals space 2 cross times 22 over 7 cross times 3.5 cross times 10 space cm squared space equals space 220 space cm squared$

निकाले गए प्रत्येक अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
$rightwards double arrow$ निकाले गए दोनों अर्धगोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₂) = $2 left parenthesis 2 πr squared right parenthesis$
$equals space 4 space cross times space 22 over 7 cross times 3.5 space cross times space 3.5 space cm squared equals space 154 space cm squared$
अत: दी गई वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = A₁ + A₂
= (220 + 154)cm²
= 374 cm²

Question 10

Wired Faculty App

एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकर का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन $straight pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
दिए गए ठोस के अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या (r) = 1 cm
दिए गए ठोस के शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = 1 cm
दिए गए ठोस के शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h) = 1 cm

अत: दिए गए ठोस का आयतन = (अर्धगोलाकार भाग + शंक्वाकार भाग) का आयतन
   $equals space 2 over 3 πr cubed plus 1 third πr squared straight h$
   $equals space open square brackets 2 over 3 left parenthesis 1 right parenthesis cubed plus 1 third left parenthesis 1 right parenthesis squared left parenthesis 1 right parenthesis close square brackets straight pi space cm cubed equals space open square brackets 2 over 3 plus 1 third close square brackets straight pi space cm cubed space equals space straight pi space cm cubed$

Question 11

Wired Faculty App

एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्युमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकर का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2cm हो तो रचेल द्वारा बनाए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए की मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)

Solution

मॉडल के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = $3 over 2 cm$
मॉडल के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₁₎ = (12 - 2 x 2)cm
= 8 cm
मॉडल के प्रत्येक शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = $3 over 2 cm$

मॉडल के प्रत्येक शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h₂) = 2 cm
मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन = (बेलनाकार भाग + दोनों शंक्वाकार भागों) का आयतन
$equals πr subscript 1 superscript 2 space plus space 2 open parentheses 1 third πr subscript 2 superscript 2 straight h subscript 2 close parentheses equals space 22 over 7 open square brackets 3 over 2 cross times 3 over 2 cross times 8 plus 2 over 3 cross times 3 over 2 cross times 3 over 2 cross times 2 close square brackets cm cubed equals space 22 over 7 left square bracket 18 plus 3 right square bracket space cm cubed space equals space 22 over 7 cross times 21 space cm cubed space equals space 66 space cm cubed$

Question 12

Wired Faculty App

एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकर का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5cm और व्यास 2.8 cm है।

Solution

गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) =

fraction numerator 2.8 over denominator 2 end fraction space equals space 1.4 space cm

गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₁) = (5 - 1.4 x 2)cm
= 2.2 cm
गुलाबजामुन के प्रत्येक अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या (r₂) =

fraction numerator 2.8 over denominator 2 end fraction cm space equals space 1.4 space cm

अत: 1 गुलाबजामुन का आयतन = (बेलनाकार भाग + दोनों शंक्वाकार भागों) का आयतन
=

πr subscript 1 superscript 2 straight h subscript 1 space plus space 2 open parentheses 2 over 3 πr subscript 2 superscript 3 close parentheses

equals space open square brackets 22 over 7 cross times 1.4 cross times 1.4 cross times 2.2 plus 4 over 3 cross times 22 over 7 cross times 1.4 cross times 1.4 cross times 1.4 close square brackets cm cubed equals space left square bracket 13.552 plus space 11.499 right square bracket cm cubed space equals space 25.051 space cm cubed

rightwards double arrow

45 गुलाबजामुनों का आयतन

equals space 45 space cross times space 25.051 space cm cubed

equals space 1127.295 space cm cubed space approximately equal to space 1127 space cm cubed

अत: 45 गुलाबजामुनों में चीनी की चाशनी की मात्रा =

fraction numerator 1127 space cross times space 30 over denominator 100 end fraction cm cubed

equals space 338.1 space cm cubed space approximately equal to space 338 space cm cubed

Question 13

Wired Faculty App

एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकर का है। इसकी ऊँचाई 8cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियॉं जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलीयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
  शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या (r₁) = 5 cm
शंकु के आकार के बर्तन की ऊँचाई (h) = 8 cm
शंकु के आकार के बर्तन में पानी का आयतन $equals 1 third πr subscript 1 squared straight h space equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 5 cross times 5 cross times 8 space cm cubed$
शंकु के आकार के बर्तन से बाहर निकल पानी का आयतन = $1 fourth open square brackets 1 third cross times 22 over 7 cross times 5 cross times 5 cross times 8 close square brackets cm cubed$
$equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 50 space cm cubed$
बर्तन में डाली गई प्रत्येक सीसे की गोली की त्रिज्या (r₂) = 0.5 cm
बर्तन में डाली गई प्रत्येक सीसे की गोली का आयतन = $4 over 3 πr subscript 2 cubed$
$equals 4 over 3 cross times 22 over 7 cross times 0.5 cross times 0.5 cross times 0.5 space cm cubed equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 0.5 space cm cubed$
अत: बर्तन में डाली गई सीसे की गोलीयों की संख्या = $fraction numerator बर ् तन space स े space ब ा हर space न ि कल े space प ा न ी space क ा space आयतन space over denominator प ् रत ् य े क space स ी स े space क ी space ग ो ल ी space क ा space आयतन space end fraction$
   $equals space fraction numerator begin display style 1 third end style cross times begin display style 22 over 7 end style cross times 50 over denominator begin display style 1 third end style cross times begin display style 22 over 7 end style cross times 0.5 end fraction space equals space 100$

Question 14

Wired Faculty App

ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई और त्रिज्या वाला एक बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है लोहे का द्रव्यमान लगभग होता है। ( $straight pi space equals space 3.14$ लीजिए।)

Solution

यहाँ पर, बड़े बेलन का व्यास = 24 cm
बड़े बेलन की त्रिज्या (R) = $24 over 2 cm space equals space 12 space cm$
बड़े बेलन की त्रिज्या (H) = 220 cm
बड़े बेलन का आयतन (V₁) = $πR squared straight H$
= 3.14 x 12 x 12 x 220 cm³
= 99475.2 cm³छोटे बेलन की त्रिज्या(r) = 8 cm
छोटे बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm
छोटे बेलन का आयतन (V₂) = $πr squared straight h$
= 3.14 x 8 x 8 x 60 cm³ = 12057.6 cm³स्तंभ में लगे कुल लोहे का आयतन = $straight V subscript 1 plus straight V subscript 2$
= (99475.2+12057.6)cm³
=111532.8 cm³
1 cm³ लोहे का द्रव्यमान = 8 g
111532.8 cm³ लोहे का द्रव्यमान = 111532.8 x 8 g
$equals space fraction numerator 111532.8 space cross times 8 over denominator 1000 end fraction kg equals space 892.26 space kg$

Question 15

Wired Faculty App

एक ठोस में, ऊँचाई 120cm और त्रिज्या 60cm वाला एक शंकु सम्मलित है, जो 60cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
लंब वृत्तीय बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (R) = 60 cm
लंब वृत्तीय बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई (H) = 180 cm
लंब वृत्तीय बेलनाकार बर्तन की आयतन (V₁) = $πR squared straight H$
$equals space 22 over 7 cross times 60 cross times 60 cross times 180 space cm cubed equals space 2036571.40 space cm cubed$

ठोस के शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या
(r) = 60 cm
ठोस के शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h) = 120 cm
ठोस का आयतन (V₂) = (शंक्वाकार भाग + अर्धगोलाकार भाग) का आयतन
= $1 third πr squared straight h plus 2 over 3 πr cubed$
$equals space 1 third πr squared left square bracket straight h plus 2 straight r right square bracket equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 60 cross times 60 space left square bracket 120 plus 2 cross times 60 right square bracket space cm cubed equals space 22 over 7 cross times 1200 cross times 240 space cm cubed space equals space 905142.85 space cm cubed$
अत: बेलनाकार बर्तन में शेष बचे पानी की आयतन = V₁ - V₂
= (2036571.40 - 905142.85)cm³
= 1131428.55 cm³
= 1.131 m³ (लगभग)

Question 16

Wired Faculty App

एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8cm है और व्यास 2cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया की इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और $straight pi space equals space 3.14$

Solution

यहाँ पर,
बर्तन के बेलनाकार भाग का व्यास (d₁) = 2 cm
बर्तन के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = $2 over 2 cm space equals space 1 space cm$
बर्तन के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 8 cm
बर्तन के बेलनाकार भाग का आयतन (V₁) = $πr subscript 1 squared straight h$
= 3.14 x 1 x 1 x 8 cm³
= 25.12 cm³
बर्तन के गोलाकार भाग का व्यास (d₂) = 8.5 cm
बर्तन के गोलाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = $fraction numerator 8.5 over denominator 2 end fraction cm space equals space 4.25 space cm$

बर्तन के गोलाकार भाग का आयतन (V₂) =

4 over 3 πr subscript 2 cubed

equals space 4 over 3 cross times 3.14 cross times 4.25 cross times 4.25 cross times 4.25 space cm cubed equals space 321.39 space cm cubed

rightwards double arrow

बर्तन में भरे जा सकने वाले पानी का कुल आयतन = V₁ + V₂
=[25.12 + 321.39] cm³
= 346.51 cm³
अत: बच्चे का उत्तर 345 cm³सही नहीं है।

Question 17

Wired Faculty App

त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
$rightwards double arrow$ धातु के गोले का आयतन = $4 over 3 πr cubed$
$equals space 4 over 3 straight pi left parenthesis 4.2 right parenthesis cubed$ cm³
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
माना
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = H cm
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन का आयतन = $πR squared straight H$
$equals straight pi left parenthesis 6 right parenthesis squared straight H space cm cubed equals space 36 πH space cm cubed$
प्रश्नानुसार,
$36 πH space equals space 4 over 3 straight pi left parenthesis 4.2 right parenthesis cubed$
$rightwards double arrow$ $straight H space equals space 4 over 3 cross times 1 over 36 cross times 4.2 cross times 4.2 cross times 4.2$
$equals 2.744 space cm space asymptotically equal to space 2.74 space cm$
अत: धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = 2.74 cm

Sponsor Area

Question 18

Wired Faculty App

क्रमश: 6cm, 8cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
  पहले ठोस गोले की त्रिज्या (r₁) = 6 cm
दूसरे ठोस गोले की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तीसरे ठोस वाले गोले की त्रिज्या (r₃) = 10 cm
माना तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर
  बने बड़े ठोस गोले की त्रिज्या = R cm
प्रश्नानुसार, बड़े ठोस गोले का आयतन = (पहले + दूसरे + तीसरे) ठोस गोलों का आयतन
$rightwards double arrow$ $4 over 3 πR cubed space equals space 4 over 3 πr subscript 1 cubed space plus space 4 over 3 πr subscript 2 cubed space plus space 4 over 3 πr subscript 3 cubed$
$rightwards double arrow space space space space space space space$ $straight R cubed space space equals space straight r subscript 1 cubed plus space straight r subscript 2 cubed space plus space straight r subscript 3 cubed$ [दोनों ओर $4 over 3 straight pi$ से भाग करने पर] $rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space straight R cubed space equals space left parenthesis 6 right parenthesis cubed plus space left parenthesis 8 right parenthesis cubed space plus space left parenthesis 10 right parenthesis cubed$
= 216 + 512 + 1000 = 1728 = (12)³ $rightwards double arrow$ R³ = 12
अत: तीनों ठोस गोलों को पिघलाकर बने बड़े ठोस क्षेत्र गोले की त्रिज्या = 12 cm

Question 19

Wired Faculty App

व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
बेलनाकार कुएँ का व्यास = 7m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = $7 over 2 straight m$
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 20 m
$rightwards double arrow$ बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकली गई मिट्टी का आयतन $equals space πr squared straight h$
$equals space 22 over 7 cross times 7 over 2 cross times 7 over 2 cross times 20 space straight m cubed equals space 770 space straight m cubed$
मिट्टी से बनने वाले चबूतरे का क्षेत्रफल = 22 x 14 m²
= 308 m²
अत: मिट्टी से बनने वाले चबूतरे की ऊँचाई = $fraction numerator म ि ट ् ट ी space क ा space आयतन space over denominator चब ू तर े space क ा space क ् ष े त ् रफल space end fraction$
= $770 over 308 straight m space equals space 2.5 space straight m$

Question 20

Wired Faculty App

व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, बेलनाकार कुएँ का व्यास = 3 m
बेलनाकार कुएँ की त्रिज्या (r) = $3 over 2 straight m$
बेलनाकार कुएँ की गहराई (h) = 14 m
$rightwards double arrow$ बेलनाकार कुएँ को खोदकर निकाली गई मिट्टी का आयतन = $πr squared straight h$
$equals 22 over 7 cross times 3 over 2 cross times 3 over 2 cross times 14 straight m cubed equals space 99 space straight m cubed$

कुएँ की त्रिज्या (r) = 1.5 m
वृत्ताकार वलय (बांध) की चौड़ाई = 4.0 m
वृत्ताकार वलय की बाहरी त्रिज्या (R) = (1.5 + 4)m = 5.5 m
अब वृत्ताकार वलय (बाँध) का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल - आंतरिक क्षेत्रफल
$equals πR squared space minus space πr squared equals space straight pi left square bracket left parenthesis 5.5 right parenthesis squared minus left parenthesis 1.5 right parenthesis squared right square bracket straight m squared equals space 22 over 7 cross times 28 space straight m squared space equals space 88 space straight m squared$
अत: बाँध की ऊँचाई = $fraction numerator म ि ट ् ट ी space क ा space आयतन space over denominator ब ाँ ध space क ा space क ् ष े त ् रफल space end fraction$
$equals space 99 over 88 straight m space equals space 9 over 8 space equals space 1.125 space straight m$

Question 21

Wired Faculty App

व्यास 12cm और ऊँचाई 15cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12cm और व्यास 6cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।

Solution

यहाँ पर,
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (R) = $12 over 2 cm space equals space 6 cm$
आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई (H) = 15 cm
$rightwards double arrow$ आइसक्रीम के लिए बेलनाकार बर्तन का आयतन = $πR squared straight H$
= $straight pi left parenthesis 6 right parenthesis squared cross times 15 space cm cubed$
$equals 540 space straight pi space cm cubed$
शंक्वाकार बर्तन का व्यास = 6 cm
  शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = $6 over 2 cm space equals space 3 space cm$
शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 12 cm
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $equals space 1 third πr squared straight h$
$equals 1 third cross times straight pi left parenthesis 3 right parenthesis squared cross times 12 space cm cubed equals space 36 space straight pi space cm cubed$
शंकु के ऊपर अर्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = $2 over 3 πr cubed$
   $equals 2 over 3 straight pi left parenthesis 3 right parenthesis cubed space equals space 18 straight pi space cm cubed$
$therefore$   प्रत्येक शंकु में आइसक्रीम का आयतन = $left parenthesis 36 straight pi space plus space 18 straight pi right parenthesis space cm cubed$
$equals space 54 space straight pi space cm cubed$
अत: आवश्यक शंकुओं की संख्या $equals space fraction numerator ब े लन ा क ा र space बर ् तन space क ा space आयतन space over denominator प ् रत ् य े क space श ं क ु space म ें space आइसक ् र ी म space क ा space आयतन space end fraction equals space fraction numerator 540 space straight pi over denominator 54 space straight pi end fraction space equals space 10$

Question 22

Wired Faculty App

विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?

Solution

यहाँ पर,
वांछित घनाभ का आयतन = 5.5 x 10 x 3.5 cm³ = 192.5 cm³
चाँदी के प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
चाँदी के प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या (r) = $fraction numerator 1.75 over denominator 2 end fraction space equals space 175 over 200 equals space 7 over 8 cm$
चाँदी के प्रत्येक सिक्के की ऊँचाई (h) = 2 mm = $2 over 10 cm space equals space 1 fifth cm$
चाँदी के प्रत्येक सिक्के का आयतन = $πr squared straight h$
$equals space 22 over 7 cross times 7 over 8 cross times 7 over 8 cross times 1 fifth cm cubed space equals space 77 over 160 cm cubed$
अत: घनाभ के लिए आवश्यक
चाँदी के सिक्कों की संख्या = $fraction numerator घन ा भ space क ा space आयतन space over denominator प ् रत ् य े क space स ि क ् क े space क ा space आयतन space end fraction$
$equals space fraction numerator 192.5 over denominator begin display style 77 over 160 end style end fraction equals space 1925 over 10 cross times 160 over 77 space equals space 400$

Question 23

Wired Faculty App

32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
दी गई बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (R) = 18 cm
  दी गई बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
दी गई बेलनाकार बाल्टी के रेत का आयतन = $πR squared straight H$
= $straight pi left parenthesis 18 right parenthesis squared left parenthesis 32 right parenthesis space cm cubed$
माना,
बाल्टी को खाली करने से बनी शंक्वाकार रेत की ढेरी की त्रिज्या = r cm
बाल्टी को खाली करने से बनी शंक्वाकार रेत की ढेरी की ऊँचाई (h) = 24 cm
बाल्टी को खाली करने से बनी शंक्वाकार रेत की ढेरी का आयतन = $1 third πr squared straight h$
प्रश्नानुसार, $1 third πr squared straight h space equals space straight pi left parenthesis 18 right parenthesis squared left parenthesis 32 right parenthesis$
$rightwards double arrow$    $1 third cross times straight r squared cross times 24 space equals space 18 space cross times space 18 space cross times space 32$
$rightwards double arrow$    $straight r squared space equals space fraction numerator 18 space cross times space 18 space cross times space 32 over denominator 8 end fraction space equals space 18 space cross times space 18 space cross times space 2 space cross times space 2 space equals space left parenthesis 36 right parenthesis squared$
r = 36 cm
अब रेत की ढेरी की तिर्यक ऊँचाई (l) = $square root of straight r squared plus straight h squared end root$
$equals space square root of left parenthesis 36 right parenthesis squared plus left parenthesis 24 right parenthesis squared end root space equals space square root of 1296 plus 576 end root equals space square root of 1872 equals space square root of 12 space cross times space 12 space cross times space 13 end root space equals space 12 square root of 13 space cm$
अत: रेत की ढेरी की त्रिज्या 36cm तथा तिर्यक ऊँचाई $12 square root of 13 space cm$

Question 24

Wired Faculty App

6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है।

Solution

यहाँ पर,
नहर में पानी की चाल (l) = 10 km/h = $fraction numerator 10 space cross times space 1000 over denominator 60 end fraction straight m divided by min space equals space 500 over 3 straight m divided by min$
नहर की चौड़ाई (b) = 6 m
नहर की गहराई (h) = 1.5 m
30 मिनट में नहर से निकले पानी का आयतन = $500 over 3 cross times 30 cross times 6 cross times 1.5 space straight m cubed$
$equals space 45000 space straight m cubed$
सिंचाई वाले क्षेत्र में पानी की ऊँचाई = 8 cm = $8 over 100 straight m$
अत: सिंचाई वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = $fraction numerator नहर space स े space न ि कल े space प ा न ी space क ा space आयतन space over denominator क ् ष े त ् र space म ें space प ा न ी space क ी space ऊ ँ च ा ई space end fraction$
$equals fraction numerator 45000 space cross times space 100 over denominator 8 end fraction straight m squared equals space 562500 space straight m squared$

Question 25

Wired Faculty App

एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी?

Solution

यहाँ पर,
दी गई बेलनाकार टंकी का व्यास = 10 m
दी गई बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (R) = $10 over 2 straight m space equals space 5 straight m$
दी गई बेलनाकार टंकी की गहराई (H) = 2 m
दी गई बेलनाकार टंकी का आयतन = $πR squared straight H$
= $straight pi left parenthesis 5 right parenthesis squared left parenthesis 2 right parenthesis space straight m cubed$
   $equals space 50 space straight pi space straight m cubed$
पाइप से निकलने वाले पानी की चाल = 3 km/h
   $equals space fraction numerator 3 space cross times space 1000 over denominator 60 end fraction straight m divided by min space equals space 50 space straight m divided by min$
माना पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = t min
दिए गए पाइप का आंतरिक व्यास = 20 cm = $20 over 100 straight m space equals space 1 fifth straight m$
दिए गए पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = $1 over 10 straight m$
अत: दिए गए पाइप से t min निकलने वाले पानी का आयतन = $straight pi open parentheses 1 over 10 close parentheses squared space left parenthesis 50 space straight t right parenthesis straight m cubed$
= $straight pi over 2 straight t space straight m cubed$
प्रश्नानुसार,    $straight pi over 2 straight t space equals space 50 space straight pi$
$rightwards double arrow$ t = 50 x 2 = 100
अत: पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट

Question 26

Wired Faculty App

पानी पीने वाला एक गिलास 14cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकर का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4cm और 2cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, शंकु के छिन्नक के आकार के गिलास के लिए
$straight r subscript 1 space equals space 4 over 2 cm space equals space 2 cm straight r subscript 2 space equals space 2 over 2 cm space equals space 1 cm straight h space equals space 14 space cm$
अत: गिलास की धारिता = $1 third πh left square bracket straight r subscript 1 squared plus straight r subscript 1 straight r subscript 2 plus space straight r subscript 2 superscript 2 right square bracket$
$equals 1 third cross times 22 over 7 cross times 14 left square bracket left parenthesis 2 right parenthesis squared plus 2 left parenthesis 1 right parenthesis plus left parenthesis 1 right parenthesis squared right square bracket space cm cubed equals space 44 over 3 left parenthesis 4 plus 2 plus 1 right parenthesis space cm cubed equals space fraction numerator 44 cross times 7 over denominator 3 end fraction cm cubed space equals space 308 over 3 cm cubed space equals space 102 2 over 3 cm cubed$

Question 27

Wired Faculty App

एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18cm और 6cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर , शंकु के छिन्नक के लिए ऊपरी सिरे की परिधि = 18 cm
$rightwards double arrow$ $2 πr subscript 1 space equals space 18$
$rightwards double arrow$ $straight r subscript 1 space equals space fraction numerator 18 over denominator 2 straight pi end fraction space equals space 9 over straight pi$ cm
निचले सिरे की परिधि = 6cm
$rightwards double arrow$ $2 πr subscript 2 space equals space space 6 space cm$
$rightwards double arrow$ $straight r subscript 2 space equals space fraction numerator 6 over denominator 2 straight pi end fraction space equals space 3 over straight pi cm$
तिर्यक ऊँचाई (l) = 4 cm
अत: शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis l$
$equals space straight pi open parentheses 9 over straight pi plus 3 over straight pi close parentheses l$
$equals space straight pi space cross times space 12 over straight pi cross times space 4 space cm squared equals space 48 space cm squared$

Question 28

Wired Faculty App

एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकर की है। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, शंकु के छिन्नक के आकर की तुर्की टोपी के लिए
r₁ = 10cm
r₂ = 4 cm
l = 15 cm
अत: टोपी को बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = $straight pi left square bracket straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right square bracket l space plus space πr subscript 2 squared$
$equals space 22 over 7 left parenthesis 10 plus 4 right parenthesis cross times 15 plus 22 over 7 cross times 4 cross times 4 equals space 22 over 7 cross times left parenthesis 210 plus 16 right parenthesis cm squared equals space fraction numerator 22 space cross times space 226 over denominator 7 end fraction cm squared space equals space 4972 over 7 cm squared space equals space 710 2 over 7 cm squared$

Question 29

Wired Faculty App

धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकर का है, जिसकी ऊँचाई 16cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8cm और 20cm हैं। 20रु प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8रु प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर, शंकु के छिन्नक के आकार के बर्तन के लिए
r₁ = 20cm
r₂ = 8 cm
h = 16 cm
   $straight l space equals space square root of straight h squared plus left parenthesis straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 right parenthesis squared end root space equals space square root of left parenthesis 16 right parenthesis squared plus left parenthesis 20 minus 8 right parenthesis squared end root space space space equals space square root of 256 plus 144 end root space equals space square root of 400 space equals space 20 space cm$
बर्तन को बनाने में प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल = $straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis straight l space plus space πr subscript 2 squared$
   $equals 3.14 left square bracket left parenthesis 20 plus 8 right parenthesis cross times 20 plus 8 cross times 8 right square bracket space cm squared equals space 3.14 left square bracket 560 plus 64 right square bracket cm squared equals space 3.14 space cross times space 624 space cm squared space equals space 1959.36 space cm squared$

100 cm² धातु की चादर का मूल्य = 8 रु
1cm² धातु की चादर का मूल्य = $8 over 100 र ु$
1959.36 cm² धातु की चादर का मूल्य = $8 over 100 cross times 1959.36 space र ु$
= 156.75 रु
बर्तन में उपस्थित दूध का आयतन = $1 third πh open square brackets straight r subscript 1 squared space plus space straight r subscript 1 straight r subscript 2 space plus space straight r subscript 2 squared close square brackets$
   $equals 1 third cross times 3.14 cross times 16 left square bracket left parenthesis 20 right parenthesis squared plus left parenthesis 20 right parenthesis thin space left parenthesis 8 right parenthesis space plus space left parenthesis 8 right parenthesis squared right square bracket space cm cubed equals space 1 third cross times 50.24 space left square bracket 400 plus 160 plus 64 right square bracket space cm cubed equals space fraction numerator 50.24 over denominator 3 end fraction space cross times 624 space cm cubed space equals space 10449.92 space cm cubed equals space 10.44992 space ल ी टर space space asymptotically equal to space 10.45 space ल ी टर$
बर्तन में उपस्थित 1 लीटर दूध का मूल्य = 20 रु
बर्तन में उपस्थित 10.45 लीटर दूध का मूल्य = 10.45 x 20 रु
= 209 रु

Question 30

Wired Faculty App

20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचो-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समांतर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास $1 over 16 cm$ वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना APQ एक दिया गया शंकु है, जिसका शीर्ष $angle PAQ space equals space 60 degree$ तथा ऊँचाई 20cm है।
इसे बिंदु O' से इस प्रकार काटा गया है कि AO' = O'O है।
माना शंकु के छिन्नक PQQ'P के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ r₁तथा r₂हैं तो
$increment APQ$ तथा $increment AP apostrophe straight O apostrophe$ में,
   $OP over OA space equals space tan space 30 degree$   व $fraction numerator straight O apostrophe straight P apostrophe over denominator straight O apostrophe straight A end fraction space equals space tan space 30 degree$

$rightwards double arrow$    $straight r subscript 1 over 20 equals space space fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction space$ व $straight r subscript 2 over 10 space equals space fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction$
$rightwards double arrow$    $straight r subscript 1 space equals space fraction numerator 20 over denominator square root of 3 end fraction$ व $straight r subscript 2 space equals space fraction numerator 10 over denominator square root of 3 end fraction$
शंकु के छिन्नक का आयतन = $1 third πh open square brackets straight r subscript 1 squared space plus space straight r subscript 1 straight r subscript 2 space plus straight r subscript 2 squared close square brackets$
   $equals space 1 third straight pi left parenthesis 10 right parenthesis space open square brackets open parentheses fraction numerator 20 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 20 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses space open parentheses fraction numerator 10 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses plus open parentheses fraction numerator 10 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared close square brackets cm cubed equals space 10 over 3 straight pi open square brackets 400 over 3 plus 200 over 3 plus 100 over 3 close square brackets cm cubed equals space 10 over 3 straight pi cross times 700 over 3 cm cubed equals space 7000 over 9 straight pi space cm cubed$
माना शंकु के छिन्नक से बने बेलनाकार तार की लंबाई = h cm
दिया है शंकु के छिन्नक से बने बेलनाकार तार का व्यास = $1 over 16 cm$
अत: शंकु के छिन्नक से बने बेलनाकार तार की त्रिज्या (r) = $1 over 16 cross times 1 half cm equals space space 1 over 32 cm$
शंकु के छिन्नक से बने बेलनाकार तार का आयतन = $πr squared straight h$
$equals straight pi open parentheses 1 over 32 close parentheses squared straight h space cm cubed space equals space πh over 1024 cm cubed$
प्रश्नानुसार,    $πh over 1024 equals space fraction numerator 7000 straight pi over denominator 9 end fraction$
$rightwards double arrow$ $straight h space equals space fraction numerator 7000 straight pi over denominator 9 end fraction cross times 1024 over straight pi space equals space 796444.44 space cm$
= 7964.44 m
अत: शंकु के छिन्नक से बने बेलनाकार तार की लंबाई = 7964.44 m

Question 31

Wired Faculty App

व्यास 3mm वाले ताँबें के एक तारे को 12cm लंबे और 10cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लंबाई और दर्व्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए की ताँबे का घनत्व 8.88g प्रति cm³ है।

Solution

यहाँ पर, प्रश्नानुसार स्पष्ट होता है कि
बेलन पर तार को एक बार लपेट देने पर उसकी लम्बाई का 3mm(0.3 cm) भाग ढक जाता है।
∴ बेलन की पूरी लंबाई ढकने के लिए आवश्यक लपेटों की संख्या = $fraction numerator ब े लन space क ी space ल ं ब ा ई space over denominator त ा र space space क ा space व ् य ा स space end fraction space equals space fraction numerator 12 over denominator 0.3 end fraction space equals space 40$
क्योंकि एक लपेट में तार की लंबाई बेलन के सिरे की परिधि के बराबर है
अब   बेलन की त्रिज्या (r) = $10 over 2 cm space equals space 5 cm$
बेलन की परिधि = $2 πr space equals space 2 space cross times space 3.14 space cross times space 5 cm space equals space 3.14 space cm$
40 लपेटों में लगी तार की लंबाई (h) = 40 x 3.14 = 1256 cm
  ताँबें की तार की त्रिज्या (r₁) = $3 over 2 mm space equals space 3 over 20 cm$
ताँबें की तार का आयतन = $πr subscript 1 squared straight h$
   $equals 3.14 space cross times space 3 over 20 space cross times space 3 over 20 space cross times space 1256 space cm cubed equals space 88.74 space cm cubed$
1 cm³ ताँबें की तार का द्रव्यमान = 8.88 g
88.74 cm³ ताँबें की तार का द्रव्यमान = 88.74 x 8.88g = 788 g(लगभग)

Question 32

Wired Faculty App

एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3cm और 4cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परित: घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $straight pi$ का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)

Solution

माना,
$increment ABC comma space angle straight A$ पर समकोण हैं
जिसमें AB = 3 cm
AC = 4 cm
तो कर्ण (BC) = $square root of left parenthesis 3 right parenthesis squared plus left parenthesis 4 right parenthesis squared end root$
$equals space square root of 9 plus 16 end root space equals space square root of 25 space equals space 5 space cm$

समकोण त्रिभुज को कर्ण BC के गिर्द घुमाने पर बने द्विशंकु के उभयनिष्ठ आधार की त्रिज्या AO या A'O है।
शंकु BAA' की ऊँचाई BO तथा तिर्यक ऊँचाई 3cm है।
शंकु CAA' की ऊँचाई CO तथा तिर्यक ऊँचाई 4cm है।
समकोण त्रिभुजों AOB तथा BAC में,
   $angle straight B space equals space angle straight B$ (उभयनिष्ठ)
$angle BOA space equals space angle BAC space equals space 90 degree$
इसलिए, $increment AOB$ तथा $increment CAB$ समरूप हैं।
$therefore$    $AO over AC equals space space AB over AC space space rightwards double arrow space space space AO over 4 equals space space 3 over 5$
$rightwards double arrow$    $AO space equals space 3 over 5 cross times 4 equals space space 12 over 5 cm$
तथा    $BO over AB space equals space AB over BC space rightwards double arrow space space fraction numerator BO over denominator 3 space end fraction space equals space 3 over 5$
$rightwards double arrow$ $BO space equals space fraction numerator 3 cross times 3 over denominator 5 end fraction space equals space 9 over 5 cm$
अब,    $CO space equals space BC space minus space BO space equals space 5 minus 9 over 5 space equals space fraction numerator 25 minus 9 over denominator 5 end fraction space equals 16 over 5 cm$
शंकु BAA' का आयतन = $1 third πr squared straight h$
$equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times left parenthesis AO right parenthesis squared space cross times space BO equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 12 over 5 cross times 12 over 5 cross times 9 over 5 equals space 9504 over 875 cm cubed$
शंकु CAA' का आयतन = $1 third πr squared straight h$
$equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times left parenthesis straight A apostrophe straight O right parenthesis squared space cross times space CO equals space 1 third cross times 22 over 7 cross times 12 over 5 cross times 12 over 5 cross times 16 over 5 space equals space 16896 over 875 cm cubed$
$therefore$ द्विशंकु का आयतन = $9504 over 875 plus 16896 over 875 equals 26400 over 875 equals 1056 over 35 space equals space 30.17 space cm cubed$
इस प्रकार
द्विशंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (BAA' + CAA') का पृष्ठीय क्षेत्रफल
   $equals straight pi left parenthesis AO right parenthesis thin space left parenthesis AB right parenthesis space plus space straight pi left parenthesis AO right parenthesis thin space left parenthesis AC right parenthesis$
$equals space 22 over 7 cross times 12 over 5 left square bracket 3 plus 4 right square bracket space cm squared equals space 22 over 7 cross times 12 over 5 cross times 7 space cm squared space equals space 264 over 5 cm squared space equals space 52.8 space cm squared$

Question 33

Wired Faculty App

एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150cm x 120cm x 110 cm हैं, में 129600 cm³ पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक की टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का $1 over 17$ पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5cm x 6.5cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?

Solution

यहाँ पर,
दी गई टंकी का आयतन = 150 x 120 x 110 cm³    =1980000 cm³
दी गई टंकी में उपस्थित पानी का आयतन = 129600 cm³दी गई प्रत्येक ईंट का आयतन = 22.5 x 7.5 x 6.5 cm³
= 1096.875 cm³
माना टंकी में डाली जा सकने वाली ईंटों की संख्या = n
तो n ईंटों द्वारा सोखो जाने वाले पानी का आयतन = n x $1 over 17 cross times 1096.875 space cm cubed$
= 64.522 n cm³'
$rightwards double arrow$ टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = [129600 - 64.522 n] cm³प्रश्नानुसार,
टंकी में शेष बचे पानी का आयतन + n ईंटों का आयतन = टंकी का आयतन
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space left square bracket 129600 space minus space 64.522 space straight n right square bracket space plus space 1096.875 space straight n space equals space 1980000$
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space$ [1096.875 - 64.522]n = 1980000 - 129600
$rightwards double arrow$ 1032.353 n = 1850400
$rightwards double arrow$    $straight n equals space fraction numerator 1850400 over denominator 1032.353 end fraction space equals space 1792.41 space asymptotically equal to space 1792$
अत:   आवश्यक ईंटों की संख्या = 1792

Question 34

Wired Faculty App

किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लम्बी, 75 m चौड़ी और 3m गहरी है।

Solution

यहाँ पर,
  दी गई घाटी का क्षेत्रफल = 7280 km²
= 7280 x 1000 x 1000 m² = 7280000000 m²घाटी में 15 दिनों में हुई वर्षा से ऊँचाई (h) = 10cm = $10 over 100 straight m space equals space 1 over 10 straight m$
घाटी में हुई वर्षा का कुल आयतन = क्षेत्रफल x ऊँचाई
= 7280000000 x $1 over 10 straight m cubed space equals space 728000000 space straight m cubed$
दी गई प्रत्येक नदी की लंबाई (l) = 1072 km = 1072000 m
दी गई प्रत्येक नदी की चौड़ाई (b) = 75m
दी गई प्रत्येक नदी की गहराई (h) = 3 m
दी गई प्रत्येक नदी का आयतन = l x b x h
= 1072000 x 75 x 3m³
= 241200000 m³
तीनों नदियों में समा सकने वाले जल का आयतन = 3 x 241200000 m³
= 723600000 m³
अत: घाटी में हुई वर्षा का आयतन तीनों नदियों में समा सकने वाले जल के आयतन के लगभग बराबर है।

Question 35

Wired Faculty App

टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीम की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
कुप्पी के बेलनाकार भाग का व्यास = 8 cm
कुप्पी के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = $8 over 2 equals space 4 cm$
कुप्पी के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₁) = 10 cm
कुप्पी के बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 πr subscript 1 straight h subscript 1$
= $2 cross times 22 over 7 cross times 4 cross times 10 space cm squared$
= $1760 over 7 cm squared$
कुप्पी के शंकु रूपी छिन्नक वाले भाग के लिए,
$straight r subscript 1 space equals space 18 over 2 space equals space 9 space cm straight r subscript 2 space equals space 8 over 2 space equals space 4 space cm$
$straight h subscript 2 space equals 22 space minus space 10 space equals space 12 space cm$
$l space equals space square root of straight h subscript 2 squared space plus space left parenthesis straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 right parenthesis squared end root space space equals space square root of left parenthesis 12 right parenthesis squared plus left parenthesis 9 minus 4 right parenthesis squared end root space space equals space square root of 144 plus 25 end root space equals space square root of 169 space equals space 13 cm$
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis l$
$equals space 22 over 7 left parenthesis 9 plus 4 right parenthesis space cross times 13 space cm squared space equals space 22 over 7 cross times 13 space cross times space 13 space cm squared equals space 3718 over 7 cm squared$
अत: कीप को बनाने में लगी टीम की चादर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
$equals space open parentheses 1760 over 7 plus 3718 over 7 close parentheses cm squared space equals space 5478 over 7 cm squared equals space 782 4 over 7 cm squared$

Question 36

Wired Faculty App

शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के निम्न सूत्रों को सिद्ध कीजिए,
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis l$
(ii) सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $πl left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis space plus space πr subscript 1 squared plus πr subscript 2 squared$

Solution

माना ABB₁A₁ छिन्नक की ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई l तथा वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ हैं।
जहाँ (r₁ > r₂)
माना शंकु VAB में, तिर्यक ऊँचाई (VA) = l₁
ऊँचाई (VO) = h₁तो शंकु VA₁B₁ में,
तिर्यक ऊँचाई (VA₁) = l₁ - l
ऊँचाई (VO₁) = h₁ - h

क्योंकि समकोण $increment VOA$ व $VO subscript 1 straight A subscript 1$ समरूप हैं।
$VO subscript 1 over VO space space equals space fraction numerator straight O subscript 1 straight A subscript 1 over denominator OA end fraction space equals space VA subscript 1 over VA$
$rightwards double arrow$ $fraction numerator straight h subscript 1 minus straight h over denominator straight h subscript 1 end fraction space equals space straight r subscript 2 over straight r subscript 1 space equals space fraction numerator l subscript 1 minus 1 over denominator l subscript 1 end fraction$
$rightwards double arrow$ $1 minus straight h over straight h subscript 1 space equals space straight r subscript 2 over straight r subscript 1 space equals space 1 minus l over l subscript 1$
$rightwards double arrow$ $straight h over straight h subscript 1 space equals space 1 minus straight r subscript 2 over straight r subscript 1$ व $l over l subscript 1 space equals space 1 minus straight r subscript 2 over straight r subscript 1$
$rightwards double arrow$    $straight h over straight h subscript 1 space equals space fraction numerator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 end fraction space straight व space space l over l subscript italic 1 space equals italic space fraction numerator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 end fraction$
$rightwards double arrow$ $straight h subscript 1 space equals space fraction numerator hr subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction space straight व space space space l subscript 1 italic space italic equals italic space fraction numerator hr subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(i)
अब, शंकु $VA subscript 1 straight B subscript 1$ की ऊँचाई = h₁ - h
$equals fraction numerator hr subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction minus straight h space equals space fraction numerator hr subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(ii)
शंकु VA₁B₁ की तिर्यक ऊँचाई = $l subscript italic 1 italic minus l$
$equals fraction numerator l straight r subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction space minus italic space l equals fraction numerator l straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(iii)
(i) छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = (शंकु VAB - शंकु VA₁B₁) का एक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
   $space equals space πr subscript 1 l subscript 1 space minus space πr subscript 2 left parenthesis l subscript 1 minus l right parenthesis equals space πr subscript 1 open parentheses fraction numerator l straight r subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction close parentheses minus πr subscript 2 open parentheses fraction numerator l straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction close parentheses equals straight pi open parentheses fraction numerator straight r subscript 1 squared space minus space straight r subscript 2 squared over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction close parentheses l italic equals italic space fraction numerator pi italic left parenthesis r subscript italic 1 italic plus r subscript italic 2 italic right parenthesis italic thin space italic left parenthesis r subscript italic 1 italic minus r subscript italic 2 italic right parenthesis l over denominator r subscript italic 1 italic space italic minus r subscript italic 2 end fraction italic equals italic space straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis l$
(ii) छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + (नीचे वाले वृत्ताकार आधार + ऊपरी वृत्ताकार शीर्ष) का क्षेत्रफल
$equals straight pi left parenthesis straight r subscript 1 plus straight r subscript 2 right parenthesis l space plus space πr subscript 1 squared space plus space πr subscript 2 squared$

Question 37

Wired Faculty App

शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किये संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का निम्न सूत्र सिद्ध कीजिए
आयतन = $1 third πh open square brackets straight r subscript 1 squared plus straight r subscript 1 space straight r subscript 2 space plus space straight r subscript 2 squared close square brackets$

Solution

माना ABB₁A₁ छिन्नक की ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई l तथा वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ हैं
(जहाँ r₁ > r₂)।
माना शंकु VAB में, तिर्यक ऊँचाई (VA) = l₁
ऊँचाई (VO) = h₁
तो शंकु VA₁B₁ में,
तिर्यक ऊँचाई (VA₁) = l₁ - l
ऊँचाई (VO₁) = h₁ - h

क्योंकि समकोण $increment VOA$ व $increment VO subscript 1 straight A subscript 1$ समरूप है।
$VO subscript 1 over VO space equals space fraction numerator straight O subscript 1 straight A subscript 1 over denominator OA end fraction space equals space VA subscript 1 over VA$
$rightwards double arrow$ $fraction numerator straight h subscript 1 minus straight h over denominator straight h subscript 1 straight r end subscript end fraction space equals space straight r subscript 2 over straight r subscript 1 space space equals space fraction numerator l subscript 1 minus l over denominator l subscript 1 end fraction$
$rightwards double arrow$ $1 minus straight h over straight h subscript 1 space equals space straight r subscript 2 over straight r subscript 1 space equals space 1 minus l over l subscript 1$
$rightwards double arrow$ $straight h over straight h subscript 1 space equals space 1 minus straight r subscript 2 over straight r subscript 1 space straight व space l over l subscript italic 1$
$equals space 1 minus straight r subscript 2 over straight r subscript 1$
$rightwards double arrow$ $straight h over straight h subscript 1 space equals space fraction numerator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 end fraction space straight व space space l over l subscript 1 space equals space fraction numerator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 end fraction$
$rightwards double arrow$ $straight h subscript 1 space equals space fraction numerator h straight r subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction space straight व space space straight l subscript 1 space equals space fraction numerator l straight r subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(i)
अब, शंकु VA₁B₁ की ऊँचाई = h₁ - h
$equals space fraction numerator hr subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction minus straight h space equals space fraction numerator hr subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(ii)
शंकु VA₁B₁ की तिर्यक ऊँचाई = l₁ - l
$equals space fraction numerator l straight r subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction minus l space equals space fraction numerator l straight r subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction$ ...(iii)
छिन्नक का आयतन = (शंकु VAB - शंकु VA₁B₁) का आयतन
$equals space 1 third πr subscript 1 squared straight h subscript 1 space minus space 1 third πr subscript 2 squared left parenthesis straight h subscript 1 minus straight h right parenthesis equals space 1 third straight pi left square bracket straight h subscript 1 straight r subscript 1 squared space minus space left parenthesis straight h subscript 1 minus straight h right parenthesis straight r subscript 2 squared right square bracket$
$equals straight pi over 3 open square brackets fraction numerator hr subscript 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction cross times straight r subscript 1 squared space minus space fraction numerator hr subscript 2 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction cross times straight r subscript 2 squared close square brackets$ [समीकरण (i) व (ii) से]
$equals straight pi over 3 open square brackets fraction numerator straight h over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction left parenthesis straight r subscript 1 cubed space minus space straight r subscript 2 cubed right parenthesis close square brackets equals space straight pi over 3 straight h open square brackets fraction numerator 1 over denominator straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 end fraction left parenthesis straight r subscript 1 minus straight r subscript 2 right parenthesis space left parenthesis straight r subscript 1 squared plus straight r subscript 1 straight r subscript 2 plus straight r subscript 2 squared right parenthesis close square brackets equals space 1 third πh left square bracket straight r subscript 1 squared space plus space straight r subscript 1 straight r subscript 2 space plus straight r subscript 2 squared right square bracket$

Question 38

Wired Faculty App

एक कलमदान घनाभ के आकर की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15cm x 10cm x 3.5cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

Solution

यहाँ पर,
घनाभाकर लकड़ी का कुल आयतन = (15 x 10 x 3.5) cm³
= 525 cm³
कलमदान के प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
कलमदान के प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की गहराई (h) = 1.4 cm
कलमदान के चारों शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = $4 over 3 open parentheses 1 third πr squared straight h close parentheses$
$equals 4 over 3 cross times 22 over 7 cross times 0.5 cross times 0.5 cross times 1.4 space cm cubed equals space 1.47 space cm cubed$
अतः कलमदान की लकड़ी की आयतन = (घनाभाकर लकड़ी - शंक्वाकार गड्ढों) का आयतन
= (525 - 1.47) cm³
= 525.53 cm³

Question 39

Wired Faculty App

4 मी व्यास का एक कुआँ, 21 मी की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 3 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए समान रूप से फैला कर एक बॉँध बनाया जाता है। बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

क ु ऍ ं space क ी space त ् र ि ज ् य ा comma space straight r space equals space begin inline style 4 over 2 end style space equals space 2 space straight m

परिधि की त्रिज्या, R = 2 + 3 = 5 m
कुऍं की ऊँचाई, h = 21 m

अप े क ् ष ि त space ऊ ं च ा ई space equals space fraction numerator πr squared straight h over denominator straight pi left parenthesis straight R squared minus straight r squared right parenthesis end fraction fraction numerator 2 space straight x space 2 space straight x space 21 over denominator left parenthesis 5 squared space minus space 2 squared right parenthesis end fraction space equals space fraction numerator 84 over denominator 25 space minus space 4 end fraction space equals space 84 over 21 space equals space 4 space straight m

सिध्द हुआ, कि परिधि की ऊँचाई 4m है।

Sponsor Area

Question 40

Wired Faculty App

एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या तथा ऊँचाई का योग 37 सेमी है। यदि ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1628 वर्ग सेमी है, तो ठोस बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। $left parenthesis straight pi space equals space 22 over 7 space ल ी ज ि ए right parenthesis$

Solution

माना बेलन की त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) है।
= r + h = 37 cm ..........(i)
बेलन की कुल सतह का क्षेत्रफल = 1628 cm²
$2 πr left parenthesis straight r space plus space straight h right parenthesis space equals space 1 comma 628 2 πr left parenthesis 37 right parenthesis space equals space 1 comma 628 2 πr space equals space begin inline style fraction numerator 1 comma 628 over denominator 37 end fraction end style space equals space 44 2 space straight x space begin inline style 22 over 7 end style space straight x space straight r space equals space 44 space straight r space equals space begin inline style fraction numerator 44 space straight x space 7 over denominator 2 space straight x space 22 end fraction end style space equals space 7 space cm सम ी करण space left parenthesis straight i right parenthesis space स े comma space 7 space plus space straight h space equals space 37 straight h space equals space 37 space minus space 7 space equals space 30 space cm ब े लन space क ा space आयतन space equals space πr squared straight h equals space begin inline style 22 over 7 end style space straight x space 7 space straight x space 7 space straight x space 30 equals space 4 comma 620 space cm cubed space$

Question 41

Wired Faculty App

एक लचीली बैल्ट को एक घिरनी (pulley), जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है, के गिर्द लपेटा गया है। (आकृति 10) बैल्ट के एक बिंदु C से लचीली बैल्ट को केंद्र O से सीधा इस प्रकार खींचा जाता है की वह बिंदु P पर पहुँच जाता है जहॉं OP = 10 सेमी है। बैल्ट के उस भाग की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो अब भी घिरनी के साथ लगा है। रेखांकित भाग का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। $left parenthesis straight pi space equals space 3.14 space तथ ा space square root of 3 space equals space 1.73 space ल ी ज ि ए right parenthesis$

Solution

angle OAP space equals space 90 degree space space आयत space म ें space increment OAP comma space space space space space space space cos space straight theta space equals space begin inline style OA over OA end style space equals space begin inline style 5 over 10 end style space equals space begin inline style 1 half end style space equals space cos space 60 degree space space space space space space space space therefore space straight theta space equals space 60 degree angle AOB space equals space 60 degree space plus space 60 degree space equals space 120 degree space space space space space space space space space space space space space space....... left parenthesis straight i right parenthesis space प ् रत ि ब िं ब space angle AOB space equals space 360 degree space minus space angle AOB space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 360 degree space minus space 120 degree space equals space 240 degree space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space straight alpha space equals space 240 degree space ब ै ल ् ट space क ा space ल ें स space ज ो space अभ ी space भ ी space प ु ल ि space क े space स ा थ space स ं पर ् क space म ें space ह ै space equals space ABD space equals space प ् रम ु ख space व ृ त ् त minus च ा प space क े space ल ें स space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals left parenthesis begin inline style fraction numerator straight alpha over denominator 360 degree end fraction end style right parenthesis 2 πr space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space begin inline style fraction numerator 240 degree over denominator 360 degree end fraction end style space straight x space 2 space straight x space 3.14 space straight x space 5 space equals space 20.93 space cm आयत space म ें space increment OAP comma space space space space space space space space space space sin space 60 degree space equals space begin inline style AP over OP end style rightwards double arrow space begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style space equals space begin inline style AP over 10 end style rightwards double arrow space AP space equals space 5 square root of 3 space cm क ् ष े त ् रफल space increment OAP space equals space begin inline style 1 half end style space straight x space आध ा र space straight x space space ऊ ँ च ा ई space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space begin inline style 1 half end style space straight x space AP space straight x space OA space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space begin inline style 1 half end style straight x space 5 square root of 3 space straight x space 5 space equals begin inline style 25 over 2 end style square root of 3 space cm squared

left parenthesis increment OAP right parenthesis space equals space left parenthesis increment OBP right parenthesis space begin inline style 25 over 2 end style square root of 3 space cm squared म ा म ू ल ी space क ् ष े त ् र space क ा space क ् ष े त ् रफल space OACB space equals space begin inline style fraction numerator straight theta over denominator 360 degree end fraction end style πr squared equals space begin inline style fraction numerator 120 degree over denominator 360 degree end fraction end style space straight x space 3.14 space straight x space left parenthesis 5 right parenthesis squared space space space space space space space space space space space space space space.......... space left parenthesis straight i right parenthesis space स े comma equals space begin inline style fraction numerator 78.5 over denominator 3 end fraction end style space equals 26.16 space equals 36.14 space cm squared छ ा य ां क ि त space क ् ष े त ् रफल space equals space left parenthesis increment OAP right parenthesis space equals space left parenthesis increment OBP right parenthesis space minus space म ा म ू ल ी space क ् ष े त ् र space क ा space क ् ष े त ् रफल space OACB equals space begin inline style fraction numerator 25 square root of 3 over denominator 2 end fraction end style space plus space begin inline style fraction numerator 25 square root of 3 over denominator 2 end fraction end style space minus space 26.17 equals space 25 square root of 3 space minus space 26.17 equals space 25 left parenthesis 1.73 right parenthesis space minus space 26.17 equals space 43.25 space minus space 26.17 space equals space 17.08 space cm squared

Question 42

Wired Faculty App

ऊपर से खुली एक बाल्टी शंकु के छिन्नक के आकर की है जिसकी धरिका 12308.8 सेमी³ की है। उसके ऊपरी तथा निचले वृतीय सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 20 सेमी तथा 12 सेमी हैं। बाल्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए
तथा बाल्टी को बनाने में लगी धातु की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $left parenthesis straight pi space equals space 3.14 space ल ी ज ि ए right parenthesis$

Solution

बाल्टी के शीर्ष की त्रिज्या, R = 20 सेमी
बाल्टी के नीचे की त्रिज्या, r = 20 सेमी
बाल्टी का आयतन = 12308.8 cm³
$rightwards double arrow space begin inline style 1 third end style space straight pi left parenthesis straight R squared space plus space straight r squared space plus space Rr right parenthesis thin space straight h space equals space 12308.8 space cm cubed rightwards double arrow space begin inline style 1 third end style left square bracket 3.14 left parenthesis 20 squared space plus space 12 squared space plus space 20 left parenthesis 12 right parenthesis right parenthesis right square bracket space straight x space straight h space equals space 12308.8 rightwards double arrow space left parenthesis 400 space plus space 144 space plus space 240 right parenthesis space straight x space straight h space equals space begin inline style fraction numerator 12308.8 space straight x space 3 over denominator 3.14 end fraction end style rightwards double arrow space 784 space straight x space straight h space equals space 11760 rightwards double arrow space straight h space equals space begin inline style 11760 over 784 end style space equals space 15 space cm$
$त ि रछ ी space ऊ ँ च ा ई comma space straight l space equals space square root of left parenthesis straight R space minus space straight r right parenthesis squared space plus space straight h squared end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space square root of left parenthesis 20 space minus space 12 right parenthesis squared space plus space 15 squared end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space square root of 64 space plus space 225 end root space equals space square root of 289 space equals space 17 space cm space$

$space ध ा त ु space श ी ट space क ा space क ु ल space क ् ष े त ् रफल space equals straight C. straight S. space ब ा ल ् ट ी space क ा space क ् ष े त ् रफल space plus space आध ा र space क ा space क ् ष े त ् रफल equals space straight pi space left parenthesis straight R space plus space straight r right parenthesis straight l space plus space πr squared equals space straight pi left square bracket left parenthesis straight R space plus space straight r right parenthesis straight l space plus space straight r squared right square bracket equals space 3.14 left square bracket left parenthesis 20 space plus space 12 right parenthesis space straight x space 17 space plus space left parenthesis 12 right parenthesis squared right square bracket equals space 3.14 left parenthesis 544 space plus space 144 right parenthesis space equals space 3.14 left parenthesis 688 right parenthesis space equals space 2160.32 space cm squared$

Question 43

Wired Faculty App

एक ठोस अर्द्ध गोले का आयतन तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप में बराबर हैं। अर्द्ध गोले का व्यास क्या है?

Solution

begin inline style rightwards double arrow 2 over 3 πr cubed space equals space 3 πr squared rightwards double arrow 2 over 3 straight r space equals space 3 rightwards double arrow space straight r space equals space 9 over 2 space य ू न ि ट therefore space straight d space equals space 9 space य ू न ि ट end style

Question 44

Wired Faculty App

5 सेमी आंतरिक त्रिज्या तथा 24 सेमी ऊँचाई के एक शंक्वाकार बर्तन का $begin inline style 3 over 4 end style$ भाग पानी से भरा है। इस पानी को 10 सेमी आंतरिक त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में खाली किया जाता है। बेलनाकार बर्तनों में पानी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

शंक्वाकार पोत की त्रिज्या = 5 सेमी
शंक्वाकार पोत की ऊंचाई h = 24 सेमी
शंक्वाकार पोत के पानी की मात्रा = $begin inline style 3 over 4 end style$ × मात्रा।
$equals space begin inline style 3 over 4 end style space straight x space begin inline style 1 third end style space πr squared straight h equals space begin inline style 3 over 4 end style space straight x space begin inline style 1 third end style straight pi space straight x space 25 space straight x space 24 equals space 150 straight pi$
माना h, बेलनाकार पोत की ऊँचाई है। जो शंक्वाकार पोत के पानी से भरा हुआ है,
बेलनाकार पोत का त्रिज्या = 10 सेमी
स्पष्ट रूप से,
बेलनाकार पोत का आयतन = पानी की मात्रा
$straight pi left parenthesis 10 right parenthesis squared straight h space equals space 150 straight pi rightwards double arrow space straight h space equals space begin inline style fraction numerator 150 straight pi over denominator 100 straight pi end fraction end style rightwards double arrow space straight h space equals space 1.5 space स े म ी space$
इस प्रकार, बेलनाकार पोत की ऊँचाई 1.5 सेमी है।

Question 45

Wired Faculty App

आकृति-1 में, ABCD एक आयत है । x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

Solution

आयता ABCD में

DC = AB और BC = AD

x + y = 30 ...(i)
और

x -y = 14 ...(ii)

समीकरण (i) और (ii), जोड़ने पर

2x = 44
x = 22
समीकरण (i) में x का मान रखने पर
x + y = 30
22 + y = 30
y = 30-22
y = 8

इसलिए, x = 22 and y = 8

Question 46

Wired Faculty App

यदि A(-5, 7), B(-4, -5), C-1,-6) तथा D(4, 5) एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिंदु हैं, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

M, AC और BD का मध्य बिंदु है, मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग

$(\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + b}{2}) = (\frac{a + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}) (\frac{2}{2}, \frac{1 + b}{2}) = (\frac{a + 1}{2}, \frac{2}{2}) ∴ \frac{2}{2} = \frac{a + 1}{2} \Rightarrow a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1 और \frac{1 + b}{2} = \frac{2}{2} \Rightarrow 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$

Question 47

Wired Faculty App

यदि A(-2, 1), B(a, 0), C(4, b) तथा D(1, 2) एक समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिंदु हैं, तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए । अतः इस चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Solution

$A (∆ A B C) = \frac{1}{2} (x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2})) अगर A = (x_{1}, y_{1}), B = (x_{2}, y_{2}), C = (x_{3}, y_{3}) ∆ A B C के कोने है, तो$

$A (□ A B C D) = A (∆ A B C) + A (∆ A D C) . . . . (i) A (□ A B C) = \frac{1}{2} [- 5 (- 5 + 6) - 4 (- 6 - 7) - 1 (7 + 5) = \frac{1}{2} [- 5 + 52 - 12] = \frac{1}{2} [- 5 + 52 - 12] = \frac{1}{2} [35] = \frac{35}{2} S q . u n i t s A (∆ A D C) = \frac{1}{2} [- 5 (5 + 6) + 4 (- 6 - 7) - 1 (7 - 5)] = \frac{1}{2} [- 55 - 52 - 2] = \frac{- 109}{2} ∵ क्षेत्रफल नकारात्मक नहीं हो सकता है ∴ A (∆ A D C) = \frac{109}{2} s q . u n i t s ∴ A (□ A B C D) = \frac{35}{2} + \frac{109}{2} = \frac{144}{2} = 72 s q . u n i t s$

Question 48

Wired Faculty App

लकड़ी के एक बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्थ गोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई जैसा की आकृति में दर्शाया गया है यदि बेलन की ऊंचाई 10 सेंटीमीटर है, आधार की त्रिज्या 3. 5 सेंटीमीटर है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

Solution

r सिलेंडर के आधार की त्रिज्या है और इसकी ऊंचाई h है। फिर, लेख का कुल सतह क्षेत्र = सिलेंडर + 2 (गोलार्ध के सतह क्षेत्र) के घुमावदार सतह क्षेत्र

$2 π r h + 2 (2 π r^{2}) = 2 π r (h + 2 r) = 2 x \frac{22}{7} x 3.5 (10 + 2 x 3.5) c m^{2} = 22 x 17 c m^{2} = 374 c m^{2}$

Question 49

Wired Faculty App

चावल कि एक ढेरी शंकु के आकार की है, जिसके आधार का व्यास 24 मीटर तथा ऊंचाई 3.5 मीटर है। चावलों का आयतन ज्ञात कीजिए एक बेरी को पूरा-पूरा ढकने के लिए कितने कैनवस की आवश्यकता है।

Solution

आधार व्यास = 24 m
आधार त्रिज्या = 12 m
ऊंचाई = 3.5

$आयतन = \frac{1}{3} {πr}^{2} h = \frac{1}{3} x \frac{22}{7} x 12 x 12 x 3.5 = 22 x 4 x 12 x 0.5 = 264 x 2 = 528 cm ∴ l^{2} = 12^{2} + 3 . 5^{2} = 144 + 12.25 l^{2} = 156.25 l^{2} = \sqrt{156.25} = 12.5 m शंकु का क्षेत्रफल = πr l = \frac{22}{7} x 12 x 12.5 = \frac{150 x 22}{7} = 471.428 sq . meter$

Question 50

Wired Faculty App

शंकु के छिन्नक के आकार की एक बाल्टी के निचले तथा ऊपरी किनारों के व्यास क्रमशः 10 सेंटीमीटर तथा 30 सेंटीमीटर है। यदि भारती की ऊंचाई 24 सेंटीमीटर है तो ज्ञात कीजिए।
(i) बाल्टी को बनाने में लगने वाली धातु की सीट का क्षेत्रफल।
(ii) बाल्टी बनाने में सामान्य प्लास्टिक को क्यों नहीं लगाना चाहिए। [π =3.14 ]

Solution

माना r₁ = 5 cm और r₂ = 15cm निचले और ऊपरी परिपत्र की त्रिज्या हैं।

$= π (r_{1} + r_{2}) l + {πr}_{1}^{2} . . . (i)$

AB = CD = 5 cm
DE = 15 – 5 = 10 cm
and BD = 24 cm

∴ BE² = BD² + DE²

= 576 + 100

BE² = 676

BE = 26 cm =l

बाल्टी को बनाने में लगने वाली धातु की सीट का क्षेत्रफल

$= π (5 + 15) 26 + π (5)^{2} = π x 20 x 26 + π x 25 = 5 π (4 x 26 + 5) = 5 π (109) = 5 x \frac{22}{7} x 109 = 1712.85 {cm}^{2}$

(ii) बाल्टी बनाने में सामान्य प्लास्टिक को इसलिए नहीं लगाना चाहिए क्यूँकि एक साधारण प्लास्टिक तनाव के कारण आसानी से टूट सकती है।

Question 51

Wired Faculty App

आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । जहाँ वर्ग ABCD के शी A, B, C तथा D को केन्द्र मान कर खींची गई चापें भुजाओं AB, BC, CD तथा DA के मध्य बिंदुओं क्रमशः P, Q, R तथा S पर दो-दो के जोड़ों में काटती है तथा वर्ग की भुजा 12 सेमी है । [π = 3.14 लीजिए]

Solution

ABCD एक वर्ग है जिसमें P, Q, R, S पक्ष AB, BC CD तथा DA के मध्य बिंदु है

AB cm = 12 cm

⇒ AP = 6 cm { P भुजा AB को दो भागों में बांटती}

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ABCD वर्ग का क्षेत्रफल - ( APEC क्षेत्र का क्षेत्रफल + PFEQ क्षेत्र का क्षेत्रफल + RGQC क्षेत्र का क्षेत्रफल + RHSD क्षेत्र का क्षेत्रफल)

$12^{2} - (\frac{π (6^{2})}{4} + \frac{π 6^{2}}{4} + \frac{π 6^{2}}{4} + \frac{π 6^{2}}{4}) = 12 - π x 36 = 144 - 113.04 = 30.96 {cm}^{2}$

Mock Test Series

Sponsor Area

Sponsor Area

NCERT Book Store

NCERT Sample Papers

Entrance Exams Preparation