गणित Chapter 4 द्विघात समीकरण

बायाँ पक्ष = (x + 1)² = x² + 2x + 1
दायाँ पक्ष = 2(x – 3) = 2x – 6
∴ 6x² + 2x + 1 = 2x - 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x²+ 7 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ  a = 1, b = 0, c = 7
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

दायाँ पक्ष = ( – 2 ) ( 3 – x ) = – 6 + 2x
∴ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ = 1, b = – 4, c = 6
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

बायाँ पक्ष = (x – 2) (x + 1)
= x² - 2x + x - 2
= x² – x – 2
दायाँ पक्ष = (x – 1) (x + 3)
= x² + 2x – 3
∴ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ – x – 2 – 2x + 3 = 0
⇒ – 3x + 1 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

बायाँ पक्ष = (x – 1) (2x + 1)
= 2x² + x – 2x – 1
= 2x² – x – 1
बायाँ पक्ष = x(x + 5) = x² + 5x
∴ 2x² – x – 1 = x² + 5x
⇒ 2x² – x² – x – 5x – 1 = 0
⇒ x² – 6x – 1 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ a = 1, b = – 6, c = – 1
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

बायाँ पक्ष = (2x – 1) (x – 3)
= 2x² – 6x – x + 3
= 2x² – 7x + 3
दायाँ पक्ष = (x + 5) (x – 1)
= x² + 5x – x – 5
= x² + 4x – 5
∴ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – x² - 7x – 4x + 3 + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ a = 1, b = – 11, c = 8
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

दायाँ पक्ष = (x – 2)² = x² – 4x + 4
∴ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ 3x + 4x + 1 – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं हैं
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

बायाँ पक्ष = (x + 2)³

= x³ + 3x².2 + 3x.( 2 )² + 8
= x³ + 6x² + 12x + 8
दायाँ पक्ष = 2x(x² – 1) = 2x³ – 2x
∴ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ - 2x
⇒ x³ – 2x³ + 6x² + 12x + 2x + 8 = 0
⇒ – x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

दायाँ पक्ष = (x – 2)³

= x³ – 2³ – 3x.2 (x – 2)
= x³ – 8 – 6x² + 12x
= a³ – 6x² + 12x – 8
∴ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8
⇒ – 4x² + 6x² – x – 12x + 1 + 8 = 0
⇒ 2x²– 13x + 9 = 0
∵ यह समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ a = 2, b = – 13, c = 9
अत: दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

मन दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x और (x + 1) हैं।
तो प्रश्नानुसार,
x(x + 1) = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
यह x के अभीष्ट एक द्विघात समीकरण हैं।
गुणनखंड विधि से हल करने पर
x² + 18x – 17x – 306 = 0
⇒ x(x + 18) – 17(x + 18) = 0
⇒ (x + 18) (x – 17) = 0
⇒ x + 18 = 0, x – 17 = 0
⇒ x = –18,   x = 17
क्योंकि पूर्णांक धनात्मक है इसलिए
∴ x = 17
अत: दो क्रमागत पूर्णांक 17 और 18 हैं।

माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो रोहन की माँ की आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष बाद
रोहन की आयु= (x + 3) वर्ष
रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3 = (x + 29) वर्ष
प्रश्नानुसार, (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 32x – 360 + 87 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ x² + 39x – 7x – 273 = 0
⇒ x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
⇒ (x + 39) (x – 7) = 0
⇒ x = –39, x – 7 = 0 लेकिन आयु ऋणात्मक नहीं होती
∴ x = 17
अत: रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष

x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) =0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
⇒ x – 5 = 0,  x + 2 = 0
x = 5,  x = – 2
अत: दिए हुए द्विघात समीकरण के मूल 5 और - 2 हैं।

2x² + x – 6 = 0
a = 2, b = 1, c = – 6
ac = – 12 = 4 x (– 3 )
b = 1 = 4 – 3
∴ 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0  
⇒  x + 2 = 0,  2x - 3 = 0
⇒   x = –2,  x = 3/2
अत: दिए हुए द्विघात समीकरण के मूल - 2 और 3/2 हैं

100x² - 20x + 1 = 0
 100x² - 10x - 10x + 1 = 0
 10x (10x - 1) - 1(10x - 1) = 0
 (10x - 1) (10x - 1) = 0
 (10x - 1)² = 0
 10x - 1 =0
 , 
अत: दिए हुए द्विघात समीकरण के मूल  हैं।

माना आधार (BC) = x cm
तो ऊँचाई (AB) = (x – 7) cm
कर्ण (AC) = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,AC² = AB² + BC²
⇒ (13)² = (x – 7)² + (x)²
⇒ 169 = x² + 49 – 14x + x²
⇒ 169 = 2x² – 14x + 49
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x - 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x + 5) (x – 12) = 0
⇒ x + 5 = 0,  x - 12 = 0
⇒ x = –5,  x = 12
भुजा कभी भी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए
 x = 12
ऊँचाई (AB) = x – 7
= 12 – 7 = 5 cm
आधार (BC) = x = 12 cm

माना बनाए गए बर्तनों की संख्या = x
बनाए गए बर्तनों की संख्या = (2x + 3) रु.
So, total cost of production that day = Rs. x(2x + 3)
प्रश्नानुसार,
x(2x + 3) = 90
 
 
 
 
 
 ,
 ,   
 
 नहीं हो सकता
इसलिए, x = 6
बनाए गए बर्तनों की संख्या = 6
प्रत्येक बर्तन का मूल्य = (2 x 6 + 3) = 15 रु.

2x² + x - 4 = 0
 

 
 

 
 
 

 
 

अत: दिए हुए द्विघाती समीकरण के मूल हैं:

 
 
 


द्विघात सूत्र द्वारा,



अत: दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं:

माना शेफाली के गणित में प्राप्त अंक = x
तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = (30 – x)
प्रश्नानुसार,
(x + 2) (30 – x – 3) = 210 (x + 2) (27 – x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 – 2x – 210 = 0
⇒ –x² + 25x – 156 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
x² – 13x – 12x + 156 = 0
⇒ x(x – 13) – 12(x – 13) = 0
⇒ (x – 13) (x – 12) = 0
⇒ x – 13 = 0,  x – 12 = 0
x = 13, x = 12
अत: यदि उसके गणित में प्राप्त अंक = 13, तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 17
और यदि उसके गणित में प्राप्त अंक =12, तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 12 = 18 

माना छोटी संख्या = x
और बड़ी संख्या = y
 प्रश्नानुसार,
x² = 8y       ...(i)
y² - x² = 180         ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
y² - 8y = 180
 y² - 8y - 180 = 0
यह y में एक द्विघात समीकरण है।
गुणनखंड विधि द्वारा हल करने पर

जब y = - 10,  तब 
 
∴  
जब y = 18,  तब  x = 8 x 18 = 144
 
यदि छोटी संख्या = 12
तब बड़ी संख्या = 
यदि छोटी संख्या = - 12
तब बड़ी संख्या = 

माना पहले वर्ग की भुजा = x m
और दूसरे वर्ग की भुजा = y m
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² m²
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = y² m²
पहले वर्ग का परिमाप = 4x m
दूसरे वर्ग का परिमाप = 4y m
प्रश्नानुसार,
x² + y² = 468 ...(i)
4x – 4y = 24
⇒ x – y = 6 ...(ii)
समीकरण (ii) से
x = 6 + y   ...(iii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
(6 + y)² + y² = 468 ⇒ 36+12y + y² + y² = 468 ⇒ 2y² + 12y + 36 – 468 =0
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
यह y में द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर
a = 1,  b = 6,  c = - 216
∴ 

लेकिन वर्ग की भुजा कभी ऋणात्मक नहीं होती
y = 12
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 6 + 12 = 18
अत: पहले वर्ग की भुजा = 18 m
और दूसरे वर्ग की भुजा = 12 m

यहाँ,  

चूँकि,  D < 0
अत: दिए गए समीकरण का कोई  वास्तविक मूल नहीं है।

यहाँ,

चूँकि,  D = 0
अत: दिए गए समीकरण के दो समान मूल हैं।


अत: मूल हैं 

2x² + kx + 3 = 0
यहाँ, a = 2,  b = k,  c = 3

दो समान मूल के लिए,
D = 0
 b² - 4ac
 k² - 24
 k² = 24
 
 
 

kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0
यहाँ, a = K, b = – 2k, c = 6
D = b² – 4ac
⇒ D = ( – 2k )² – 4(k) (6)
D = 4k² – 24k
मूल बराबर के लिए, D = 0
⇒ 4k² – 24k = 0
⇒ 4 k (k – 6) = 0
⇒ 4k = 0,  k – 6 = 0
⇒ K = 0,   k = 6

अत: चौड़ाई = 20 m
और लंबाई = 2 x 20 = 40 m

माना पहले मित्र की वर्तमान आयु = x वर्ष
तब, दूसरे मित्र की वर्तमान आयु = (20 -x) वर्ष
4 वर्ष पूर्व,
पहले मित्र की आयु = (x - 4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = 20 - x - 4 = (16 - x) वर्ष
प्रश्नानुसार,
(x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16 x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ – x² + 20x – 112 = 0
⇒ x² – 20x + 112 = 0
यहाँ, a = 1, b = – 20, c = 112
D = b² – 4 ac
= ( – 20 )² – 4 ( 1 ) ( 112 ) = 400 – 448 = – 48
चूँकि, D < 0

इसलिए, द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मान नहीं है।
अत: उपरोक्त स्थिति संभव नहीं है।

माना आयताकार पार्क की लंबाई = x m
और आयताकार पार्क की चौड़ाई = y m
प्रश्नानुसार,
परिमाप = 2(x + y) m
⇒ 2 (x + y) = 80
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40 – x
चौड़ाई = (40 – x)m
क्षेत्रफल = 400
⇒ x x y = 400
⇒ x(40 – x) = 400
40x – x² = 400
⇒ x² – 40x + 400 = 0
यहाँ, a = 1, b = – 40, c = 400
D = b² – 4ac
= ( – 40 )² – 4 ( 1 ) ( 400 ) = 1600 – 1600 = 0
चूँकि, D = 0इसलिए, द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान हैं।
द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर

अत: आयताकार पार्क की लंबाई = 20 m
और चौड़ाई = 40 - 20 = 20 m
अत: एक वर्गाकार पार्क को बनाना संभव है जिसकी प्रत्येक भुजा 20 m होगी।

विमान की सामान्य गति = x km/hr

विमान की गति में वृद्धि = (x + 100)km/hr
माना सामान्य गति से गंतव्य तक पहुँचने के लिए समय लगता है, $t_1 =\frac{1500}{x} hr$

वृद्धि गति से गंतव्य तक पहुँचने के लिए समय लगता है, $t_2 = \frac{1500}{x + 100} hr$

दोनों समय का अंतर = t₁ - t₂ =30 min = 1/2

$$\begin{gathered} \therefore \frac{1500}{x} = \frac{1500}{x + 100} + \frac{1}{2} \\ \frac{1500}{x} -\frac{1500}{x + 100} = \frac{1}{2} \\ 1500\left(\frac{x + 100 - x}{x(x + 100)}\right) = \frac{1}{2} \\ 150000 x 2 = x(x + 100) \\ {x}^2 + 100 x -300000 = 0 \\ x = -600 or x = 500 \end{gathered}$$

लेकिन गति नकारात्मक नहीं हो सकती है इसलिए, सामान्य गति 500 ​​किमी / घंटा।

माना धारा की गति x km/hr

अब, नदी के ऊपर के लिए, गति = (18-x) km/hr

$\therefore \mathrm{समय} \mathrm{लगा} = \left(\frac{24}{18 -\mathrm{x}}\right)\mathrm{hr}$

अब, नदी के नीचे की ओर गति

$\therefore \mathrm{समय} \mathrm{लगा} = \left(\frac{24}{18 +\mathrm{x}}\right)\mathrm{hr}$

यह दिया हुआ की,

$$\begin{gathered} \frac{24}{18-x} =\frac{24}{18 + x} +1 \\ -1 = \frac{24}{18 +x} - \frac{24}{18-x} \\ -1 = \frac{24 [ (18-x) - (18 +x)}{(18{)}^2 -x^2} \\ - 1 = \frac{24 [-2x]}{324 -x^2} \\ -324 + x^2 = - 48 x \\ {x}^2 + 48 x -324 = 0 \\ {x}^2 + 54x -6x - 324 = 0 \\ (x +54)(x-6) =0 \\ x = - 54 or x = 6 \\ x = -54 km/hr \\ x = 6 \end{gathered}$$

मूल औसत गति x

यात्रा को पूरा करने के लिए 3 घंटे लगे

$$\begin{gathered} \therefore \frac{63}{x} + \frac{72}{(x + 6)} = 3 \\ \left(\because Time =\frac{Dis\tan ce}{speed}\right) \\ \therefore \frac{63x +378 + 72x}{x (x+ 6)} = 3 \\ \Rightarrow 135 x + 378 = 3x^2 + 18x \\ \Rightarrow x^2 - 39x -126 = 0 \\ \Rightarrow (x-42)(x+3) = 0 \\ \Rightarrow x = 42 \\ or x = -3 \end{gathered}$$

गति कभी नकारात्मक नहीं हो सकती है।
इसलिए x = 42 किमी / घंटा।

4 नंबर जो AP क्रम में है

(a -3d),(a-d), (a+d) and (a+3d)

∴ (a-3d) + (a-d) +(a+ d) + (a +3d) = 32

⇒ 4a = 32

a =8

$$\begin{gathered} \frac{(a-3d)(a+ 3d)}{(a-d)(a+d)} =\frac{7}{15} \\ \Rightarrow 15a^2 -135d^2 = 7a^2 -7d^2 \\ \Rightarrow 8a^2 = 128d^2 \\ {d}^2 = \frac{8a^2}{128} = \frac{8 x 8x8}{128} \\ {d}^2 =4 \\ d =\pm 2 \end{gathered}$$