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द्विघात समीकरण

Question

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एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Solution

माना खेत की छोटी भुजा = x मी.
तब बड़ी भुजा होगी = (x + 30) मी.
और खेत का विकर्ण = (x + 60) मी.

अब समकोण ΔABC में, पाइथागोरस परिमेय द्वारा,
AB² + BC² = AC²⇒ (x + 30)² + x² = (x + 60)²⇒ x² + 60x + 900 + x² = x² + 120x + 3600
⇒ 2x² + 60x + 900 = x² + 120x + 3600
⇒ 2x² – x² + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
यह x में एक द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर
a = 1, b = - 60, c=- 2700
∴

straight D space equals space straight b squared space minus space 4 ac

equals space left parenthesis space minus space 60 space right parenthesis squared space minus space 4 space cross times space 1 space cross times space left parenthesis space minus space 2700 space right parenthesis

equals space 3600 space plus space 10800 space equals space 14400

∴

space straight x space equals space fraction numerator negative space straight b space plus-or-minus space square root of straight D over denominator 2 straight a end fraction space equals space fraction numerator 60 space plus-or-minus space square root of 14400 over denominator 2 end fraction

equals space fraction numerator 60 space plus-or-minus space 120 over denominator 2 end fraction space equals space 180 over 2 comma space space fraction numerator negative space 60 over denominator 2 end fraction space equals space 90 comma space space minus space 30

आय की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती
∴ x = 90
अत: खेत की छोटी भुजा = 90 मी.
खेत की बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मी.

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