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गणित Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

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    NCERT Solution For Class 10 गणित गणित

    वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Here is the CBSE गणित Chapter 12 for Class 10 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 10 गणित वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Chapter 12 NCERT Solutions for Class 10 गणित वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Chapter 12 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 10 गणित.

    Question 1
    CBSEHHIMAH10010329
    Wired Faculty App

    दो वृतों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और  9cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृतों की परिधियों के योग के बराबर है।
    Solution

    यहाँ पर,  पहले वृत्त की त्रिज्या left parenthesis straight r subscript 1 right parenthesis space equals space 19 space cm
    दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 9 cm
    माना वांछित वृत्त की त्रिज्या  = R cm
     प्रश्नानुसार,    वांछित वृत्त की परिधि = पहले वृत्त की परिधि + दूसरे वृत्त की परिधि 
    rightwards double arrow space space space space space space space space              2 πR space equals space 2 πr subscript 1 plus 2 πr subscript 2
    rightwards double arrow                      R = straight r subscript 1 plus straight r subscript 2  (दोनों ओर 2 straight pi से भाग करने पर)
                                = (19 + 9)cm = 28 cm
    अत: वांछित वृत्त की त्रिज्या  = 28 cm
          
      
                   

    Question 2
    CBSEHHIMAH10010330
    Wired Faculty App

    दो वृतों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8cm और 6cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
    Solution

    यहाँ पर,      पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 8 cm
                दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 6 cm
    माना वांछित वृत्त की त्रिज्या  = R cm
    प्रश्नानुसार,    
              वांछित वृत्त का क्षेत्रफल  = पहले वृत्त का क्षेत्रफल  + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल 
    rightwards double arrow                   πR squared space equals space πr subscript 1 superscript 2 space plus space πr subscript 2 superscript 2
    rightwards double arrow                    straight R squared space equals space straight r subscript 1 superscript 2 plus space straight r subscript 2 superscript 2     (दोनों ओर straight pi से भाग करने पर)
    rightwards double arrow                   straight R squared space equals space left parenthesis 8 right parenthesis squared plus left parenthesis 6 right parenthesis squared
    rightwards double arrow                        = 64 + 36 = 100
    rightwards double arrow                    left parenthesis straight R right parenthesis squared space equals space left parenthesis 10 right parenthesis squared
    rightwards double arrow                    R = 10
    अत: वांछित वृत्त की त्रिज्या  = 10 cm
        

               
                   
                 
                

    Question 3
    CBSEHHIMAH10010331
    Wired Faculty App

    किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80cm है। यही यह कार 66 प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है? 
    Solution

    कार के पहिए का व्यास  = 80 cm
    कार के पहिए की त्रिज्या (r) = 80 over 2 cm space equals space 40 space cm
    अत: कार के पहिए की परिधि  =  2 πr
                                       equals 2 space cross times 22 over 7 cross times 40 space cm equals space 1760 over 7 cm
    कार की चाल  =  66 km/h
                    equals space fraction numerator 66 space cross times space 1000 space cross times 100 over denominator 60 end fraction cm divided by min. equals space 110000 space cm divided by min.
    10 मिनट में कार द्वारा तय दूरी = चाल x समय 
                                       = 110000 x 10 cm
                                       = 1100000 cm
    ∴ 10 मिनट में कार के प्रत्येक पहिए द्वारा लगाए गए चक्कराें की संख्या = fraction numerator क ा र space द ् व ा र ा space तय space द ू र ी space over denominator पह ि ए space क ी space पर ि ध ि space end fraction
                                        equals space fraction numerator 1100000 over denominator begin display style 1760 over 7 end style end fraction space equals space fraction numerator 1100000 cross times 7 over denominator 1760 end fraction space equals space 4375
      

    Question 4
    CBSEHHIMAH10010332
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    निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:
    यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप में बराबर है, तो उसे वृत्त की त्रिज्या है:

    • 2 मात्रक 

    • straight pi मात्रक 

    • 4 मात्रक 

    • 7 मात्रक 
    Solution

    A.

    2 मात्रक 

    वृत्त की त्रिज्या  = r मात्रक
       तो वृत्त का परिमाप  = 2 πr मात्रक
     वृत्त का क्षेत्रफल = πr squared  वर्ग मात्रक
    प्रश्नानुसार,     2 πr space equals space πr squared
    rightwards double arrow               r = 2
    अत:       वृत्त की त्रिज्या  = 2 मात्रक 
     
          
       

    Question 5
    CBSEHHIMAH10010333
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    6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60 degree है। 
    Solution

    यहाँ पर,     वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm
                      त्रिज्यखंड का कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 60 degree
    ∴       त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल  = straight theta over 360 cross times πr squared  
                                      equals space 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 6 cross times 6 space cm squared equals 132 over 7 cm squared

    Question 6
    CBSEHHIMAH10010334
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    एक वृत्त, के चतुर्थांश(quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है। 

    Solution
    यहाँ पर,  माना वृत्त की त्रिज्या = r cm
                वृत्त की परिधि = 22 cm
    rightwards double arrow space space space space space space space 2 πr space equals space 22 space cm
    rightwards double arrow space space straight r space space space equals space fraction numerator 22 over denominator 2 straight pi end fraction rightwards double arrow space space straight r space space space equals space fraction numerator 22 cross times 7 over denominator 2 cross times 22 end fraction rightwards double arrow space space straight r space space space equals space 3.5 space cm space space
    अत: वृत्त के  चतुर्थांश का क्षेत्रफल
    equals space 1 fourth πr squared equals space open parentheses 1 fourth cross times 22 over 7 cross times 3.5 cross times 3.5 close parentheses space space cm squared equals space space open parentheses fraction numerator 269.5 over denominator 28 end fraction close parentheses space cm squared space equals space 9.625 space space cm squared
    Question 7
    CBSEHHIMAH10010335
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    एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई (r) = 14 cm
    5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 360 over 60 cross times 5 space equals space 30 degree
    अत: मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल
    equals space πr squared cross times straight theta over 360 equals space open parentheses 22 over 7 cross times 14 cross times 14 cross times 30 over 360 close parentheses space space cm squared equals space 51.3 space space cm squared

    Question 8
    CBSEHHIMAH10010336
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    10cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
    (i) संगत लघु वृत्तखंड   (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड
    Solution

    यहाँ पर वृत्त की त्रिज्या (r) = 10 cm
    माना जीवा AB द्वारा वृत्त के केंद्र पर
    अंतरित कोण   left parenthesis straight theta subscript 1 right parenthesis space equals space 90 degree
       therefore   लघु वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta subscript 1 right parenthesis space equals space 90 degree
    तथा दीर्घ वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण  left parenthesis straight theta subscript 2 right parenthesis space equals space 360 degree space minus space 90 degree
                                                                equals space 270 degree

    (i) संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल  = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल  - त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल
                                          space equals space straight theta subscript 1 over 360 cross times πr squared minus 1 half cross times OA cross times OB
                                           equals space open square brackets 90 over 360 cross times 3.14 cross times 10 cross times 10 minus 1 half cross times 10 cross times 10 close square brackets cm squared equals space left square bracket 78.5 space minus space 50 right square bracket cm squared space equals space 28.5 space cm squared
    (ii) संगत दीर्घखंड OAQB का क्षेत्रफल  = straight theta subscript 2 over 360 cross times πr squared
                                                   equals fraction numerator 270 over denominator 360 space end fraction cross times 3.14 cross times 10 cross times 10 space cm squared equals space 235.5 space cm squared
                                         
                                                    

                
                        

    Question 9
    CBSEHHIMAH10010337
    Wired Faculty App

    त्रिज्या 21cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए-
    (i) चाप की लंबाई
    (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 
    (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल 
    Solution

    यहाँ पर,     वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
               चाप APB द्वारा केंद्र पर 
    अंतरित कोण open parentheses straight theta close parentheses space equals space 60 degree
    (i) चाप APB की लंबाई = straight theta over 360 cross times 2 πr
                                 equals space 60 over 360 cross times 2 cross times 22 over 7 cross times 21 space cm equals space 22 space cm
    (ii) त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = straight theta over 360 cross times πr squared
                                          equals space 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 21 cross times 21 space cm squared equals space 231 space cm squared 

    (iii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल  = 1 half straight r squared sinθ
                                       equals space 1 half cross times 21 cross times 21 cross times sin space 60 degree equals space 1 half cross times 441 space cross times space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space cm squared space equals space fraction numerator 441 square root of 3 over denominator 4 end fraction cm squared
    संगत जीवा AB द्वारा बनाए गए छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल  = (त्रिज्यखंड OAPB - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
                                    equals space open parentheses 231 space minus space 441 over 4 square root of 3 close parentheses space cm squared
                   
               

                        

    Question 10
    CBSEHHIMAH10010338
    Wired Faculty App

    15cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर, 
    r = 15 cm, straight theta = 60°
    माना जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण straight theta space equals space 60 degree


    (i) लघु त्रिज्याखंड OACBO का क्षेत्रफल 
    equals space πr squared cross times straight theta over 360 space equals space open parentheses 3.14 space straight x space 15 space straight x space 15 space straight x space 60 over 360 close parentheses space cm squared equals space 117.75 space space cm squared
    (ii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल 
    equals space 1 half straight r squared space sin space straight theta equals space 1 half straight x space 15 space straight x space 15 space straight x space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction equals space space fraction numerator 15 straight x 15 straight x 1.73 over denominator 4 end fraction equals 97.313 space cm squared

    (iii) वृत्त का क्षेत्रफल  = πr squared 
                             = 3.14 x 15 x 15 cm2
                             = 706.5 cm2

    अब,
    लघु वृत्तखंड ACB का क्षेत्रफल =  (त्रिज्यखंड OACBO - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
                                             = (117.75 - 97.313) cm2
                                             = 20.4375 cm2

    दीर्घ वृत्तखंड (ABDA) का क्षेत्रफल  = वृत्त का क्षेत्रफल - लघुखंड का क्षेत्रफल 
                                             = (706.5 - 20.4375) cm2
                                                        =  686.0625 cm2

     

    Question 11
    CBSEHHIMAH10010339
    Wired Faculty App

    त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर,   वृत की त्रिज्या (r) = 12 cm
    जीवा AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 120 degree
    त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल  = straight theta over 360 cross times πr squared
                                       equals space 120 over 360 cross times 3.14 space cross times space 12 space cross times space 12 space cm squared equals space 150.72 space cm squared

    त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल equals straight r squared sin straight theta over 2. cos straight theta over 2 
                                equals space 12 space cross times space 12 space cross times space sin space fraction numerator 120 degree over denominator 2 end fraction. space cos fraction numerator 120 degree over denominator 2 end fraction equals space 144 space cross times space sin space 60 degree. space cos 60 degree equals space 144 space cross times space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction cross times 1 half cm squared equals space 36 space cross times space 1.73 space cm squared space equals space 62.28 space cm squared
    संगत लघु वृत्तखंड APB(छायांकित) का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB - त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल 
                                                         = (150.72 - 62.28) cm2
                                                         = 88.44 cm2
                                 
     
                       

    Question 12
    CBSEHHIMAH10010340
    Wired Faculty App

    15m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े की लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिये सलंग्न आकृति)। ज्ञात कीजिए-
    (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है। 
    (ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को लंबी रस्सी के स्थान पर लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (straight pi space equals space space 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
    Solution

    (i) पहली अवस्था में, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
                                equals πr squared over 4 space equals space 1 fourth cross times 3.14 cross times 5 cross times 5 space straight m squared equals space fraction numerator 78.5 over denominator 4 end fraction straight m squared space equals 19.625 space straight m squared
    (ii) दूसरी अवस्था में,
    मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
                                 equals space πR squared over 4 space equals space 1 fourth cross times 3.14 cross times 10 cross times 10 space straight m squared equals space 314 over 4 straight m squared space equals space 78.5 space straight m squared
    अत: दूसरी अवस्था में चर जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि  = (78.5 - 19.625)m2
                                                                    = 58.875 m2
                              

     

    Question 13
    CBSEHHIMAH10010341
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    एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तोर से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिजयखंडों में विभाजित करता है जैसा कि सलंग्न आकृति में दर्शाया  गया है। तो ज्ञात कीजिए-   


    (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई 
    (ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल  
    Solution

    (i) यहाँ पर, 
    वृत्ताकार ब्रूच का व्यास (d)  = 35 mm
          वृत्ताकार ब्रूच की त्रिज्या (r) =  straight d over 2 space equals space 35 over 2 mm
    ∴  वृत्ताकार ब्रूच की परिधि के लिए आवश्यक चाँदी की तार की लम्बाई = 2 πr
                                           equals space 2 cross times 22 over 7 cross times 35 over 2 mm space equals space 110 space mm
    10 बराबर त्रिज्यखंडों में बाँटने एक लिए 5 व्यासों के लम्बाई के लिए आवश्यक चाँदी की तार  = 35 x 5mm = 175 mm
    अत: कुल आवश्यक चाँदी की तार की लम्बाई = (110 + 175)mm = 285 mm
    (ii) यहाँ पर, वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण open parentheses straight theta close parentheses space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 10 end fraction space equals space 36 degree
    त्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 35 over 2 mm
    अत: वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = straight theta over 360 cross times πr squared
                                           space equals space 36 over 360 cross times 22 over 7 cross times 35 over 2 cross times 35 over 2 mm squared equals space 385 over 4 space mm squared
                 
     
             

    Question 14
    CBSEHHIMAH10010342
    Wired Faculty App

    एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लागए हुए हैं (देखिए आकृति)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए , इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर,
    छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच त्रिजयखंड द्वारा केंद्र पर
    अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 8 end fraction space equals space 45 degree
    छतरी के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या (r) = 45 cm
    अत: छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल:
    equals space πr squared space cross times space straight theta over 360 equals space open parentheses 22 over 7 straight x space 45 space straight x space 45 space straight x space 45 over 360 close parentheses space cm squared equals open parentheses 1 over 8 cross times 22 over 7 cross times 45 cross times 45 close parentheses space cm squared equals space 795.53 space cm squared

    Question 15
    CBSEHHIMAH10010343
    Wired Faculty App

    किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25cm है और 115 degree के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए। 
    Solution

    यहाँ पर, कार का प्रत्येक वाइपर जितने त्रिज्यखंड वाले वृत्त के क्षेत्र को साफ कर सकता है। इसके लिए,
    त्रिज्या  (r) = 25cm
    त्रिज्यखंड कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 115 degree
    क्षेत्रफल (A) = straight theta over 360 cross times πr squared
                   equals space 115 over 360 cross times 22 over 7 cross times 25 cross times 25 space cm squared equals space 158125 over 252 cm squared space equals space 627.48 space cm squared
        
                       

    Question 16
    CBSEHHIMAH10010344
    Wired Faculty App

    जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस(light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (straight pi space equals space 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
    Solution

    यहाँ पर,
           लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 16.5 km
          लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का कोण left parenthesis straight theta right parenthesis = 80°
     लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = straight theta over 360 cross times πr squared
                                                       equals 80 over 360 cross times 3.14 space cross times space 16.5 space cross times space 16.5 space km squared
                                                        equals space fraction numerator 1709.73 over denominator 9 end fraction space km squared space equals space 189.97 space km squared 
     
            

    Question 17
    CBSEHHIMAH10010345
    Wired Faculty App

    एक गोल मेज़पोश पर छ: समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो 0.35रु प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाईनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। 

    Solution

    मेज़पोश  के प्रत्येक डिज़ाइन की जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 60 end fraction space equals space 60 degree
    मेज़पोश की त्रिज्या (r) = 28 cm
    अत: मेज़पोश के प्रत्येक डिज़ाइन का क्षेत्रफल (A) = open square brackets straight theta over 360 cross times πr squared space minus 1 half straight r squared sinθ close square brackets
                                        equals open square brackets 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 28 cross times 28 minus 1 half cross times 28 cross times 28 space sin space 60 degree close square brackets equals open square brackets 1232 over 3 minus fraction numerator 392 square root of 3 over denominator 2 end fraction close square brackets cm squared equals open square brackets 1232 over 3 minus 196 space cross times space 1.7 close square brackets cm squared equals left square bracket 410.67 minus 333.20 right square bracket space cm squared equals space 77.47 space cm squared
    अत: मेज़पोश के डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल  = 6 x प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 
                                                      = 6 x 77.47 cm2
                                                      = 464.82 cm2
        1 cm2 डिज़ाइन को बनाने की लागत  = 0.35 रु
      464.82 cm2 डिज़ाइन को बनाने की लागत = 464.82 x 0.35 रु
                                                         = 162.68 रु
     

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    Question 18
    CBSEHHIMAH10010346
    Wired Faculty App

    निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए- 
    त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण straight p degreeहै, निम्नलिखित है  

    • straight p over 180 cross times 2 πR
    • straight p over 180 cross times πR squared
    • straight p over 360 cross times 2 πR
    • straight p over 720 cross times 2 πR squared

    Solution

    D.

    straight p over 720 cross times 2 πR squared

    यहाँ पर,   वृत्त के त्रिज्यखंड की त्रिज्या (र) = R
                वृत्त के त्रिज्यखंड (straight theta) = P
    ∴     वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल  (A) = straight theta over 360 cross times πr squared space equals space straight p over 360 cross times πR squared
                                           equals fraction numerator straight p over denominator 360 space cross times 2 end fraction cross times 2 πR squared  [दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
                                              equals straight p over 720 cross times 2 πR squared
    अत:अभीष्ट सही उत्तर  = D
        
                 
                     
                     

    Question 19
    CBSEHHIMAH10010347
    Wired Faculty App

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7cm तथा O वृत्त का केंद्र है।

    Solution

    यहाँ पर,                      PQ = 24 cm
                                   PR = 7 cm
    हम जानते हैं कि अर्धवृत में बना कोण angle RPQ space equals space 90 degree
    समकोण त्रिभुज RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से, 
      RQ = square root of left parenthesis PQ right parenthesis squared plus left parenthesis PR right parenthesis squared end root   space equals space square root of left parenthesis 24 right parenthesis squared plus left parenthesis 7 right parenthesis squared end root equals space square root of 576 plus 49 end root space equals space square root of 625 space equals space 25 space cm
    अत:   दिए गए वृत्त का व्यास (RQ) = 25 cm
             दिए गए वृत्त की त्रिज्या (r)  = 25 over 2 cm
    दिए गए वृत्त के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = अर्धवृत का क्षेत्रफल - increment RPQ का क्षेत्रफल 
                                                    equals space πr squared over 2 minus 1 half cross times RP cross times PQ
                                                  equals space open square brackets 22 over 7 cross times 1 half cross times 25 over 2 cross times 25 over 2 minus 1 half cross times 7 cross times 24 close square brackets cm squared
                                                   equals space open square brackets 6875 over 28 minus 84 close square brackets cm squared equals left square bracket 245.54 space minus space 84 right square bracket cm squared equals space 161.54 space cm squared


    Question 20
    CBSEHHIMAH10010348
    Wired Faculty App

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों सकेंद्रीय वृतों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7cm और 14 cm हैं तथा angle AOC space equals space 40 degree है।
    Solution

    यहाँ पर,     बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
                   छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
    चाप तथा चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 40 degree
    छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल   = (त्रिज्यखंड AOC - त्रिज्यखंड BOD) का क्षेत्रफल
                                          equals space open square brackets straight theta over 360 cross times πR squared space minus space straight theta over 360 cross times πr squared close square brackets equals straight theta over 360 cross times straight pi open square brackets straight R squared minus straight r squared close square brackets equals 40 over 360 cross times 22 over 7 open square brackets left parenthesis 14 right parenthesis squared minus left parenthesis 7 right parenthesis squared close square brackets equals space 1 over 9 cross times 22 over 7 cross times 147 space cm squared equals space 154 over 3 cm squared space equals space 51.33 space cm squared  
                        
                    
                    
                

    Question 21
    CBSEHHIMAH10010349
    Wired Faculty App

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत हैं।
    Solution

    यहाँ पर,   वर्ग ABCD की भुजा  = 14 cm
    वर्ग ABCD का क्षेत्रफल  = भुजा x भुजा  = (भुजा)2
                                = 14 x 14 cm2 = 196 cm2
    प्रत्येक अर्धवृत की त्रिज्या (r) = 14 over 2 space equals space 7 cm
    दोनों अर्धवृतों (APD + BPC) का क्षेत्रफल  = 2 cross times open parentheses 1 half πr squared close parentheses
                                                     space equals space 22 over 7 cross times 7 cross times 7 space cm squared
                                                     = 154 cm2
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = (196 - 154) cm2 
                                                       = 42 cm2

    Question 22
    CBSEHHIMAH10010350
    Wired Faculty App

    आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है। 

    Solution

    यहाँ पर,  increment AOB समबाहु त्रिभुज है।
                          therefore space space space space space angle AOB space equals space 60 degree
                                [∵ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है।]
    समबाहु increment AOB का क्षेत्रफल  = fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction x  (भुजा)2
                                       = fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction cross times 12 cross times 12 space cm squared
                                       equals 36 square root of 3 space cm squared
    वृत्त की त्रिज्या (r) = 6cm
    वृत्त का क्षेत्रफल  equals πr squared
                        equals space 22 over 7 cross times 6 cross times 6 space cm squared
                        equals 792 over 7 cm squared
    सांझे(common) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल  = fraction numerator angle AOB over denominator 360 end fraction cross times πr squared
                                                   equals space 60 over 360 cross times 22 over 7 cross times 6 cross times 6 space cm squared equals space 132 over 7 cm squared
    अत:  आकृति में छायांकित भाग का कुल क्षेत्रफल equals space open square brackets 36 square root of 3 plus 792 over 7 minus 132 over 7 close square brackets cm squared
                                                                equals open square brackets 36 square root of 3 plus 660 over 7 close square brackets cm squared

               
                                      
         

    Question 23
    CBSEHHIMAH10010351
    Wired Faculty App

    भुजा 4cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसाकि सलंग्न आकृति में दर्शया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर,             दिए गए वर्ग की भुजा = 4 cm
                        दिए गए वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
                                                    = 4 x 4 cm2 = 16 cm2
    कोने से काटे गए वृत्त के प्रत्येक चतुर्थांश की त्रिज्या (r1) = 1 cm
    कोने से काटे गए वृत्त के चारों चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 4 x प्रत्येक चतुर्थांश का क्षेत्रफल



                                   equals 4 open parentheses fraction numerator πr subscript 1 superscript 2 over denominator 4 end fraction close parentheses space equals space 22 over 7 cross times 1 cross times 1 space cm squared equals space 22 over 7 cm squared

                     बीच के वृत्त का व्यास  = 2 cm
    बीच के वृत्त की त्रिज्या left parenthesis straight r subscript 2 right parenthesis space equals space 2 over 2 cm space equals space 1 space cm
    ∴    बीच के वृत्त का क्षेत्रफल = πr subscript 2 superscript 2 space equals space 22 over 7 cross times 1 cross times 1 space cm squared space equals space 22 over 7 space cm squared
    अत: दी गई आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = open parentheses 16 minus 22 over 7 minus 22 over 7 close parentheses cm squared
                                                              equals space open parentheses 16 minus 44 over 7 close parentheses cm squared equals open parentheses fraction numerator 112 minus 44 over denominator 7 end fraction close parentheses cm squared equals 68 over 7 cm squared

       

              

    Question 24
    CBSEHHIMAH10010352
    Wired Faculty App

    आकृति में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    यहाँ पर, 
            दिए गए वर्ग ABCD की भुजा  = 14 cm
    ∴       दिए गए वर्ग ABCD का क्षेत्रफल  = भुजा x  भुजा
                                                  = (14 x 14)cm2 = 196 cm2
    प्रत्येक वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या (r) = 14 over 2 space equals space 7 space cm
    प्रत्येक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल  = fraction numerator πr squared 4 over denominator 4 end fraction space equals space 22 over 7 cross times fraction numerator 7 cross times 7 over denominator 4 end fraction cm squared
                                            equals space 77 over 2 cm squared
    प्रत्येक वृत्त के चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल  = 4 x  प्रत्येक चतुर्थांश का क्षेत्रफल
                                                  equals space 4 space cross times space 77 over 2 cm squared space equals space 154 space cm squared
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = वर्ग का क्षेत्रफल - चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
                                                        = (196 - 154) cm2
                                                        = 42 cm2
       

                                              
       
    Question 25
    CBSEHHIMAH10010353
    Wired Faculty App

    आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। 

    दोनों आंतरिक समांतर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 लंबा है। यदि यह पथ 10m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
    (i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी,
    (ii) पथ का क्षेत्रफल। 

     
    Solution

    (i) प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत का व्यास  = 60 m
          प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत की त्रिज्या  (r) = 60 over 2 space equals space 30 space straight m

    दोनों आंतरिक अर्धवृतों की परिधि  = 2 x प्रत्येक अर्धवृत की परिधि 
                                           equals space 2 space cross times space left parenthesis πr right parenthesis equals space 2 space cross times space 22 over 7 cross times 30 space straight m
                                           equals 1320 over 7 straight m
    आंतरिक दोनों किनारो की दूरी  = AB + CD = (106 + 106)m
                                        = 212 m
    अत: पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में तय दूरी 
                                      equals space open parentheses 1320 over 7 plus 212 close parentheses space straight m equals space open parentheses fraction numerator 1320 plus 1484 over denominator 7 end fraction close parentheses straight m space equals space 2804 over 7 straight m
    (ii) आंतरिक आयत का क्षेत्रफल = 106 x 60 m2 = 6360 m2
    बाहरी आयत का क्षेत्रफल  = 106 x 80m2  = 8480 m2
    आयातकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = बाहरी क्षेत्रफल - आंतरिक क्षेत्रफल
                                                    = (8480 - 6360)m2 = 2120m2
    प्रत्येक बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 80 over 2 space equals space 40 straight m
    प्रत्येक अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = 1 half left square bracket πR squared minus πr squared right square bracket

                                                         equals space 1 half cross times 22 over 7 cross times left square bracket left parenthesis 40 right parenthesis squared minus left parenthesis 30 right parenthesis squared right square bracket space cm equals space 11 over 7 cross times 700 space straight m squared space equals space 1100 space straight m squared
    दोनों अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल =  2 x 1100 m2
                                                             = 2200 m2
    अत: छायांकित कुल पथ का क्षेत्रफल  = (2120 + 2200) m2
                                               = 4320 m2

     
    Question 26
    CBSEHHIMAH10010354
    Wired Faculty App

    आकृति में, AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर, 
             बड़े वृत्त की त्रिज्या (OA) = 7 cm
       बड़े वृत्त की त्रिज्या (AB) = 2 x OA = 2 x 7cm = 14 cm
    परन्तु          OC = OA = 7 cm
                increment ABC का क्षेत्रफल  = 1 half cross times AB cross times OC
                                       equals space 1 half cross times 14 cross times 7 space cm squared space equals space 49 space cm squared
    बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis OA right parenthesis squared over denominator 2 end fraction space equals space 22 over 7 cross times 1 half cross times 7 cross times 7 space cm squared
                                               = 77 cm2
    दिए गए छोटे वृत्त का व्यास (OD) = 7 cm                 (बड़े वृत्त की त्रिज्या)
    दिए गए छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 over 2 cm
    दिए गए छोटे वृत्त का क्षेत्रफल equals space πr squared space equals space 22 over 7 cross times 7 over 2 cross times 7 over 2 space cm squared space equals space 38.5 space cm squared 
    अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल  + (बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल  - increment ABC का क्षेत्रफल)
                                          = [38.5 + (77 - 49)] cm2
                                          = [38.5 + 28] cm2
                                         = 66.5 cm2
                                
                                  


      
        

        

    Question 27
    CBSEHHIMAH10010355
    Wired Faculty App

    एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm2 है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए आकृति)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर, 
           समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल  = 17320.5 cm2
            rightwards double arrow space space space space space space space space fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction left parenthesis भ ु ज ा right parenthesis squared space equals space 17320.5 rightwards double arrow space space space space space space space space space space left parenthesis भ ु ज ा right parenthesis squared space equals space 17320.5 space cross times fraction numerator 4 over denominator square root of 3 end fraction  
                 equals space fraction numerator 17320.5 space cross times space 4 over denominator 1.73205 end fraction space equals space 40000 equals space left parenthesis 200 right parenthesis squared         
    rightwards double arrow   भुजा  = 200 cm
    अत:  प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) = fraction numerator भ ु ज ा space over denominator 2 end fraction equals space 200 over 2 cm space equals space 100 space cm 
    प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण left parenthesis straight theta right parenthesis space equals space 60 degree                           (समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण)
     rightwards double arrow  तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल  = 3open square brackets straight theta over 360 cross times πr squared close square brackets

                                           equals space 3 cross times 60 over 360 cross times 3.14 cross times 100 space cross times space 100 space cm squared equals space 15700 space cm squared
    इसी प्रकार, आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = increment ABC का क्षेत्रफल  - तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
                                                              = (17320.5 -  15700)cm2  
                                                              =1620.5 cm2                                       
    Question 28
    CBSEHHIMAH10010356
    Wired Faculty App

    एक वर्गाकार रुमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7cm है। रुमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।  
    Solution

    यहाँ पर,
    रुमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिज़ाइन की त्रिज्या (r) = 7 cm
    रुमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिज़ाइन का व्यास (d) = 2 x r cm
                                                           = 2 x 7 cm
                                                           = 14 cm
    वर्गाकार रुमाल की प्रत्येक भुजा = 3 x प्रत्येक वृत्त का व्यास
                                        = 3 x 14 cm = 42 cm
    रुमाल के 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल  space equals space 9 space cross times space πr squared 
                                                        equals 9 cross times 22 over 7 cross times 7 cross times 7 space cm squared equals space 1386 space cm squared
    वर्गाकार रुमाल का क्षेत्रफल  = भुजा x भुजा
                                    = 42 x 42 cm2 = 1764 cm2        
    अत: वृत्ताकार डिज़ाइनों को छोड़कर शेष रुमाल का क्षेत्रफल  = (1764 - 1386) cm2 
                                                                        = 378 cm2                                                     

    Question 29
    CBSEHHIMAH10010357
    Wired Faculty App

    आकृति में, OACB केंद्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
    Solution
    (i)  यहाँ पर, चतुर्थांश OACB की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
     ∴     चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल 
    equals space πr squared over 4 equals 1 fourth straight x 22 over 7 straight x left parenthesis 3.5 right parenthesis squared space cm squared equals space 9.625 space cm squared
    (ii) अब, समकोण increment BOD का क्षेत्रफल 
    Ar space left parenthesis increment BOD right parenthesis equals space 1 half straight x space 3.5 space straight x space 2 space cm squared space equals space 3.5 space cm squared
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB - increment OBD) का क्षेत्रफल 
    = (9.625 cm2 - 3.5)cm2
    = 6.125 cm2.
    Question 30
    CBSEHHIMAH10010358
    Wired Faculty App

    आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (straight pi space equals space 3.14 लीजिए।)
    Solution

    यहाँ पर,  वर्ग OABC में, भुजा OA  =  भुजा AB = 20 cm
               वर्ग OABC का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
                                          = 20 x 20 cm2 = 400 cm2
    चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या (OB) = square root of left parenthesis OA right parenthesis squared plus left parenthesis AB right parenthesis squared end root
                                          equals space square root of left parenthesis 20 right parenthesis squared plus left parenthesis 20 right parenthesis squared end root space cm
                                            equals 20 square root of 2 space cm
    चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis OB right parenthesis squared over denominator 4 end fraction
                                    equals space fraction numerator 3.14 space cross times space left parenthesis 20 square root of 2 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction cm squared equals space fraction numerator 3.14 space cross times space 800 over denominator 4 end fraction cm squared equals space 628 space cm squared
    अत: आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = (चतुर्थांश OPBQ  - वर्ग OABC) का क्षेत्रफल 
                                                      = (628 - 400) cm2 
                                                      = 228 cm2

    Question 31
    CBSEHHIMAH10010359
    Wired Faculty App

    AB और CD केंद्र तथा त्रिज्याओं 21cm और 7cm वाले दो सकेंद्रिय वृतों के क्रमश: दो चाप हैं (देखिए आकृति)। यदि, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
    Solution

    माना r1 = 7 cm (त्रिज्यखंड OCD के लिए) and r2 = 21 cm (त्रिज्यखंड OAB के लिए)
    तथा  straight theta space equals space 30 degree
    त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल 
                     equals space πr subscript 1 squared space straight x space straight theta over 360 equals space 22 over 7 straight x space 7 space straight x space 7 space straight x space 30 over 360 equals space 77 over 6 space cm squared
    त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल 
                  equals space πr subscript 2 squared space straight x space straight theta over 360 equals space 22 over 7 straight x space 21 space straight x space 21 space straight x space 30 over 360 equals space space 231 over 2 space cm squared
    अत: आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल  = (त्रिज्यखंड OAB - त्रिज्यखंड OCD) का क्षेत्रफल
                                                         space space equals space open parentheses 231 over 2 minus 77 over 6 close parentheses space cm squared space space equals space open parentheses fraction numerator 693 minus 77 over denominator 6 end fraction close parentheses space cm squared space space equals space 616 over 6 equals 308 over 3 space cm squared
                                                            equals 102.67 space cm squared

    Question 32
    CBSEHHIMAH10010360
    Wired Faculty App

    आकृति में , ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का  चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यहाँ पर, समकोण त्रिभुज ABC में,   AB = AC  = 14 cm
                                                               (वृत्त की त्रिज्या के समान)
                                        BC space equals space square root of left parenthesis AB right parenthesis squared plus left parenthesis AC right parenthesis squared end root space space space space space space space equals space square root of left parenthesis 14 right parenthesis squared plus left parenthesis 14 right parenthesis squared end root space cm space space space space space space space equals space 14 square root of 2 space cm
              14 cm त्रिज्या वाले चतुर्थांश का क्षेत्रफल = fraction numerator straight pi left parenthesis 14 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction space equals 22 over 7 cross times 1 fourth cross times 196 space cm squared
                                                           = 154 cm2

    BC पर बने अर्धवृत की त्रिज्या  = BC over 2 space equals space fraction numerator 14 square root of 2 over denominator 2 end fraction space equals space 7 square root of 2 space cm
    BC पर बने अर्धवृत का क्षेत्रफल  = 1 half cross times straight pi space left parenthesis 7 square root of 2 right parenthesis end root squared
                                         equals space 1 half cross times 22 over 7 cross times 49 cross times 2 space cm squared equals space 154 space cm squared
    समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल  = 1 half cross times AC cross times AB
                                            equals space 1 half cross times 14 cross times 14 space cm squared space equals space 98 space cm squared
    अत: आकृति में दर्शाए गए छायांकित भाग का क्षेत्रफल
         = BC पर बने अर्धवृत का क्षेत्रफल  - (चतुर्थांश का क्षेत्रफल - increment ABC का क्षेत्रफल)
          = [154 - (154 - 98)] cm2
          = [154  - 154 + 98] cm2 = 98 cm2 

    Question 33
    CBSEHHIMAH10010361
    Wired Faculty App

    आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृतों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है। 
    Solution

    यहाँ पर, 
    आकृति में छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल  = 2[चतुर्थांश ABD का क्षेत्रफल  - समकोण increment ABD का क्षेत्रफल)
                                          equals space 2 open square brackets fraction numerator straight pi left parenthesis 8 right parenthesis squared over denominator 4 end fraction minus 1 half cross times 8 cross times 8 close square brackets cm squared
                                           equals space 2 open square brackets 22 over 7 cross times 64 over 4 minus 32 close square brackets cm squared space equals space 2 open square brackets 352 over 7 minus 32 over 1 close square brackets cm squared space equals 2 open square brackets fraction numerator 352 minus 224 over denominator 7 end fraction close square brackets cm squared space equals space 2 cross times 128 over 7 cm squared space equals space 36.57 space cm squared
                                       

    Question 34
    CBSEHHIMAH10010465
    Wired Faculty App

    आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बहार की और पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
    Solution

    यहाँ पर, 
               GOLD अंक वाले वृत्त का व्यास  = 21 cm
      GOLD अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 over 2 space equals space 10.5 cm
    ∴  GOLD अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A1)  equals space πr squared
                                                                 equals space 22 over 7 cross times 10.5 space cross times space 10.5 space cm squared equals space 22 space cross times space 1.5 space cross times space 10.5 space cm squared
                                                                  = 346.5 cm2         ...(i)
    (GOLD + RED) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r1) = (10.5 + 10.5)cm
                                                            = 2 x 10.5 cm
                                                            = 2 r cm
    ∴    RED अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A2) = πr subscript 1 squared space minus space πr squared  
                                                              space equals straight pi left square bracket left parenthesis 2 straight r right parenthesis squared minus straight r squared right square bracket equals straight pi left square bracket 4 straight r squared minus straight r squared right square bracket equals space space 3 πr squared  
                                                              = 3 x 346.5 cm2   [समीकरण (i) से] 
                                                           = 1039.5 cm2

    (GOLD + RED + BLUE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r2) = (10.5+10.5+10.5)cm
                                                                       = 3 x 10.5 cm = 3 r cm
    ∴    BLUE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A3) = πr subscript 2 superscript 2 space minus πr subscript 1 superscript 2
                                                                  = straight pi left square bracket left parenthesis 3 straight r right parenthesis to the power of 2 space end exponent minus space left parenthesis 2 straight r right parenthesis squared right square bracket
                                                                   equals straight pi left square bracket 9 straight r squared minus 4 straight r squared right square bracket space equals space 5 πr squared  
                                                                  = 5 x 346.5 cm2  [समीकरण (i) से]
                                                                 = 1732.5 cm2
    (GOLD + RED + BLUE + BLACK) वाले वृत्त की त्रिज्या (r3) = 4 r cm
    ∴          BLACK अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A4) = πr subscript 3 superscript 2 space minus space πr subscript 2 superscript 2
                                                                     equals straight pi left parenthesis left parenthesis 4 straight r right parenthesis squared space minus space left parenthesis 3 straight r right parenthesis squared right square bracket equals space straight pi left square bracket 16 straight r squared minus 9 straight r squared right square bracket space equals space 7 πr squared
                                                                     = 7 x 346.5 cm2 [समीकरण (i) से]
                                                                     = 2425.5 cm2
    (GOLD + RED + BLUE + BLACK + WHITE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r4) = 5 r cm
    ∴     WHITE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A5) = πr subscript 4 superscript 2 space minus space πr subscript 3 superscript 2
                                                                 space equals space straight pi left square bracket left parenthesis 5 straight r right parenthesis squared space minus space left parenthesis 4 straight r right parenthesis squared right square bracket space equals straight pi left square bracket 25 straight r squared space minus space 16 straight r squared right square bracket space equals space 9 πr squared
                                                                  = 9 x 346.5 cm2 [समीकरण (i) से]
                                                                  = 3118.5 cm2

                                                                   
                                                                   
                                      
         
     

    Question 36
    CBSEHHIMAH10010478
    Wired Faculty App

    आकृति 4 में, ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 14 सेमी है। प्रत्येक भुजा को ब्यास मान कर अर्धवृत्त बनाए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।space left parenthesis straight pi space equals space 22 over 7 space ल ी ज ि ए right parenthesis
                                          
    Solution

                                   


    वृत्त का त्रिज्या, r = straight D over 2 space equals space 14 over 2 space equals space 7 space c m
    चूंकि सभी अर्धवृत्त का त्रिज्या एक जैसी है-

    चारों अर्धवृत्त के क्षेत्रफल,
               AOB + DOC + AOD + BOC
    equals space 4 left square bracket 1 half πr squared right square bracket equals space 4 left square bracket 1 half space straight x space 22 over 7 space straight x space 7 space straight x space 7 right square bracket space equals space 308 space cm squared space वर ् ग space क ा space क ् ष े त ् रफल comma space ABCD space equals space left parenthesis straight D right parenthesis squared space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space left parenthesis 14 right parenthesis squared space equals space 196 space cm squared space छ ा य ां क ि त space क ् ष े त ् र space क ा space क ् ष े त ् रफल equals space 2 left parenthesis वर ् ग space क ा space क ् ष े त ् रफल right parenthesis space minus space 4 left parenthesis space अर ् धव ृ त ् त space क ा space क ् ष े त ् रफल right parenthesis equals space 2 space straight x space 196 space minus space 308 equals space 392 space minus space 308 space equals space 84 space cm squared 

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    Question 40
    CBSEHHIMAH10010498
    Wired Faculty App

    सिध्द कीजिए कि वृत्त जे बाह्म-बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में सामान होती हैं। 
    Solution

    दिया है, 
    PT और TQ दो स्पर्शरेखा हैं जो बाहरी बिंदु T से वृत्त C (O, r) में लिए गयीं हैं। 
    सिध्द कीजिए(to prove): 1. PT = TQ
    2.  ∠OTP = ∠OTQ
    निर्माण: जोड़ना OT
    प्रमाण(Proof): हम जानते हैं, कि वृत्त में स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लिए लम्बवत्त है।
    therefore space angle OPT space equals space angle OQT space equals space 90 degree increment OPT space और space increment OQT space म ें comma OT space equals space OT space left parenthesis space स ा म ा न ् य right parenthesis OP space equals space OQ space left parenthesis व ृ त ् त space क ी space त ् र ि ज ् य ा right parenthesis angle OPT space equals space angle OQT space left parenthesis 90 degree right parenthesis therefore space increment OPT approximately equal to increment OQT space left parenthesis RHS space स ं गतत ा space म ा नद ं ड right parenthesis space rightwards double arrow space PT space equals space TQ space और space angle OTQ space left parenthesis CPCT right parenthesis PT space equals space TQ comma therefore space space एक space ब ा हर ी space ब िं द ु space स े space व ृ त ् त space क ी space स ् पर ् शर े ख ा space र े ख ां क ि त space क ी space ल ं ब ा ई space सम ा न space ह ै। space angle OTP space equals space angle OTQ therefore space space क ें द ् र space द ो space स ् पर ् शर े ख ा space क े space ब ी च space क ो ण space क े space द ् व ि भ ा जक space पर space स ् थ ि त space ह ै। space space
     

    Question 41
    CBSEHHIMAH10010513
    Wired Faculty App

    दी गई आकृति में, OACB एक वृत्त, जिसका केंद्र O तथा त्रिज्या 3.5 सेमी है, का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 सेमी हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
    Solution

    चूंकि OACB एक चतुर्भुज है, यह कोण O, 90 degree कोण को घटा देगा।
    चतुर्भुज OACB का क्षेत्रफल,
    equals space begin inline style fraction numerator 90 degree over denominator 360 degree end fraction end style space straight x space πr squared equals space begin inline style 1 fourth end style space straight x space begin inline style 22 over 7 end style space straight x space left parenthesis 3.5 right parenthesis squared space equals space begin inline style 1 fourth end style space straight x space begin inline style 22 over 7 end style space straight x space left parenthesis begin inline style 7 over 2 end style right parenthesis squared equals space begin inline style fraction numerator 11 space straight x space 7 space straight x space 7 over denominator 2 space straight x space 7 space straight x space 2 space straight x space 2 end fraction end style space equals space begin inline style 77 over 8 end style space space स े म ी squared equals space begin inline style 1 half end style space straight x space OB space straight x space OD equals space begin inline style 1 half end style space straight x space 3.5 space straight x space 2 equals space begin inline style 1 half end style space straight x space begin inline style 7 over 2 end style space straight x space 2 equals space begin inline style 7 over 2 end style space स े म ी squared
    छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल
    = चतुर्भुज के क्षेत्र OACB - ΔOBD का क्षेत्रफल
    equals space begin inline style 77 over 8 end style space minus space begin inline style 7 over 2 end style equals space begin inline style fraction numerator 77 space minus space 28 over denominator 8 end fraction end style equals space begin inline style 49 over 8 end style space स े म ी squared

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