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वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

Question
CBSEHHIMAH10010353

आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। 

दोनों आंतरिक समांतर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 लंबा है। यदि यह पथ 10m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी,
(ii) पथ का क्षेत्रफल। 

 


Solution

(i) प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत का व्यास  = 60 m
      प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत की त्रिज्या  (r) = 60 over 2 space equals space 30 space straight m

दोनों आंतरिक अर्धवृतों की परिधि  = 2 x प्रत्येक अर्धवृत की परिधि 
                                       equals space 2 space cross times space left parenthesis πr right parenthesis
equals space 2 space cross times space 22 over 7 cross times 30 space straight m
                                       equals 1320 over 7 straight m
आंतरिक दोनों किनारो की दूरी  = AB + CD = (106 + 106)m
                                    = 212 m
अत: पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में तय दूरी 
                                  equals space open parentheses 1320 over 7 plus 212 close parentheses space straight m
equals space open parentheses fraction numerator 1320 plus 1484 over denominator 7 end fraction close parentheses straight m space equals space 2804 over 7 straight m
(ii) आंतरिक आयत का क्षेत्रफल = 106 x 60 m2 = 6360 m2
बाहरी आयत का क्षेत्रफल  = 106 x 80m2  = 8480 m2
आयातकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = बाहरी क्षेत्रफल - आंतरिक क्षेत्रफल
                                                = (8480 - 6360)m2 = 2120m2
प्रत्येक बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 80 over 2 space equals space 40 straight m
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल  = 1 half left square bracket πR squared minus πr squared right square bracket

                                                     equals space 1 half cross times 22 over 7 cross times left square bracket left parenthesis 40 right parenthesis squared minus left parenthesis 30 right parenthesis squared right square bracket space cm
equals space 11 over 7 cross times 700 space straight m squared space equals space 1100 space straight m squared
दोनों अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल =  2 x 1100 m2
                                                         = 2200 m2
अत: छायांकित कुल पथ का क्षेत्रफल  = (2120 + 2200) m2
                                           = 4320 m2

 

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