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(i) 
उभयनिष्ठ आधार: DC
समांतर रेखाएँ : DC और AB
(ii) आकृतियाँ एक ही समांतर रेखाओं के बीच नहीं हैं।
(iii) 
उभयनिष्ठ आधार: RQ
समांतर रेखाएँ : RQ और PS
(iv) 
और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार पर नहीं हैं।
(v) चतुर्भुज ABCD और ADQP
उभयनिष्ठ आधार: AD
समांतर रेखाएँ : AD और BQ
(vi) आकृतियाँ एक ही (या उभयनिष्ठ) आधार पर स्थित नहीं हैं।
ar(||gm ABCD) = AB x AE = 16 x 8 cm2 = 128 cm2 ...(1)
ar(||gm ABCD) = AD x CF = AD x 10 cm2 ...(2)
समीकरण (i) और (ii) के प्रयोग से
AD X 10 = 128
AD = 12.8 सेमी.
यदि E, F, G और H क्रमश: समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, तो दर्शाइए कि 
है।
और ||gm BCHF एक ही आधार HF और एक ही समान्तर रेखाओं HF और BC के बीच स्थित हैं।
...(i)
...(ii)
P और Q क्रमश:समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar(APB) = ar(BQC) है।
और 
बनते हैं।
और ||gm ABCD एक ही आधार AB और एक ही समान्तर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं।
...(i)
...(ii)
आकृति में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
(1) (
(ii) ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD).
और ||gm ABRQ एक ही आधार AB और एक ही समान्तर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
...(i)
...(ii) 
आकृति में PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
(i) ar(PQRS) = ar(ABRS)
(ii) 
और ||gm ABRS एक आधार AS और एक ही समांतर रेखाओं AS और RB के बीच स्थित हैं।
...(ii)
एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे?
एक ||gm PQRS भुजा SR पर एक बिंदु A स्थित है। A को P और Q से मिलाया गया है। क्षेत्र को तीन भागों (i) 
(ii) 
(iii) 
में बाँटा गया है। सभी भाग त्रिभुज हैं।
और ||gm PQRS एक आधार PQ और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित है।
...(i)
∴ ar(ASP) + ar(APQ) + ar(AQR) = ar(PQRS)
ar(ASP) + 
+ ar(AQR) = ar(PQRS)
∴ 
...(ii)
(i) और (ii) से,
ar(APQ) = ar(ASP) + ar(AQR)
इस प्रकार, किसान को 
में गेहूँ और अन्य दो त्रिभुजाओं में दालें या दाल 
में और गेहूँ अन्य दो त्रिभुजों में बोनी चाहिए।
की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है।
ज्ञात है: 
की एक माध्यिका AD है और E, AD का एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: 
प्रमाण: 
में AD एक माध्यिका है।
...(i)
[∴ माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों वाली त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
इसी प्रकार 
में, ED एक माध्यिका है।
∴ 
...(ii)
(i) में से (ii) को घटाने पर 
अत: 
में, E माध्यिका AD का मध्यबिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = 
ar(ABC) है।
में,E माध्यिका AD का मध्यबिंदु है।
में AD एक माध्यिका है। चूँकि माध्यिका 
को समान क्षेत्रफलों वाली दो त्रिभुजाओं में विभाजित करती है।
ar. (ACD) ...(i)
में EB एक माध्यिका है। 
(ABD) ...(ii)
से, 
दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाटँते हैं।
ज्ञात है: चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस प्रकार चार त्रिभुजें AOD, AOB, COB और COD बनते हैं।
सिद्ध करना हैं:
प्रमाण: चूँकि एक ||gm के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ O, मध्यबिंदु है (AC और BD का)
अब, ΔABC में OB एक माध्यिका है।
∴ ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC) ...(i)
[∵ माध्यिका Δ को दो समान क्षेत्रफलों वाली Δ में बांटती हैं]
इसी प्रकार,
ar(ΔBOC) = ar(ΔCOD) ...(ii)
और ar(ΔCOD) = ar(ΔAOD) ...(iii)
(i), (ii) और (iii) से,
ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC)
= ar(ΔCOD)
= ar(ΔAOD)
D, E और F क्रमश:त्रिभुज ABC की भुजाओं और के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
(ii) ar(DEF) = 
ar(ABC)
(iii) ar(BDEF) = 
ar(ABC)
में D, E और F क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB के मध्यबिंदु हैं। 
ar(ΔABC)
ar(ABC)
ar(ΔABC)
ar(ABC)आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD हो, तो दर्शाइए कि:
(i) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)
(ii) ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
[संकेत: D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]
(प्रत्येक = 
)
[शीर्षभिमुख कोण]
(AAS नियम)
...(ii)
...(iii)
...(iv)
ज्ञात है: ΔABC में भुजाओं AB और AC पर क्रमश: बिंदु D और E स्थित हैं और ar(ΔDBC) = ar(ΔEBC).
सिद्ध करना है: DE || BC है।
प्रमाण: चूँकि ar (ΔDEC) = ar(ΔEDB) और ΔDBC और ΔEBC एक ही आधार पर स्थित हैं इसलिए एक ही सामन्तर रेखाओं DE || BC के बीच स्थित हैं।
ar (||gm BCYE) ...(i)
ar(|| gm BCFX) ...(ii)
ar. (||gm ABCD) ...(ii)
ar.(||gm BPQR) ...(iii)
ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC).Sponsor Area
आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि:
(i) ar(ΔACB) = ar(ΔACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के सलंग्न एक भाग ऐसे दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
माना किसान का भूखंड नीचे दी गई आकृति का है, जो चतुर्भुज ABCD के रूप में है। इसे एक समान क्षेत्रफल की त्रिभुज में बदलना है।
रचना: BC को E तक बढ़ाओं ताकि DE || AC हो।
A और E को मिलाओ जो BC के बढ़ाए गए भाग से E पर मिले।
प्रमाण: चूँकि ΔDAC और ΔEAC एक ही आधार AC और एक ही समांतर रेखाओं AC और DE के बीच स्थित हैं।
∴ ar.ΔDAC = ar.ΔEAC
दोनों ओर ar.(ΔABC) जोड़ने पर,
ar(ABCD) = ar (ΔABE)
अत: स्पष्ट है कि स्वास्थ्य केंद्र के लिए दिया गया भूखंड = ar. (ΔADF)
∴ उक्त भूखंड के बदले में किसान को दिया गया भूखंड = ar. (ΔCEF)
ar(ΔAQC) = ar(ΔPBR).
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
में, 
में 
आकृति में, भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD=DE=EC हैं। दर्शाइए कि:
ar(ΔABD) = ar(ΔADE) = ar(ΔAEC).
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की 'भूमिका' में छोड़ दिया था कि "क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है"?
[टिप्पणी: ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ΔABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिंदुओं को सम्मुख शीर्ष से मिला कर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं]
में, D और E भुजा BC पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि BD = DE = EC.
(SSS नियम)
ज्ञात है: ABCD एक ||gm है। BC को Q तक बढ़ाया गया है कि AD = CQ. AQ, DC को P पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है: ar(ΔBPC) = ar(ΔDPQ).
रचना: A और C को मिलाओ।
प्रमाण: AD = CQ
और AD || CQ
∴ ADQC एक || gm है।
∴ ar(ΔPDQ) = ar(ΔPCQ)
||gm के विकर्ण इस समान क्षेत्रफल वाली 4 त्रिभुजों में बांटते हैं।
अत: ar(ΔDPQ) = ar(ΔPCQ) ...(i)
और PBQ में, BC = AD = CQ
∴ BC = CQ
∴ ar(ΔPCQ) = ar(ΔBPC) ...(ii)
(i) और (ii) से
ar(ΔBPC) = ar(ΔDPQ)
की भुजा = x
की भुजा = 2x
(प्रत्येक = 
)
और 
एक ही आधार BE और एक ही समांतर रेखाओं AC और BE के बीच स्थित हैं।
...(i)
मे, D, BC का मध्य बिंदु है।
...(ii)
...(ii)
और 
एक ही आधार ED पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
को घटाने पर,
...(A)
...(B)
, FD = 
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
ar(ΔAPB) x ar(ΔCPD) = ar(ΔAPD) x ar(ΔBPC).
...(i)
...(ii)
...(i)
की माध्यिका है।
...(ii)
...(iii)
में, PQ एक माध्यिका है।
... (iv)
...(v)
[समी. (iv) से]
...(i)
...(ii)
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar(BYXD) = 2 ar(ΔMBC)
(iii) ar(BYXD) = ar(ΔABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(ΔFCB)
(vi) ar(CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG).
ज्ञात है: ΔABC और 
वर्ग BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। AX ⊥ DE जो कि BC को Y पर काटती है।
सिद्ध करना है:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar(BYXD) = 2 ar(ΔMBC)
(iii) ar(BYXD) = ar(ΔABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(ΔFCB)
(vi) ar(CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG).
प्रमाण: (i) ΔMBC और ΔABD में,
MB = AB (वर्ग की भुजाएँ)
BC = BD (वर्ग की भुजाएँ)
(SAS नियम)
(ii) ar(ΔMBC) = ar(ΔABC) ...(i)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के ar. समान हैं]
अब आयत BYXD और ΔABD एक ही आधार और एक ही || रेखाओं के बीच हैं।
या ar(BYXD) =2 ar(ABD) ...(ii)
(i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं
ar(BYXD) =2 ar(MBC) ...(iii)
(iii) पुन: वर्ग ABMN और ΔMBC एक ही आधार और एक ही || रेखाओं के बीच हैं।
2ar(MBC) = ar(ABMN) ...(iv)
(iii) और (iv) से,
ar(BXYD) = ar(ABMN) ...(A)
(iv) ΔFCB और ΔACE में,
BC = CE (आयत की भुजाएँ)
CF = AC (वर्ग की भुजाएँ)
(SAS नियम)
(v) 
...(v)
[∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के ar. समान हैं]
ΔACE और आयात CYXE एक ही आधार CE पर और एक ही समान्तर रेखाओं AX और CE के बीच स्थित हैं।
∴ ar(CYXE) = 2ar(ACE) ...(vi)
(v) और (vi) से
ar(CYXE) = 2ar(FCB) ...(vii)
(vi) ΔBCF और वर्ग एक ही आधार AC और एक ही || रेखाओं CF और BAG के बीच स्थित हैं। ∴ ar(ACFG) = 2ar(FCB) ...(viii)
(v), (vi), (vii) और (viii) से
ar(CYXE) = ar(ACFG) ...(ix)
(vii) (viii) और (ix) को जोड़ने पर
ar(BXYD) + ar(CYXE) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
अत:ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
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