Question

आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD हो, तो दर्शाइए कि:
(i) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)
(ii) ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
[संकेत: D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]

Solution

ज्ञात है: एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। OB = OD और AB = CD हैं।
सिद्ध करना है: (i) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)
(ii) ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)
(iii) DA || CB

रचना: AC पर D और B से क्रमश: DL और BM लम्ब खींचों।
प्रमाण: (i) ΔDOL और ΔBMO से

angle DLO space equals space angle BMO

(प्रत्येक =

90 degree

)
OB = OD (ज्ञात है)

angle DOL space equals space angle BOM

[शीर्षभिमुख कोण]
∴

increment DOL space equals space increment BMO

(AAS नियम)
इस प्रकार, DL = MB (CPCT) ...(i)
अब, ar(ΔDOC) =

1 half cross times CA cross times DL

...(ii)

ar open parentheses increment AOB close parentheses space equals space 1 half cross times CA cross times BM

...(iii)
या

ar left parenthesis increment AOB right parenthesis space equals space 1 half cross times CA cross times DL

...(iv)
(ii) और (iv) से,
ar (ΔDOC) = ar(ΔAOB)
(ii) अब ar (ΔDOC) = ar(ΔAOB)
दोनों ओर ar(ΔBOC) जोड़ने पर
ar(ΔDOC) + ar(ΔBOC) = ar(ΔAOB) +ar(ΔBOC)
अत: ar(ΔDCB) = ar(ΔABC)
चूँकि ΔDCB और ΔABC एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं।
इसलिए

DA space parallel to space CB

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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

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