Question

आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिंदु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:


(i)    ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar(BYXD) = 2 ar(ΔMBC)
(iii) ar(BYXD) = ar(ΔABMN)
(iv)    ΔFCB ≅ ΔACE
(v)    ar(CYXE) = 2 ar(ΔFCB)
(vi)    ar(CYXE) = ar(ACFG)
(vii)    ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG).

Solution

ज्ञात है: ΔABC और $angle straight A space equals space 90 degree$ वर्ग BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। AX ⊥ DE जो कि BC को Y पर काटती है।
सिद्ध करना है:
(i)    ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar(BYXD) = 2 ar(ΔMBC)
(iii) ar(BYXD) = ar(ΔABMN)
(iv)    ΔFCB ≅ ΔACE
(v)    ar(CYXE) = 2 ar(ΔFCB)
(vi)    ar(CYXE) = ar(ACFG)
(vii)    ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG).
प्रमाण: (i) ΔMBC और ΔABD में,
MB = AB (वर्ग की भुजाएँ)
BC = BD (वर्ग की भुजाएँ)
$angle MBC space equals space angle ABD$
   $open square brackets angle MBC space equals space 90 degree space plus space angle ABC thin space और space space angle ABD space equals space 90 degree space plus space angle ABC close square brackets$
$therefore space space increment MBC space approximately equal to space increment ABC thin space$ (SAS नियम)
(ii) ar(ΔMBC) = ar(ΔABC) ...(i)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के ar. समान हैं]
अब आयत BYXD और ΔABD एक ही आधार और एक ही || रेखाओं के बीच हैं।
या ar(BYXD) =2 ar(ABD) ...(ii)
(i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं
ar(BYXD) =2 ar(MBC) ...(iii)
(iii) पुन: वर्ग ABMN और ΔMBC एक ही आधार और एक ही || रेखाओं के बीच हैं।
2ar(MBC) = ar(ABMN) ...(iv)
(iii) और (iv) से,
ar(BXYD) = ar(ABMN) ...(A)
(iv) ΔFCB और ΔACE में,
BC = CE (आयत की भुजाएँ)
CF = AC (वर्ग की भुजाएँ)
   $angle BCF space equals space angle ACE$
$open square brackets 90 degree plus angle ACB space equals space angle BCF space plus space angle ACE close square brackets$
$therefore space space space space space increment FCB space approximately equal to space space increment ACE$ (SAS नियम)
(v) $ar left parenthesis FCB right parenthesis space equals space ar left parenthesis ACE right parenthesis$ ...(v)
[∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के ar. समान हैं]
ΔACE और आयात CYXE एक ही आधार CE पर और एक ही समान्तर रेखाओं AX और CE के बीच स्थित हैं।
∴ ar(CYXE) = 2ar(ACE) ...(vi)
(v) और (vi) से
ar(CYXE) = 2ar(FCB) ...(vii)
(vi) ΔBCF और वर्ग एक ही आधार AC और एक ही || रेखाओं CF और BAG के बीच स्थित हैं।    ∴ ar(ACFG) = 2ar(FCB) ...(viii)
(v), (vi), (vii) और (viii) से
ar(CYXE) = ar(ACFG) ...(ix)
(vii) (viii) और (ix) को जोड़ने पर
ar(BXYD) + ar(CYXE) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
अत:ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)

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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

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बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि
ar(ΔDBC) = ar(ΔEBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।

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