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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

Question
CBSEHHIMAH9004417
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दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाटँते हैं।

Solution

ज्ञात है: चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस प्रकार चार त्रिभुजें AOD, AOB, COB और COD बनते हैं।
सिद्ध करना हैं:
ar left parenthesis increment AOB right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment BOC right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment COD right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment AOD right parenthesis

प्रमाण: चूँकि एक ||gm के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴  O, मध्यबिंदु है (AC और BD का)
अब, ΔABC में OB एक माध्यिका है।
∴   ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC)       ...(i)
                       [∵ माध्यिका Δ को दो समान क्षेत्रफलों वाली Δ में बांटती  हैं]
इसी प्रकार, 
    ar(ΔBOC) = ar(ΔCOD)         ...(ii)
और ar(ΔCOD) = ar(ΔAOD)        ...(iii)
(i), (ii) और (iii) से,
ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC)
             = ar(ΔCOD)
             = ar(ΔAOD)

 


 

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आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड
AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि:
ar(AABC) = ar(ΔABD).है।

बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि 
ar(ΔDBC) = ar(ΔEBC) है। दर्शाइए  कि DE || BC है।

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