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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

Question
CBSEHHIMAH9004435

आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि: 


left parenthesis straight i right parenthesis space ar left parenthesis increment BDE right parenthesis equals 1 fourth ar left parenthesis increment ABC right parenthesis
left parenthesis ii right parenthesis space ar left parenthesis increment BDE right parenthesis equals 1 half ar space left parenthesis increment BAE right parenthesis
left parenthesis iii right parenthesis space ar left parenthesis increment ABC right parenthesis equals space 2 ar left parenthesis increment BEC right parenthesis
left parenthesis iv right parenthesis space ar left parenthesis increment BFE right parenthesis equals ar left parenthesis increment AFD right parenthesis
left parenthesis straight v right parenthesis space ar left parenthesis increment BFE right parenthesis equals 2 ar left parenthesis increment FED right parenthesis
left parenthesis vi right parenthesis ar left parenthesis increment FED right parenthesis equals 1 over 8 ar left parenthesis AFC right parenthesis

Solution

 

ज्ञात है: दो समबाहु त्रिभुजें ABC और BDE हैं और BC का मध्य बिंदु D है। AE, BC को F पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है:
left parenthesis straight i right parenthesis space ar left parenthesis increment BDE right parenthesis equals 1 fourth ar left parenthesis increment ABC right parenthesis
left parenthesis ii right parenthesis space ar left parenthesis increment BDE right parenthesis equals 1 half ar space left parenthesis increment BAE right parenthesis
left parenthesis iii right parenthesis space ar left parenthesis increment ABC right parenthesis equals space 2 ar left parenthesis increment BEC right parenthesis
left parenthesis iv right parenthesis space ar left parenthesis increment BFE right parenthesis equals ar left parenthesis increment AFD right parenthesis
left parenthesis straight v right parenthesis space ar left parenthesis increment BFE right parenthesis equals 2 ar left parenthesis increment FED right parenthesis
left parenthesis vi right parenthesis ar left parenthesis increment FED right parenthesis equals 1 over 8 ar left parenthesis AFC right parenthesis
रचना: E और C तथा  A और  D को मिलाओ।
प्रमाण: (i) माना increment ABD spaceकी भुजा = x
           ar left parenthesis increment BDE right parenthesis space equals space square root of 3 over 4 left parenthesis straight x right parenthesis squared end root
अब,    increment ABC  की भुजा  = 2x
 ∴   ar left parenthesis increment ABC right parenthesis space equals space square root of 3 over 4 left parenthesis 2 straight x squared right parenthesis end root
                    equals 4 square root of 3 over 4 left parenthesis straight x squared right parenthesis end root space equals space 4 space ar left parenthesis increment BDE right parenthesis
अत;    ar left parenthesis increment BDE right parenthesis space equals space 1 fourth ar left parenthesis increment ABC right parenthesis
(ii) angle ACB space equals space angle EBC      (प्रत्येक  = 60 degree)
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴        BE || AC
अब, increment BEC और increment BAE एक ही आधार BE और एक ही समांतर रेखाओं AC और BE के बीच स्थित हैं।
∴  ar left parenthesis increment BEC right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment BAE right parenthesis             ...(i)
पुन;  increment BEC मे, D, BC का मध्य बिंदु है।
∴ ar left parenthesis increment BDE right parenthesis space equals space 1 half ar left parenthesis increment BAE right parenthesis           ...(ii)
(iii) चूँकि एक माध्यिका Δ को दो समान क्षेत्रफल वाली त्रिभुजाओं में बाटँती है।
  ∴  ar left parenthesis increment BDE right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment CDE right parenthesis
      ar left parenthesis increment BEC right parenthesis space equals space 2 space ar space left parenthesis increment BED right parenthesis
परन्तु    ar left parenthesis increment BDE right parenthesis space equals space 1 half left square bracket ar increment ABC right parenthesis right square bracket    ...(ii)

therefore space ar left parenthesis increment BEC right parenthesis space equals space 1 half ar left parenthesis increment ABC right parenthesis
(iv) angle BDE space equals space angle DBA space equals space 60 degree
परन्तु ये एकान्तर कोण का युग्म है।
∴         AB || DE
अब,  increment ADE और increment BED एक ही आधार ED पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
∴  ar left parenthesis increment ADE right parenthesis space equals space ar left parenthesis increment BED right parenthesis
दोनों और से ar left parenthesis increment FED right parenthesis को घटाने पर,
ar(ΔADE) - ar(ΔFED) = ar(ΔBED) - ar(ΔFED)
 ar(ΔAFD) = ar(ΔBFE)
(v) ar(ΔBFE) = ar(ΔAFC)
 ar left parenthesis increment AFD right parenthesis space equals space 1 half cross times FD cross times AD       ...(A)
तथा ar(ΔBFE) = 1 half cross times BF cross times 1 half AD
∴      1 half cross times FD cross times AD space equals space 1 half cross times BF cross times AD
           2FD =  BF
अब, ar(ΔFED) = 1 half cross times DF cross times 1 half AD 
                    equals space 1 fourth cross times DF cross times AD  ...(B)
(A) और (B) से 
     ar(ΔAFD) = ar(ΔFED)
(vi) चूँकि 2FD = BF
∴            BD = x होने पर 
             BF = fraction numerator 2 straight x over denominator 3 end fraction, FD = straight x over 3
ar left parenthesis increment FED right parenthesis space equals space 1 half cross times straight x over 3 cross times 1 half AD space equals space 1 over 12 straight x space cross times space AD
ar left parenthesis increment AFC right parenthesis space equals space 1 half CF cross times AD space equals space 1 half open parentheses straight x plus straight x over 3 close parentheses cross times AD
space equals space 1 half open parentheses fraction numerator 4 straight x over denominator 3 end fraction close parentheses cross times AD space equals space 4 over 6 straight x space cross times space AD space equals space fraction numerator 8 straight x over denominator 12 end fraction cross times AD
space equals space 8 straight x open parentheses straight x over 12 cross times AD close parentheses space equals space 8 space cross times space ar left parenthesis increment FED right parenthesis
अत: ar left parenthesis increment FED right parenthesis space equals space 1 over 8 ar left parenthesis increment AFC right parenthesis