समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है। दर्शाइए कि:
ar(ABCD) = ar(PBQR) है।

Solution

ज्ञात है: ||gm ABCD की भुजा AB को P तक बढ़ाया गया है। बिंदु A से एक रेखाखण्ड CP के समांतर खींचा गया है जो CB को Q पर मिलता है। इस प्रकार एक ||gm PBQR बनता है।
सिद्ध करना है: ar(ABCD) = ar(PBQR)

रचना: A और C को मिलाओ। P और Q को भी मिलाओ।
प्रमाण: ΔACQ और ΔAPQ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं AQ तथा CP के बिच स्थित हैं।
∴ ar.(ΔACQ) = ar(ΔAPQ)
अब, दोनों ओर से ar(ΔABQ) घटाने पर
ar.(ΔACQ) - ar(ΔABQ) = ar.(ΔAPQ) - ar(ΔABQ)
या ar(ΔABC) घटाने पर, ...(i)
हम जानते हैं कि ||gm का विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजाओं में बांटता है।
∴ ||gm ABCD में,
ar.(ΔABC) =