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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

Question

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D, E और F क्रमश:त्रिभुज ABC की भुजाओं और के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
(ii) ar(DEF) = $1 fourth$ ar(ABC)
(iii) ar(BDEF) = $1 half$ ar(ABC)

Solution

ज्ञात है: $increment ABC$ में D, E और F क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB के मध्यबिंदु हैं।
सिद्ध करना: (i) BDEF एक ||gm है।
(ii) ar(ΔDEF) =

1 fourth

ar(ΔABC)
(iii) ar(BDEF) =

1 half

ar(ABC)

प्रमाण: (i) ΔABC में F और E क्रमश: भुजाओं AB और AC के मध्यबिंदु हैं।
∴ FE || BC या BD ...(i)
[मध्यबिंदु प्रमेय]
पुन: ΔABC में E और D क्रमश: भुजाओं AC और BC के मध्यबिंदु हैं।
∴ DE || BF (मध्यबिंदु प्रमेय) ...(ii)
(i) और (ii) से,
BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ||gm BDEF में,

increment BDF thin space approximately equal to space increment DEF

और

increment AFE space approximately equal to space increment left parenthesis DEC right parenthesis space approximately equal to space increment DEF space approximately equal to space increment BDF

∴ ar(AFE) = ar(DEC) = ar(DEF) = ar(BDF)
अत: ar(ΔDEF) =

1 fourth

ar(ΔABC)
(iii) (i) और (ii) से
ar (BDEF) =

1 half

ar(ABC)

Some More Questions From समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Chapter

आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड
AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि:
ar(AABC) = ar(ΔABD).है।

बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि
ar(ΔDBC) = ar(ΔEBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।

आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि:

(i) ar(ΔACB) = ar(ΔACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)

गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के सलंग्न एक भाग ऐसे दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।

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