गणित Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

माना बिंदु A(2, 3) और B(4, 1) है।
A और B के बीच की दूरी 

माना बिंदु A(a, b) और B(-a, -b) है।
A और B के बीच की दूरी
   

माना बिंदु A(1, 5), B(2, 3) और C(-2, -11) हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी

       

बिंदु A=(3, 4), B=(6, 7), C=(9, 4) तथा D=(6,1)
वर्ग में चारों भुजाएँ बराबर तथा समकोण होती  हैं। (या विकर्ण बराबर होते हैं)

AB = BC = CD = DA तथा AC = BD
अत: ABCD एक वर्ग है अर्थात चम्पा ने ठीक कहा।

माना A=(–3, 5), B=(3, 1), C=(0, 3), D=(–1, – 4)

यहाँ   
अत: यह चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ बराबर नहीं हैं।

माना बिंदु P के निर्देशांक (x, 0) हैं।
माना बिंदु हैं A(2, -5) और B(—2, 9)

x² - 4x + 29 = x² + 4x + 85
⇒    -4x - 4x = 85 - 29
⇒    -8x = 56⇒    x = -7
इसलिए, बिंदु होगा = (-7, 0)

दिया है: P(2, -3), Q( 10, y) और PQ = 10 मात्रक
अब,    PQ² = (10)² = 100
⇒      (10 - 2)² + {y - (-3)}² = 100
⇒      (8)² + (y + 3)² = 100
⇒      64 + y² + 6y + 9 = 100
⇒      y² + 6y - 27 = 0
⇒      y² + 9y - 3y - 27 = 0
⇒      y(y + 9) - 3(y + 9) = 0
⇒      (y + 9) (y - 3) = 0
⇒      y + 9 = 0
या      y - 3 = 0
⇒      y = - 9
या      y = 3
⇒      y = -9, 3
अत: y का मान होगा = -9 या 3

P(5, -3), R(x, 6), Q(0, 1)
यह भी दिया है कि,
       PQ = RQ
⇒    PQ² = RQ²
⇒    (0 - 5)² + {1 - (-3)}²
=    (0 - x)² + (1 - 6)²
⇒    25 + 16 = x² + 25
⇒    x² = 16
⇒    x = ±4
अत: R के निर्देशांक होंगे R(± 4, 6)

माना P(x, y), Q(3, 6) तथा R(-3, 4)

दिया है  PQ = PR
⇒      PQ² = PR²
              = x²+y²-6x-12y+45
              = x²+y²+6x-8y+25
⇒     12x+4y-20=0
⇒          3x+y-5=0

x₁ = -1, y₁ = 7
x₂ = 4, y² = -3
m₁ = 2, m₂ = 3
माना बिंदु P(x, y)

अत: निर्देशांक = (1, 3)

माना P और Q रेखाखंड AB को सम-त्रिभाजित करते हैं।
AP = PQ = QB = 1
(i) P, AB को 1:2 में बाँटता है
x₁ = 4, y₁ = -1
x₂ = -2_, y₂ = -3
m₁ = 1, m₂ = 2
∴ P के निर्देशांक होंगे (x₃, y₃)

(ii) यहाँ Q, AB को 2:1 में बाँटता है
x₁ = 4, y₁ = -1
x₂ = 2, y₂ = -3
m₁ = 2, m₂ = 1
∴ Q के निर्देशांक होंगे (x₄, y₄)

अत:   

हरे झंडे के निर्देशांक = 
और लाल झंडे के निर्देशांक = 
दोनों झंडों के बीच की दूरी

       
नीले झंडे की स्थिति:

माना बिंदु P(-1, 6), Q(-3, 10) और R(6, -8) को मिलाने वाली रेखा को m:1 में विभाजित करता है।
P के निर्देशांक होंगे

यहाँ,
x₁ = -3, y₁ = 10
x₂ = 6, y₂ = -8
m₁ = m, m₂ = 1
इसलिए, P के निर्देशांक होंगे

            2 : 7

माना x-अक्ष पर स्थिति O बिंदु के निर्देशांक (x, 0) हैं,
माना यह m:1 में विभाजित करता है, y निर्देशांक

अत:     अनुपात = 1:1
x निर्देशांक

अभीष्ट निर्देशांक (x, 0) = 

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य-बिंदु समान होते हैं।

AC का मध्य-बिंदु = 
BD का मध्य-बिंदु = 

माना A के निर्देशांक (x, y) हैं। O, AB का मध्य बिंदु है और वृत्त का केंद्र है।
O के निर्देशांक होंगे

O के निर्देशांक दिए हैं (2, -3)
अत:

(i) P बिंदु के लिए:

यहाँ, m₁ = 1, m₂ = 3
       x₁ = -2, y₂ = 2
       x₂ = 2, y₂ = 8
P के निर्देशांक:
       
 P(x₁, y₁) = 
Q बिंदु के लिए:

यहाँ   m₁ = 2, m₂ = 2
        x₁ = -2, y₁ = 2
        x₂ = 2, y₂ = 8
Q के निर्देशांक:
       
Q(x₁, y₁) = (0, 5)
R बिंदु के लिए:

यहाँ, m₁ = 3, m₂ = 1
       x₁ = -2, y₁ = 2
       x₂ = 2, y₂ = 8
R के निर्देशांक:
        
R(x₁, y₁) = 

बिंदु दिए हैं: A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4)
यहाँ,
       x₁ = 2, y₁ = 3
       x₂ = -1, y₂ = 0
       x₃ = 2, y₃ = -4
∆ABC का क्षेत्रफल
      

बिंदु दिए हैं: A(-5, -1), B(3, -5) C(5, 2)
यहाँ,
      x₁ = -5, y₁ = -1
      x₂ = 3, y₂ = -5
      x₃ = 5, y₃ = 2
∆ABC का क्षेत्रफल
      

तीन बिंदु यदि रेखीय हैं, तो

या   का क्षेत्रफल
    
अब,  का क्षेत्रफल
          
           
          
       
      
       
    

मान लीजिए दिए हुए बिंदु A(8, 1), B(K, -4) और  C(2, -5).
यहाँ, हमें प्राप्त हैं:
x₁ = 8, y₁ = 1
x₂ = K, y₂ = -4
तथा   x₃ = 2, y₃ = -5
अब, ∆ABC का क्षेत्रफल 

यदि तीन बिंदु संरेखी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

माना  हैं जिसमें A = (0, -1), B = (2, 1) तथा  C = (0, 3)।
 माना AB का मध्य-बिंदु P, BC का मध्य-बिंदु Q तथा CA का मध्य-बिंदु R है।

        ∴    मध्य-बिंदु = 
        ∴    P के निर्देशांक  = 
             Q के निर्देशांक = 
            
             R के निर्देशांक = 
 का क्षेत्रफल  = 
 का क्षेत्रफल = 
                              ...(i) 
      का क्षेत्रफल
         
                            ...(ii) 

      

हम जानते हैं, ∆ACD का क्षेत्रफल:

यहाँ हमें प्राप्त हैं,
x₁ = -4,    y₁ = -2
x₂ = 3,     y₂ = -2
x₃ = 2,     y₃ = 3

अब, ∆ACD का क्षेत्रफल:

अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल +  ∆ACD का क्षेत्रफल
                                   = (10.5 + 17.5) वर्ग इकाई
                                   = 28 वर्ग इकाई

यहाँ, हमें प्राप्त हैं:
x₁ = 4, y₁ = -6
x₂ = 3, y₂ = -2
और x₃ = 5, y₃ = 2
∴  ∆ABC का क्षेत्रफल:
           
           

माना D, भुजा AB का मध्य-बिंदु है। अत:AD त्रिभुज, की माध्यिका होगी।
बिंदु D के निर्देशांक होंगे
                  तथा 

∆ABD में A = (4, -6),  B =(3, -2)  तथा D = (4, 0) 
अत: ∆ABD का क्षेत्रफल:

अत:किसी त्रिभुज की माध्यिका, उस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल के दो भागों में बाँटती है।

मान लीजिए A(2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 को m:1 में विभाजित करती हैं।

विभाजन सूत्र के प्रयोग से: 
    

चूँकि  रेखा 2x + y - 4 पर स्थित हैं, 
अत: 

माना वृत्त का केंद्र O(x, y) हैं। 
तब,    OA = OB = OC
[वृत की त्रिज्या]
⇒    (OA)² = (OB)² = (OC)²    ....(i)
समीकरण (i) के प्रयोग से हमे प्राप्त होता हैं,
OA² = OB²
⇒ (x - 6)² + (y + 6)²
= (x - 3)² + (y + 7)²
(x - 6)² + (y + 6)² = (x - 3)² + (y + 7)²
⇒x² - 12x + 36 + y² + 12y + 36
= x² — 6x + 9 + y² + 14y + 49
⇒    6x + 2y = 14
⇒    3x + y = 7    ...(ii)

फिर से,  हमे प्राप्त हैं 
(OB)² = (OC)²
⇒    (y + 7)² = (y - 3)²
⇒ y² + 49 + 14y = y² + 9 - 6y
⇒    20y = 9 - 49
⇒    20y = 40
⇒    y = -2    ...(iii)
समीकरण (ii) तथा (iii) के प्रयोग  से
हमे प्राप्त होता हैं  x = 3
अतः वृत्त का केंद्र = (3, -2)

तब, AB = BC
⇒    AB² = BC²
⇒ (x + 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 2)²
⇒ x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4
⇒    8x = 8
⇒    x = 1
 में समकोण  है।   [∵ ∠B = 90°]
 AB² + BC² = AC²      (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ (x + 1)² + (y - 2)² + (x - 3)² + (y - 2)² = (3 + 1)² + (2 - 2)²
⇒ x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 + x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 16
⇒ 2x² + 2y² - 4x - 8y + 2 = 0
                                    (2 से भाग करने पर)
⇒ x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता हैं।
⇒    1 + y² - 2 - 4y + 1 = 0
⇒    y(y - 4) = 0
⇒    y = 0, 4
अत:वर्ग वांछित शीर्ष (1, 0) और (1, 4) हैं। 

(i) यदि आकृति में A मूल बिंदु हैं, तो
P के निर्देशांक (4, 6) हैं।
Q के निर्देशांक (3, 2) हैं।
R के निर्देशांक (6, 5) हैं।
∆PQR का क्षेत्रफल 

 

(ii)  यदि आकृति में C मूल बिंदु हैं, तो
P के निर्देशांक (12, 2) हैं।
Q के निर्देशांक (13, 6) हैं।
R के निर्देशांक  (10, 3) हैं। 
∆PQR का क्षेत्रफल 

अत: दोनों स्थिति में क्षेत्रफल बराबर हैं।

 चूँकि , अत: बिंदु D तथा E, AB तथा AC को 1:3 में विभाजित करता है।
बिंदु के निर्देशांक
सूत्र: 
        

 D के निर्देशांक हैं 
बिंदु E के निर्देशांक

अब त्रिभुज का क्षेत्रफल
सूत्र:

D, BC का मध्य-बिंदु है। अत:
     
  

बिंदु P, AD को 2 : 1 में विभक्त करता है।
अत : P के निर्देशांक     

E, AC का मध्य-बिंदु है।
अत: के निर्देशांक 
                   
Q, BE को 2 : 1 में बाँटता है। अत: Q के निर्देशांक 
                       
बिंदु F, AE का मध्य-बिंदु है। 
अत: F के निर्देशांक 
  को मिलाने वाली रेखा को 2:1 में बाँटता है।
अत: R के निर्देशांक = 
                       
अत: Q तथा R के निर्देशांक  तथा  हैं।

हम देखते हैं कि P, Q तथा R के निर्देशांक समान हैं। अत:P, Q, R से समान बिंदु हैं जिसे केन्द्रक कहते हैं।

यदि  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) तथा (x₃, y₃) शीर्ष बिंदु हैं तो केन्द्रक के निर्देशांक होंगे:
                   

चूँकि  P, A(-1, -1) तथा  B(-1, 4) का मध्य बिंदु है।

Q,  B(-1, 4) तथा  C(5, 4) का मध्य बिंदु है।
R, C (5, 4), D(5, -1) का मध्य बिंदु है।
तथा S, D(5, -1) तथा A(-1, -1) का मध्य बिंदु है। 
अत: 
       
  अत: लम्बाई
                      
लम्बाई  
लम्बाई RS = 
             = 
लम्बाई PS = 
             
यहाँ    PQ = QR = RS = SP
अत: PQRS एक समचतुर्भुज (रोम्बस) है।

माना कि बिंदु P (2K, K), Q(2, -5), R(-3, 6)
          
PQ = PR    ........ [दिया है
PQ² = PR²                                     ...  दोनों तरफ वर्ग करने पर 
(2K - 2)² + (K + 5)² = (2K + 3)² + (K-6)²

Tips: -

दिया हुआ बिंदु P (x,y) है

मूल बिंदु) O (0,0) है

दूरी सूत्र का उपयोग करके

$$\begin{gathered} PO = \sqrt{(x_2-x_1{)}^2 + (y_2-y_1{)}^2} \\ = \sqrt{(x-0{)}^2 + (y-0{)}^2} \\ = \sqrt{x^2 +y^2} \end{gathered}$$

मान लीजिए बिंदु P (4, m) रेखा खंड विभाजित करता है

अनुपात A (2, 3) और B (6, -3) अनुपात K: 1 में शामिल हों

बिंदु के समन्वय,

$P = \left(\frac{6K + 2}{K + 1}, \frac{-3K + 3}{K + 1}\right)$

लेकिन बिंदु P के समन्वय को (4, m) के रूप में दिया जाता है

$$\begin{gathered} \frac{6K + 2}{K+1} = 4 ....\left(i\right) \\ \frac{-3K + 3}{K+1} = m ..... \left(ii\right) \\ 6K + 2 = 4K +4 \\ 2K =2 \\ K =1 \\ \mathrm{समीकरण} \left(ii\right) \mathrm{में} K =1 \\ \frac{-3\left(1\right) + 3}{1 + 1} = m \\ \therefore m = 0 \\ Ratio is 1:1 and m = 0 \end{gathered}$$