गणित Chapter 15 प्रायिकता

1

शून्य

1

1

0

1

इस प्रयोग में कि एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयास करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती। इसके परिणाम समप्रायिक नहीं है।  

क्योंकि किसी सिक्के को उछालने पर चित और पट में से कोई एक परिणाम प्राप्त होने की सम्भावनाएँ समान हैं। इसलिए फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि है।   

B.

-1.5

C.

15%

-1.5 सही उत्तर है।  (क्योंकि किसी घटना की प्रायिकता (P) हमेशा शून्य और 1 के बीच होती है।

यहाँ पर,               P(E) = 0.05
                        P(E नहीं) = ?
हम जानते हैं कि      P(E) + P(E नहीं) = 1
                               P(E नहीं) =  1 - P(E)
                                               = 1 - 0.05 = 0.95                    
 

(i) थैले में से संतरे की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता शून्य है क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। अर्थात्
                    P(संतरे की महक वाली गोली) = 0
(ii) थैले में से नींबू की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता एक है क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ ही हैं। अर्थात्
                    P(नींबू  की महक वाली गोली) = 1

माना 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता को E से लिखा जाता है तो प्रश्नानुसार,
                     
                     P(E) = ?
हम जानते हैं कि
                     
                     
                                
अत: 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.008 होगी।

यहाँ पर, 
            थैले में लाल गेंदों की संख्या  = 3
           थैले में काली गेंदों की संख्या  = 5
    थैले में  गेंदों की कुल संख्या = 3 + 5  = 8
∴    सभी संभव परिणामों की संख्या = 8
(i)     लाल गेंदों के अनुकूल परिणामों की संख्या  = 3
∴                        P(लाल गेंद हो) = 
(ii)                 P(लाल गेंद नहीं हो) = 
                                             
           
                      

यहाँ पर,
        डिब्बे में लाल कंचो की संख्या  = 5
         डिब्बे में सफेद कंचो की संख्या  = 8
           डिब्बे में हरे कंचो की संख्या  = 4
डिब्बे में कुल कंचो की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
∴  सभी संभव परिणामों की संख्या  = 17
(i) लाल कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
 ∴                     P(लाल कंचा) = 
(ii) सफेद कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
∴              P(सफेद  कंचा) =
(iii) हरे कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴                    P(हरा कंचा) = 
                 P(हरा कंचा नहीं) =  
 

            
      

यहाँ पर,    पिग्गी बैंक में 
             50 पैसे के सिक्कों की संख्या  = 100
              1 रु के सिक्कों की संख्या = 50
              2 रु के सिक्कों की संख्या = 20
              5 रु के सिक्कों की संख्या  = 10
∴     पिग्गी बैंक में सिक्कों की कुल संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180 
∴     सभी समंभव परिणामों की संख्या = 180
(i) 50 पैसे के सिक्के के अनुकूल परिणामों की संख्या = 100
∴              P(50 पैसे का सिक्का) = 
(ii) 5 रु के सिक्के के अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
∴              P(5 रु का सिक्का) =  
           P(5 रु का सिक्का नहीं) = 

          
               
            

यहाँ पर,  टंकी में 
                नर मछलियों की संख्या  = 5
               मादा मछलियों की संख्या  = 8
∴   टंकी में मछलियों की कुल संख्या  = 5 + 8 =  13
∴    सभी संभव परिणामों की संख्या  = 13
      नर मछली के अनुकूल परिणामों की संख्या  = 5
∴                       P(नर मछली) = 
              

            

यहाँ पर,
          बिंदुओं की कुल संख्या    = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
∴         सभी संभव परिणामों की संख्या = 8
(i)           यहाँ पर, अनुकूल परिणामो की संख्या = 1
∴                  P(तीर 8 को इंगित करेगा) = 
(ii)        यहाँ पर, अनुकूल परिणामो की संख्या = 4 (विषम संख्याएँ = 1, 3, 5,7)
∴     P(तीर एक विषम संख्या को इंगित करेगा) = 
(iii)   यहाँ पर, अनुकूल परिणामो की संख्या = 6(2 से बड़े बिंदु  = 3, 4, 5, 6, 7, 8)
∴      P(तीर 2 से बड़ी संख्या को इंगित करेगा) = 
(iv) यहाँ पर, अनुकूल परिणामों की संख्या  = 8 (9 से छोटी संख्याएँ = 1,2,3,4,5,6,7,8)
∴     P(तीर 9 से छोटी संख्या को इंगित करेगा) = 

यहाँ पर,
          पासे को एक बार फैंकने पर सभी संभव परिणामों की संख्या = 6
(i)         अनुकूल परिणामों की संख्या  = 3(अभाज्य संख्याएँ  = 2, 3, 5)
∴             P(एक अभाज्य संख्या) = 
(ii)   अनुकूल परिणामों की संख्या  = 3(संख्याएँ  = 3, 4, 5)
∴      P(2 और 6 के बीच की संख्या) =
(iii) अनुकूल परिणामों की संख्या  = 3(विषम  संख्याएँ  = 1, 3, 5)
∴              P(एक विषम संख्या) = 
  

यहाँ पर,
      ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या  = 52
∴     सभी संभव परिणामों की संख्या  = 52
(i)   लाल रंग के बादशाहों की संख्या = 2
     अनुकूल परिणामों की संख्या   = 2
अत:    P(लाल रंग का बादशाह) = 
(ii) तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 12(बादशाह, बेगम, गुलाम)
     अनुकूल परिणामों की संख्या   = 12
अत:    P(एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता ) =
(iii) लाल रंग के तस्वीर वाले पत्तों की संख्या  = 6
        अनुकूल परिणामों की संख्या   = 6
अत:    P(लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता)  = 
(iv) पान के गुलामों की संख्या  = 1
    अनुकूल परिणामों की संख्या   = 1
अत:    P(पान का गुलाम) = 
(v)     हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
   अनुकूल परिणामों की संख्या   = 13
अत:     P(हुकुम का पत्ता) = 
(vi) ईंट की बेगमों की संख्या  = 1
     अनुकूल परिणामों की संख्या   = 1
अत:          P(एक ईंट की बेगम) = 


  

यहाँ पर,
(i) ताश के पत्तों की संख्या  = 5 (ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का)
  सभी संभव परिणामों की संख्या  = 5
                     बेगम की संख्या = 1
   अनुकूल परिणामों की संख्या  = 1
अत:               P(एक बेगम पत्ता) = 
(ii)      बेगम निकलने के बाद पत्तों की संख्या  = 4
      सभी संभव परिणामों की संख्या  = 4
      (a)                इक्कों की संख्या  = 1
          अनुकूल परिणामों की संख्या  = 1
  अत:            P(एक इक्का है)  = 
      (b)            बेगम की संख्या  = 0
    अनुकूल परिणामों की संख्या  = 0
अत:           P(एक बेगम है) = 
 

यहाँ पर,
       अच्छे पेनों की संख्या  = 132
      खराब पेनों की संख्या  = 12
पेनों की कुल संख्या  = 132 + 12 =  144
    सभी संभव परिणामों की संख्या  = 144
अनुकूल परिणामों की संख्या (अच्छे पेन) = 132
∴                    P(एक अच्छे पेन) = 
   
           
  

(i)         बल्बों की कुल संख्या  = 20
    सभी संभव परिणामों की संख्या = 20
                      खराब बल्बों की संख्या  = 4
          अनुकूल परिणामो की संख्या  = 4
अत:             P(एक खराब बल्ब) = 
(ii) क्योंकि घटना (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है।
∴        बल्बों की शेष संख्या  = 20 - 1 = 19
  सभी संभव परिणामों की संख्या = 19
     अच्छे बल्बों की संख्या = 19 - 4 =  15
      अनुकूल परिणामो की संख्या  = 15
अत:     P(एक खराब बल्ब नहीं) = 

                                 
    

यहाँ पर,
        पेटी में डिस्कों पर अंकित संख्याएँ = 90 (1 से 90 तक)
    सभी संभव परिणामों की संख्या  = 90
(i) दो अंकों की संख्याओं वाली डिस्क की संख्या  = 81 (10 से 90 तक)
     अनुकूल परिणामों की संख्या  = 81
∴     P(दो अंकों की एक संख्या वाली डिस्क ) = 
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या वाली डिस्कों की संख्या  = 9(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81)
             अनुकूल परिणामों की संख्या  = 9
∴       P(एक पूर्ण वर्ग संख्या वाली डिस्क) = 
(iii) 5 से विभाज्य संख्या वाली डिस्कों की संख्या  = 18(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90)
        अनुकूल परिणामों की संख्या  = 18
∴      P(5 से विभाज्य संख्या वाली डिस्क) =  
 
  
           
           
          

यहाँ पर,
   सभी संभव परिणामों की संख्या  = 6
(i) 'A' के अनुकूल परिणामों की संख्या  = 2
∴        P(अक्षर A) = 
                         
(ii) 'D' के अनुकूल परिणामों की संख्या  = 1
∴          P(अक्षर D) =    
                          

यहाँ पर,
    दिए गए आयातकार क्षेत्र का क्षेत्रफल  = 3m x 2m = 6m²
                   1m व्यास वाले वृत्त की त्रिज्या  = 
1m व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल  = 
∴       सभी संभव परिणामों की संख्या  = 6
    अनुकूल परिणामों की संख्या  = 
अत:    P(पासे के वृत्त के अंदर गिरना) = 

यहाँ पर,
              बॉल पेनों की कुल संख्या  = 144
            खराब बॉल पेनों की संख्या  = 20
अच्छे बॉल पेनों की संख्या  = 144 - 20 = 124
(i)  सभी संभव परिणामों की संख्या  = 144
         अनुकूल परिणामों की संख्या  = 124
∴                  P(पेन खरीदेंगी) =
(ii)  सभी संभव परिणामों की संख्या  = 144
     अनुकूल परिणामों की संख्या  = 20
∴         P(पेन नहीं खरीदेंगी) = 

    
              

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर सभी संभव परिणामों की संख्या 
S= {HHH,TTT, HHT, HTH, HTT, THH,THT,TTH}
अर्थात्    n(S) = 8
माना हनीफ के खेल जीत जाने के अनुकूल परिणाम A है। 
A = {HHT, HTH, HTT,THH,THT,TTH}
अर्थात्   (A) = 6
अत: P(A) = 

(i) सत्य नहीं हैं। हम इस प्रकार परिणामों को वर्गीकृत कर सकते हैं परन्तु वे सम-संभावी नहीं है क्योंकि दोनों सिक्कों को उछालने पर यह हो सकता है कि पहले पर चित और दूसरे पर पट या पहले पर पट तथा दूसरे पर चित आए। इसलिए एक पर पट तथा दूसरे पर चित आने की संभावना दोनों पर चित या दोनों पर पट आने की संभावनाओं का दुगुना है।  
(ii) सही है। प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-संभवी हैं।  

यहाँ पर,
     सभी संभव परिणामों की कुल संख्या  = 5 x 5 = 25
अर्थात् 
          

पूर्ण सारणी निम्न होगी- 

 सभी संभव परिणामों की कुल संख्या  = 6 x 6 = 36
(i)  योग के सम संख्या प्राप्त होने के परिणाम = 2, 4, 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 4,  6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 12
        अनुकूल परिणामों की संख्या  = 18
∴              P(योग एक सम संख्या है) = 
(ii) योग के 6 प्राप्ति के परिणाम = 6, 6, 6, 6
    अनुकूल परिणामों की संख्या  = 4
 ∴               P(योग 6 है) = 
(iii) योग से कम-से-कम के परिणाम  = 7, 8, 8, 6, 6, 9, 6, 6, 9, 7, 8, 9, 9, 12
    अनुकूल परिणामों की संख्या  = 15
 ∴            P(योग कम-से-कम 6  है)  = 

यहाँ पर,
               थैले में लाल गेंदों की कुल संख्या  = 5
         माना थैले में लाल गेंदों की संख्या  = x
∴  थैले में गेंदों की कुल संख्या  = (5 + x)
अर्थात्  सभी संभव परिणामों की संख्या  = (5 + x)
                       P(नीली गेंद) 
                      P(लाल गेंद) = 
प्रश्नानुसार,      नीली गेंद की प्रायिकता  = 2 x लाल गेंद की प्रायिकता 
                         
या                              x = 10
     अत: थैले में नीली गेंदों की संख्या  = 10
            


   

(i)  थैले में गेंदों की कुल संख्या  = 12
     अत: सभी संभव परिणामों की संख्या  = 12
          काली गेंदों की संख्या  = x
अर्थात्  अनुकूल परिणामों की संख्या = x
अब,  P(एक काली गेंद) = 
                            
(ii) क्योंकि थैले में 6 काली गेंदे और रख दी गई हैं।
 ∴            थैले में गेंदों की कुल संख्या  = 12 + 6 = 18
           थैले में काली गेंदों की कुल संख्या  = 6 + x
∴     सभी संभव परिणामों की कुल संख्या = 18
            अनुकूल परिणामों की संख्या = 6 + x
∴                   P(काली गेंद) = 
प्रश्नानुसार,                  
या                            
या                          
या                          36 + 6x = 18x
या                              18x = 36 + 6x
या                             18x - 6x = 36
या                                  12x = 36
या                                  
अत:                              x = 3


 

           
         


                           

यहाँ पर,
              जार में कंचो की कुल संख्या  = 24
∴         सभी संभव परिणामों की संख्या  = 24
माना                  हरे कंचों की संख्या  = x                     
         हरे कंचो के अनुकूल परिणाम = x
                          P(हरा कंचा) =  ...(i)
परन्तु प्रश्नानुसार,                            
                      P(हरा कंचा)  =      ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने से,
                                   
                            
अत:           जार में हरे कंचे की संख्या  = 16
      जरा में नील कंचों की संख्या  = 24 - 16 = 8     

दो पासा में फेंक दिया जा सकता है 6 x 6 = 36 तरीके से।
(i) "प्रत्येक पासे से एक प्रमुख संख्या" प्राप्त की जा सकती है (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), i.e., 9 तरीके से।

(ii) "कुल 9 या 11" प्राप्त किए जा सकते हैं " 

विमान की सामान्य गति = x km/ hr
विमान की गति में की गई वृद्धि = (x + 250) km/ hr
दूरी = 1,500 km
प्रश्न के अनुसार,

जब दो पासा एक साथ फेंक गया

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

परिणामों की कुल संख्या = 36
n (s) = 36

(i) एक द्विक आने की प्रायिकता

A = {(1,1), (2,2), (3,3),(4,4), (5,5), (6,6)}

n(A) = 6

$\therefore P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)} = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}$

(ii)  दोनों पासों पर संख्याओं का योग 10 आने की प्रायिकता

B = getting sum of numbers as 10.
B = {(6, 4), (4, 6), (5, 5)}
n(B) =3

$\therefore P \left(B\right) = \frac{n\left(B\right)}{n\left(S\right)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(S) = (2,3,...99)

n(s) = 98

(i) 8 से भाज्य संख्या

∴ A = { 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96}
∴ n (A) = 12

$$\begin{gathered} P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)} \\ = \frac{12}{100} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} \\ P \left(A\right) = \frac{3}{25} \end{gathered}$$

(ii) संख्याएं जो 8 से विभाजित नहीं हैं
$$\begin{gathered} \therefore P (A\text{'}) = 1-P\left(A\right) \\ = 1-\frac{3}{25} \\ P(A\text{'}) = \frac{22}{25} \end{gathered}$$