गणित Chapter 14 सांख्यिकी

यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 150
तथा वर्ग-माप (h) = 20 तब 

वर्ग अंतराल	बारंबारता (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui =	fiui
100 - 120	12	110	-2	-24
120 - 140	14	130	-1	-14
140 - 160	8	150	0	0
160 - 180	6	170	1	6
180 - 200	10	190	2	20
योग

यहाँ पर माना कलिप्त माध्य (a) = 18
तथा वर्ग-माप (h) = 2 तो 

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (fi)	वर्ग चिह्न (xi)
11-13	7	12	-3	-21
13-15	6	14	-2	-12
15-17	9	16	-1	-9
17-19	13	18	0	0
19-21	f	20	1	f
21-23	5	22	2	10
23-25	4	24	3	12
योग

यहाँ पर माना कल्पित माध्य  (a) = 75.5
तथा वर्ग-माप (h) = 

वर्ग अंतराल	बारंबारता	वर्ग चिह्न
65-68	2	66.5	-3	-6
68-71	4	69.5	-2	-8
71-74	3	72.5	-1	-3
74-77	8	75.5	0	0
77-80	7	78.5	1	7
80-83	4	81.5	2	8
83-86	2	84.5	3	6
योग

यहाँ पर,   
          माना कल्पित माध्य (a) = 57
              तथा वर्ग-माप (h) = 3
                          

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (fi)	वर्ग चिह्न (xi)		fiui
50-52	15	51	-2	-30
53-55	110	54	-1	-110
56-58	135	57	0	0
59-61	115	60	1	115
62-64	25	63	2	50
योग

यहाँ पर माना कलिप्त माध्य (a) = 225
            तथा वर्ग-माप (h)  = 50
                   

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (f1)	वर्ग- चिह्न (xi)
100-150	4	125	-2	-8
150-200	5	175	-1	-5
200-250	12	225	0	0
250-300	2	275	1	2
300-350	2	325	2	4
योग

यहाँ पर प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात करेंगे:

SO2 की सांद्रता	बारंबारता	वर्ग चिह्न
0.00 − 0.04	4	0.02	0.08
0.04 − 0.08	9	0.06	0.54
0.08 − 0.12	9	0.10	0.90
0.12 − 0.16	2	0.14	0.28
0.16 − 0.20	4	0.18	0.72
0.20 − 0.24	2	0.22	0.44
योग			= 2.96

यहाँ पर प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात करेंगे:

दिनों की संख्या	विद्यार्थियों की संख्या	वर्ग- चिह्न
0−6	11	3	33
6−10	10	8	80
10−14	7	12	84
14−20	4	17	68
20−28	4	24	96
28−38	3	33	99
38−40	1	39	39
योग

यहाँ पर,   माना कलिप्त माध्य (a) = 70
             तथा वर्ग-माप (h) = 10
                

साक्षरता दर (% में)	बारंबारता	वर्ग-चिह्न (xi)
45−55	3	50	−2	−6
55−65	10	60	−1	−10
65−75	11	70	0	0
75−85	8	80	1	8
85−95	3	90	2	6
योग

यहाँ पर, अधिकतम वर्ग बारंबारता 23 है तथा इसका बारंबारता संगत वर्ग 35 - 45 है।
 बहुलक वर्ग = 35 - 45
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 35
                   वर्ग-माप (h) = 10
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 23
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 21
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 14
अत: बहुलक  = 
                
माध्य ज्ञात करने के लिए  - माना कलिप्त माध्य (a) = 30
                               वर्ग-माप (h) = 10
                                     

वर्ग-अंतराल	बारंबारता(fi)	वर्ग चिह्न (xi)
5−15	6	10	−2	−12
15−25	11	20	−1	−11
25−35	21	30	0	0
35−45	23	40	1	23
45−55	14	50	2	28
55−65	5	60	3	15
योग

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 61 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 60−80 है।
                           बहुलक वर्ग = 60−80
             बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 60
                               वर्ग-माप (h) = 20
            बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 61
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 52
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 38
अब बहुलक 
               
अत: दिए आँकड़ों के उपकरणों का बहुलक जीवनकाल 65.625 घंटे है।



               
                             

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 40 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 1500 - 2000 है।
            बहुलक वर्ग  = 1500 - 2000
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 1500
                 वर्ग-माप (h) = 500
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 40
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 24
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 33
           अब बहुलक  = 
                          
अत: परिवारों का बहुलक मासिक व्यय = ₹ 1847.83
 माध्य मासिक व्यय के लिए - 
            माना कलिप्त माध्य (a) = 2750
                         वर्ग माप(h) = 500
                                  
                                       

वर्ग अंतराल	बारंबारता(fi)	वर्ग चिह्न (xi)
1000-1500	24	1250	-3	-72
1500-2000	40	1750	-2	-80
2000-2500	33	2250	-1	-33
2500-3000	28	2750	0	0
3000-3500	30	3250	1	30
3500-4000	22	3750	2	44
4000-4500	16	4250	3	48
4500-5000	7	4750	4	28
योग

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 10 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 30−35 है। 
                       बहुलक वर्ग  = 30 - 35
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 30 
                  वर्ग माप (h) = 5
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 10
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 9
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 3
अब बहुलक                  

माध्य के लिए:
              माना कलिप्त माध्य (a) = 32.5
                      वर्ग माप (h) = 5
                           

वर्ग अंतराल	बारंबारता	वर्ग चिह्न (xi)
15−20	3	17.5	−3	−9
20−25	8	22.5	−2	−16
25−30	9	27.5	−1	−9
30−35	10	32.5	0	0
35−40	3	37.5	1	3
40−45	0	42.5	2	0
45−50	0	47.5	3	0
50−55	2	52.5	4	8
योग

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 18 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 4000−5000 है।
   बहुलक वर्ग  =     4000−5000
बहुलक वर्ग की निम्न सिमा (l) = 4000
                  वर्ग माप (h) = 1000
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 18
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 4
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 9
अब बहुलक  = 
                
अत: दिए गए आँकड़ों का बहुलक  = 4608.7 (लगभग)
                              


                                
                         

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 40−50 है।
                         बहुलक वर्ग  = 40−50
बहुलक वर्ग की निम्न संख्या (l) = 40
                    वर्ग-माप (h) = 10
    बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 20 
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 12 
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 11
अब बहुलक  = 
                
                 
अत: दिए गए आँकड़ों का बहुलक = 44.7 कारें

माध्यक के लिए  -

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (fi)	वर्ग चिह्न (xi)
65−85	4	75	−3	−12
85−105	5	95	−2	−10
105−125	13	115	−1	−13
125−145	20	135	0	0
145−165	14	155	1	14
165−183	8	175	2	16
183−205	4	195	3	12
योग

यहाँ पर दिया गया है - माध्यक = 28.5;  n =  60

यहाँ पर माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत माना गया है, जो निम्नलिखित होंगे:

दी गई बारंबारता बंटन को एक कम प्रकार की संचयी बारंबारता बंटन सारणी में बदलने पर प्राप्त होगा-  

बिंदुओं A(38, 0), B(40, 3), C(42, 5), D(44, 9), E(46, 14), F(48, 28), G(50, 32) व H(52, 35) को ग्राफ पेपर पर अंकित कर इन्हें मुक्त हाथ से मिलाकर कम प्रकार का तोरण प्राप्त कीजिए। 

  ग्राफ पेपर पर  के विरुद्ध x निर्देशांक 47 प्राप्त होता है। इसलिए दी गई सारणी का माध्यक 47 है।   

दी गई बारंबारता सारणी से अधिक के प्रकार के बंटन की सारणी होगी: 

अब हम ग्राफ पेपर पर बिंदुओं A(50, 100),  B(55, 98),  C(60, 90), D(65, 78), E(70, 54) और F(75, 16) की आलेखित कर निम्न तोरण प्राप्त होते हैं।  

$\frac{N}{2} =\frac{280}{2} = 140$

n/2 से अधिक संचयी आवृत्ति 182 है और इसी वर्ग में 10-15 है

औसत वर्ग = 10-15

l (औसत श्रेणी की कम सीमा) = 10
h( वर्ग आकार) = 5

n(अवलोकन की संख्या) = 280
Cf = (औसत श्रेणी = 49)

f(औसत श्रेणी की आवृत्ति) = 133

$$\begin{gathered} Median = l + \left(\frac{{\displaystyle \frac{N}{2}-F}}{f} \right)x h \\ = 10 +\left( \frac{140-49}{133}\right) x 5 \\ = 13.42 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{\Sigma f}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{u}}_{\mathrm{i}} = \mathrm{f}-8 \\ \mathrm{we} \mathrm{have} \\ \mathrm{h} = 2; \mathrm{A} = 18, \\ \mathrm{N} = 40 +\mathrm{f} \\ {\mathrm{\Sigma f}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{u}}_{\mathrm{i}} = \mathrm{f}- 8 \\ \overline{\mathrm{X} } = 18 \\ \therefore \mathrm{Mean} = \mathrm{A} +\mathrm{h}\left\{\frac{1}{\mathrm{N}}{\mathrm{\Sigma f}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\right\} \\ 18 = 18 + 2 \left\{\frac{1}{40+ \mathrm{f}}(\mathrm{f}-8)\right\} \\ \frac{2 (\mathrm{f}-8)}{40 +\mathrm{f}} = 0 \\ \mathrm{f}- 8 = 0 \\ \mathrm{f} = 8 \end{gathered}$$

दिए गए वर्ग अंतराल के अलावा, हम शून्य आवृत्ति के साथ कक्षा अंतराल 80-100 मानते हैं