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गणित Chapter 6 रेखाएँ और कोण

    • NCERT Solution For Class 9 गणित गणित

    रेखाएँ और कोण Here is the CBSE गणित Chapter 6 for Class 9 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 9 गणित रेखाएँ और कोण Chapter 6 NCERT Solutions for Class 9 गणित रेखाएँ और कोण Chapter 6 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 9 गणित.

    Question 1
    CBSEHHIMAH9004346
    Wired Faculty App

    आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∠AOC + ∠BOE = 70o
    ∠BOD = 40o      ...(i)
    ∴ ∠AOC = ∠BOD     [ शीर्षाभिमुख कोण ]
    ∴ ∠AOC = 40°    ...(ii)
    अब, ∠AOC + ∠BOE = 70°
    ⇒ 40° + ∠BOE = 70°
    ⇒ ∠BOE = 70° - 40°
    ⇒ ∠BOE = 30°
    = ∠COD + ∠BOD + ∠BOE
    = ∠COD + 40° + 30°
    समीकरण (i) और (ii) से
    ∠COE + 40° + 30° = 180o ⇒ ∠COE = 110o
    प्रतिवर्ती
    ∠COE = 360o - 110o =- 250o

    Question 2
    CBSEHHIMAH9004347
    Wired Faculty App

    आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि angle POY= 90° और a : b = 2 : 3 हैं, तो c ज्ञात कीजिए।
    Solution
    therefore angle POX space plus space angle POY space equals space 180 degree   [ एक ही रेखा पर बने कोण ]
    rightwards double arrow space space angle POX space plus space 90 degree space equals space 180 degree because space angle POY space equals space 90 degree rightwards double arrow space space angle POX space equals space 180 degree space minus space 90 degree rightwards double arrow space space angle POX space equals space 90 degree rightwards double arrow space space angle POM space plus space angle XOM space equals space 90 degree
    rightwards double arrow a + b = 900       .....(1)
    a : 2 = 2 : 3 
    rightwards double arrow straight a over straight b space equals space 2 over 3
    rightwards double arrow straight a over 2 space equals space b over 3 space equals space k
    rightwards double arrow a = 2k
    b = 3k
    दोनों का मान समीकरण (i) में रखने पर
    2k + 3k = 900 
    open table attributes columnalign right end attributes row cell therefore space space space straight a space equals space 2 straight k space equals space 2 left parenthesis space 18 degree space right parenthesis space equals space 36 degree end cell row cell b italic space equals space 3 k italic space equals space 3 left parenthesis space 18 degree space right parenthesis space equals space 54 degree end cell end table space close curly brackets space space space space space space space space space space space space... space left parenthesis ii right parenthesis
    ∴  angle XOM space plus space angle XON = 180°   [ एक ही रेखा पर बने कोण ]
    ⇒  b + c = 180°
    ⇒  54° + c = 180°
    ⇒  c = 180° - 54°
    ⇒  c = 126°
    Question 3
    CBSEHHIMAH9004348
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि : ∠PQS = ∠PRT

    Solution

    आकृति में, angle PQR space equals space angle PRQ
    ∴ ∠PQS + ∠PQR = 180°    ...(1)
    [ रैखिक कोण ]
    ∴ ∠PRQ + ∠PRT = 180°    ...(2)
    [ रैखिक कोण ]
    समीकरण (i) और (ii) से
    ∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT
    ⇒ angle PQR space equals space angle PRQ
    ⇒  ∠PQS = ∠PRT

    Question 4
    CBSEHHIMAH9004349
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

    Solution

    x + y = w + z    ...(i)     [ दिया है ]
    ∵ एक बिंदु के चरों ओर बने कोण = 360°
    therefore x + y + w + z = 360o
    rightwards double arrow x + y + x + y = 360o
    rightwards double arrow 2(x + y) = 360o
    rightwards double arrow space straight x space plus space straight y space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 2 end fraction
    rightwards double arrow x + y = 180
    ∴ AOB एक सरल रेखा है।

    Question 5
    CBSEHHIMAH9004350
    Wired Faculty App

    आकृति में, POQ एक सरल रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए:
    angle ROS space equals space 1 half space left parenthesis space angle QOS space minus space angle POS space right parenthesis

    Solution

    ∴ ∠QOR = ∠POR = 90°    ...(1)
    ∠QOS = ∠QOR + ∠ROS    ...(2)
    ∠POS = ∠POR - ∠ROS    ...(3)
    समीकरण (ii) और (iii) से
    ∴ ∠QOS - ∠POS = (∠QOR - ∠POR) + 2∠ROS = 2∠ROS   [ ∠QOR = ∠POR ]
    rightwards double arrow space angle ROS space equals space 1 half space left parenthesis space angle QOS space minus space angle POS space right parenthesis

    Question 6
    CBSEHHIMAH9004351
    Wired Faculty App

    और XY के बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∴ ∠XYZ+ ∠ZYP = 180°

    ⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
    [ ∵ ∠XYZ = 64° ( दिया है ) ]
    ⇒  ∠ZYP = 180° - 64°
    ⇒  ∠ZYP = 116°    ... (i)
    because angle ZYP का अर्धक YQ है।
    therefore space space angle PYQ space equals space angle ZYQ space equals space 1 half space angle ZYP space equals space 1 half space left parenthesis space 116 degree space right parenthesis  [ समीकरण (i) से ]
    = 58o          ... (2)
    therefore space space angle QYP space equals space 360 degree space minus 58 degree space equals space 302 degree
    [ एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360o होता हैं ]
    पुन:,  angle XYQ space equals space angle XYZ space plus space angle ZYQ
    = 640 + 580
    because space angle XYZ space equals space 64 degree ,  angle ZYQ space equals space 58 degree
    angle XYQ space equals space 122 degree

    Question 7
    CBSEHHIMAH9004352
    Wired Faculty App

    आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

    Solution

    ∴AEG + ∠AEH = 180°    [ रैखिक युग्म ]

    ⇒ 50° + x = 180°
    ⇒ x = 180° - 50° = 130°    ...(1)
    y = 130°    ...(2)     [ शीर्षाभिमुख कोण ]
    समीकरण (i) और (ii) से
    x = y
    परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
    अत: AB || CD

    Question 8
    CBSEHHIMAH9004353
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∵ AB || CD
    CD || EF
    ∴ AB || EF
    ∴ x = z    ...(1)      [ एकान्तर कोण ]
    x + y = 180°    ...(2)
    समीकरण (i) और (ii) से
    z + y = 180°
    y : z = 3 : 7
    अनुपातों का योगफल = 3 + 7 = 10
    therefore space space space straight y space equals space 3 over 10 space cross times space 180 degree space equals space 54 degree straight z space equals space 7 over 10 space cross times space 180 degree space equals space 126 degree therefore space straight x space space equals space space straight z space equals space 126 degree

    Question 9
    CBSEHHIMAH9004354
    Wired Faculty App

    आकृति में, AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

    Solution

    (i) ∠AGE = ∠GED = 126°       [ एकान्तर कोण ]
    (ii) ∠GED = 126°
    ⇒ ∠GEF + ∠FED = 126°
    ⇒ ∠GEF + 90° = 126°   [ ∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90° ]
    ⇒ ∠GEF = 126° - 90° = 36°
    (iii) ∠GEC + ∠GEF + ∠FED = 180°   [ रैखिक युग्म ]
    ⇒ ∠GEC + 36° + 90° = 180°
    ⇒ ∠GEC + 126°= 180°
    ⇒ ∠GEC = 180° - 126° = 54°
    अब, ∠FGE = ∠GEC = 54°   [ एकान्तर कोण ]

    Question 10
    CBSEHHIMAH9004355
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
    [ संकेत : बिंदु R से लेकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए ]
    Solution
    बिंदु R से लेकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए

    ∠RST +  ∠SRU = 180°          [ तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने कोण ]
    ⇒ 130° + ∠SRU = 180°
    ⇒  ∠SRU = 180° - 130° = 50°    ...(i)
    ∠QRU = ∠PQR = 110°           [ एकान्तर कोण ]
    ⇒ ∠QRS + ∠SRU = 110°
    ⇒ ∠QRS + 50° = 110°          समीकरण (i) से
    ⇒ ∠QRS = 110° - 50° = 60°

    Question 11
    CBSEHHIMAH9004356
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y के मान ज्ञात करो।

    Solution

    x = ∠APQ = 50°                   [ एकान्तर कोण ]
    ∠APQ + y = ∠PRD = 127°     [ एकान्तर कोण ]
    50° + y = 127°
    y = 127° - 50° = 77°

    Question 12
    CBSEHHIMAH9004357
    Wired Faculty App

    आकृति में, PQ और RS दो दर्पण एक दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुन: CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB||CD है।

    Solution
    दो दर्पणों पर बिंदु B तथा C पर लंब खींचो।

    ∠LBC = ∠MCB    ... (i)      [ एकान्तर कोण ]
    ∠ABL = ∠LBC     ... (ii)     [ ∵ आपतन कोण = परावर्तित कोण ]
    ∠MCB = ∠MCD    ...(3)     [ ∵ आपतन कोण = परावर्तित कोण ]
    समीकरण (i), (ii) और (iii) से
    ∠ABL = ∠MCD    ... (iv)
    समीकरण (i) और (iv) को जोड़ने पर
    ∠LBC + ∠ABL = ∠MCB + ∠MCD
    ⇒ ∠ABC = ∠BCD
    परन्तु यह एकान्तर कोणों का एक युग्म है।
    इसलिए, AB||CD

    Question 13
    CBSEHHIMAH9004358
    Wired Faculty App

    आकृति में, ∆PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∴ ∠PQT + ∠PQR = 180°       [ रैखिक युग्म ]
    ⇒ 110° + ∠PQR = 180°
    ⇒ ∠PQR = 180° - 110° = 70°    ... (i)
    ∴ ∠SPR + ∠QPR = 180°
    ⇒ 135° + ∠QPR = 180°
    ⇒ ∠QPR = 180° - 135° = 45°    ... (ii)
    ∆PQR में,
    ∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180°   [ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ 70° + 45° + ∠PRQ = 180°
    समीकरण (i) और (ii) से
    ⇒ 115° + ∠PRQ = 180°
    ⇒ ∠PRQ = 180° - 115° = 65°

    Question 14
    CBSEHHIMAH9004359
    Wired Faculty App

    आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO ZO क्रमश: ΔXYZ का ∠XZY और angle XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात करो।

    Solution

    ∆XYZ में,
    ∠XYZ + ∠YZX + ∠ZXY = 180°      [ ∵ त्रिभुजों के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ 54° + ∠YZX + 62° = 180°
    ⇒ 116° + ∠YZX = 180°
    ⇒ ∠YZX = 180° - 116° = 64°    ... (i)
    ∵ ∠XYZ का अर्धक YO है,
    therefore space angle XYO space equals space angle OYZ space equals space 1 half space angle XYZ equals space 1 half left parenthesis space 54 degree space right parenthesis space equals space 27 degree space space space space space space space space space space space space space... space left parenthesis ii right parenthesis

    ∵ ∠YZX का अर्धक ZO है,
    therefore space angle XZO space equals space angle OZY space equals space 1 half space angle YZX equals space 1 half left parenthesis space 64 degree space right parenthesis space equals space 32 degree space space space space space space space space space space space space space space... space left parenthesis iii right parenthesis

    ∆OYZ में,
    ∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
    [ ∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
    समीकरण (ii) और (iii) में
    ⇒ 59° + ∠YOZ = 180°
    ⇒ ∠YOZ = 180° - 59° = 121°

    Question 15
    CBSEHHIMAH9004360
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि AB||DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∠DEC = ∠BAC = 35°    ... (i)
    [ एकान्तर कोण ]
    ∠CDE = 53°    ... (ii)
    ∆CDE में,
    ∠CDE + ∠DEC + ∠DCE = 180°
    [ ∵ त्रिभुजों के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ 53°+ 35° + ∠DCE = 180°
    समीकरण (i) और (ii) से
    ⇒ 88° + ∠DCE = 180°
    ⇒ ∠DCE = 180° - 88° = 92°

    Question 16
    CBSEHHIMAH9004361
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS, बिंदु T इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∆PRT में,
    ∠PTR + ∠PRT + ∠RPT = 180°
    [ ∵ त्रिभुजों के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ ∠PTR + 40°+ 95° = 180°
    ⇒ ∠PTR + 135° = 180°
    ∠PTR = 45°
    ⇒ ∠QTS = ∠PTR = 45°        [ शीर्षाभिमुख कोण ]
    ∆TSQ में,
    ∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180°
    ⇒ [ ∵ त्रिभुजों के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ 45° + 75° + ∠SQT = 180°
    ⇒ 120° + ∠SQT = 180°
    ⇒ ∠SQT = 180° - 120° = 60°

    Question 17
    CBSEHHIMAH9004362
    Wired Faculty App

    आकृति में, यदि PQ ⊥ PS और PQ||SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

    Solution

    ∠QRT = ∠RQS + ∠QSR
    [ ∵बाह्य कोण प्रमेय ]
    ⇒ 65° = 28° + ∠QSR
    ⇒ ∠QSR = 65° - 28° = 37°
    ∵ PQ ≠ SP
    ∴ ∠QPS = 90°
    ∵ PQ || SR
    ∴ ∠QPS + ∠PSR = 180°
    [ ∵ तिर्यक रेखा पर एक ही ओर बने कोण = 180° ]
    ⇒ 90° + ∠PSR = 180°
    ⇒ ∠PSR = 180° - 90° = 90°
    ⇒ ∠PSQ + ∠QSR = 90°
    ⇒ y + 37° = 90°
    ⇒ y = 90° - 37° = 53°
    ∆PQS में,
    ∠PQS + ∠QSP + ∠QPS = 180°
    [ ∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180° ]
    ⇒ x + y + 90° = 180°
    ⇒ x + 53° + 90° = 180°
    ⇒ x + 143° = 180°
    ⇒ x = 180° - 143° = 37°

    Question 18
    CBSEHHIMAH9004363
    Wired Faculty App

    आकृति में, ∆PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि:
    angle QTR space equals space 1 half space angle QPR
    Solution

    ∵ ∠TRS बाह्य कोण प्रमेय से ∆TQR ∴ ∠TRS = ∠TQR + ∠QTR    ... (i)
    ∵ बाह्य कोण दोनों आंतरिक कोणों के प्रतिवर्ती कोण के योग के बराबर होता है
    ∵ ∠ PRS, ∆PQR का बाह्य कोण है
    ∴ ∠PRS = ∠PQR + ∠QPR    ... (ii)
    ∵ बाह्य कोण दोनों आंतरिक कोणों के प्रतिवर्ती कोण के योग के बराबर होता है
    ⇒ 2 ∠TRS = 2∠TQR + ∠QPR
    [ ∵ QT, ∠PQR का समद्विभाजक है और RT, ∠PRS का समद्विभाजक है ]
    ⇒ 2(∠TRS - ∠TQR) = ∠QPR    ... (iii)
    समीकरण (i) से,
    ∠TRS - ∠TQR = ∠QTR    ... (iv)
    समीकरण (iii) और (iv) से
    2 angle QTR space equals space angle QPR rightwards double arrow space angle QTR space equals space 1 half space angle QPR

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