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गणित Chapter 10 वृत्त

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    NCERT Solution For Class 10 गणित गणित

    वृत्त Here is the CBSE गणित Chapter 10 for Class 10 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 10 गणित वृत्त Chapter 10 NCERT Solutions for Class 10 गणित वृत्त Chapter 10 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 10 गणित.

    Question 1
    CBSEHHIMAH10010296
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    एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं? 
    Solution

    एक वृत्त की अपरिमित रूप से अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

    Question 6
    CBSEHHIMAH10010301
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    5 सेमी  त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है:

    • 12 सेमी

    • 13 सेमी

    • 8.5 सेमी

    • square root of 119 सेमी

    Solution

    D.

    square root of 119 सेमी open parentheses straight d close parentheses space space space square root of 119 space cm.
    प्रश्नानुसार, 
                       angle DPQ space equals space 90 degree [∵ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा की त्रिज्या लम्बवत्त होती है]
                            OP = 5cm
                             OQ = 12 cm
     अब समकोण increment OPQ में,
     OQ squared space equals space OP squared plus PQ squared space space space rightwards double arrow space space PQ squared space equals space OQ squared space minus space OP squared space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 12 squared space minus space 5 squared
                  = 144 - 25 = 119
    rightwards double arrow PQ=  square root of 119 space cm


     

    Question 7
    CBSEHHIMAH10010302
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    एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है-

    • 7cm

    • 12cm

    • 15 cm

    • 24.5 cm
    Solution

    A.

    7cm

    दिए गए वृत्त का केंद्र लेने पर वृत्त की स्पर्श रेखा तथा वृत्त की त्रिज्या है परन्तु त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण होता है।  

    therefore space space space space space space OQ squared space equals space OP squared space plus space PQ squared space space space space space space space space space left curly bracket प ा इथ ा ग ो रस space प ् रम े य space क े space प ् रय ो ग space स े right square bracket rightwards double arrow space space space space space space left parenthesis 25 right parenthesis squared equals OP squared plus 576 rightwards double arrow space space space space space space OP squared space equals space 625 minus 576 rightwards double arrow space space space space space space OP squared space equals space 49 rightwards double arrow space space space space space space OP space equals space square root of 49 space equals space 7 space cm space space space space space space
    Question 8
    CBSEHHIMAH10010303
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    सलंग्न आकृति में, यदि TP, TO केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि angle POQ space equals space 110 degree तो angle PTQ बराबर है-
    Solution

    क्योंकि स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण 90 degree होता है।
    therefore                       angle OPT space equals space 90 degree व angle OQT space equals space 90 degree 
                              angle POQ space equals space 110 degree व angle PTQ space equals space ?
    चतुर्भुज POQT में,
                       angle PTQ plus angle OPT plus angle POQ plus angle OQT space equals space 360 degree
                                 angle PTQ plus 90 degree plus 110 degree plus 90 degree space equals space 360 degree
                                          angle PTQ plus 290 degree space equals space 360 degree
    rightwards double arrow                        angle PTQ space equals space 360 degree minus 290 degree space equals space 70 degree

    Question 9
    CBSEHHIMAH10010304
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    यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80 degree के कोण पर झुकी हों, तो angle POA बराबर है:  

    • 50°  
    • 60°
    • 70°
    • 80°

    Solution

    A.

    50°  

    ΔPOA और ΔPOB में, 
    PA = PB  (बाह्य बिंदु से समान स्पर्श रेखाएँ)
    OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)
    और    OP = OP (उभयनिष्ठ)
    ∴        ΔPOA ≅ ΔPOB (SSS सर्वांगसमता)
    ⇒        angle OPA space equals space angle OPB  
    ⇒        angle OPA space equals space angle OPB space equals space 1 half cross times 80 degree space equals space 40 degree

    हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90° का कोण होता है।
    ∴       angle OAP space equals space 90 degree
    अब ΔOAP में,
    angle OAP plus angle OPA plus angle POA space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space 90 degree space plus space 40 degree space plus space angle POA space equals space 180 degree rightwards double arrow space 130 degree space plus space angle POA space equals space 180 degree rightwards double arrow space space space space space space angle POA space equals space 50 degree

     

     

    Question 10
    CBSEHHIMAH10010305
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    सिद्ध कीजिए की किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
    Solution

    माना AB और CD स्पर्श रेखा वृत्त को P तथा Q पर स्पर्श करती हैं।


    हम जानते हैं की स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या लम्बवत्त होते हैं।  
    ∴  angle APQ = 90°    ....(i)
    और  angle PQD space equals space 90 degree  ...(ii)
    समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) के प्रयोग से,
    angle APQ space equals space angle PQD [∵ वैकल्पिक आंतरिक कोण]
    ∴ AB || CD.

    Question 11
    CBSEHHIMAH10010306
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    सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त से होकर जाता है। 
    Solution

    माना AMB तथा CND दो समांतर स्पर्श रेखाएँ है जो O केंद्र वाले वृत्त को M तथा N पर स्पर्श करती हैं। OP || AB खींचें।
    अब, AM || PO
    ⇒ angle AMO plus angle POM space equals space 180 degree
    (क्रमागत आंतरिक कोण है)
    rightwards double arrow space 90 degree space plus space angle POM space equals space 180 degree rightwards double arrow space angle POM space equals space 90 degree
    इसी प्रकार, angle PON space equals space 90 degree
    therefore space space angle POM space plus space angle PON space equals space 90 degree space plus space 90 degree space equals space 180 degree
    अत: स्पर्श रेखा पर खींचा गया MON लंब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।

    Question 12
    CBSEHHIMAH10010307
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    एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
    Solution

    हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या लम्बवत्त होते हैं।
    therefore      angle OPQ space equals space 90 degree
    दिया गया हैं OQ = 5 cm
                  PQ = 4 cm

    समकोण ΔOPQ में,
    OQ2 = OP2 + PQ2
    [पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से] 
    OP2 = OQ2 – PQ2
    ⇒ OP2 = (5)2 – (4)2
    = 25 – 16 = 9
    ⇒ OP = 3 cm
    अत: वृत्त की त्रिज्या = 3 cm

    Question 13
    CBSEHHIMAH10010308
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    दो सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5cm तथा 3cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।   
    Solution

    माना, दिए गए दो सकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र O है तथा PQ बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु M पर स्पर्श करती है।
    OP तथा OM को मिलाओ।
    हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और त्रिज्या परस्पर लम्बवत्त होती है।
                         



    ∴         angle OMP space equals space 90 degree
    अब, समकोण ΔOMP में, 
    OP2 = OM2 + PM2
    [पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से]
    ⇒ (5)2 = (3)2 + PM2
    ⇒ 25 = 9 + PM2
    ⇒ PM2 = 16
    ⇒ PM = 4 cm
    PM = MQ = 4 cm
    ∴ PQ = 2 PM = 2 x 4 = 8 cm
    अत: जीवा AB की लंबाई = 8 cm

    Question 14
    CBSEHHIMAH10010309
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    एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज खींचा गया है (देखिए सलंग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए:
    AB + CD = AD + BC.
    Solution
    हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं:  

    ∴                AP = AS    ...(i)
                     BP = BQ    ...(ii)
                     CR = CQ    ...(iii)
    और             DR = DS    ...(iv)
    समीकरण (i), (ii), (iii), व (iv) को जोड़ने पर 
    AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
    ⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
    ⇒ AB + CD = AD + BC
    अत: AB + CD = BC + DA.

    Question 15
    CBSEHHIMAH10010310
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    सलंग्न आकृति में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि angle AOB space equals space 90 degree है।
    Solution
    दिया है: XY और X'Y' केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा स्पर्श बिंदु C वाली एक अन्य स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। OAऔर OB को मिलाने पर angle AOB प्राप्त होता है। 
    सिद्ध करना है: angle AOB space equals space 90 degree
    रचना - O और C को मिलाइए। इसी प्रकार स्पर्श रेखाओं XY और X'Y' के स्पर्श बिंदु P और Q को O से मिलाएँ। 
    प्रमाण: क्योंकि XY स्पर्श रेखा है और OP एक त्रिज्या है।
    ∴                 angle OPA space space equals space 90 degree                            ...(i)
    इसी प्रकार, AB स्पर्श रेखा है और OC एक त्रिज्या है।
     ∴               angle OCA space equals space 90 degree                              ...(ii)
    अब समकोण increment OPA और समकोण increment OCA में,
                                   AP = PC   (बाह्य बिंदु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
                             angle OPA space equals space angle OCA                 (प्रत्येक 90 degree)
                                 OA  = OA                      (उभयनिष्ठ)
    अत:                increment OPA space approximately equal to space increment OCA              (समकोण-कर्ण भुजा सर्वांगसम नियम से)
    rightwards double arrow                     angle POA space equals space angle COA                    ...(iii)
    इसी प्रकार            angle QOB space equals space angle COB                      ...(iv)
    समीकरण (iii) व (iv) से,
               angle POA plus angle QOB space equals space angle COA plus angle COB space equals space 1 half cross times 180 degree [∵ POQ एक सरल रेखा है]
    rightwards double arrow space space space space angle COA plus angle COB space equals space 90 degree rightwards double arrow space space space space space space space space space space space angle AOB space equals space 90 degree 

               
     
     
    Question 16
    CBSEHHIMAH10010311
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    सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
    Solution
    दिया है:  एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु P से PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। 
    सिद्ध करना है: angle APB plus angle AOB space equals space 180 degree
    रचना: A व B को वृत्त के केंद्र O से मिलाओ।
    प्रमाण: क्योंकि PA स्पर्श रेखा है और त्रिज्या है।
    therefore                    OA perpendicular PA
    rightwards double arrow                   angle PAO space equals space 90 degree          ...(i)
    इसी प्रकार,          angle PBO space equals space 90 degree          ...(ii)
    चतुर्भुज PAOB में,
                  angle APB space plus space angle PAO space plus space angle AOB space plus space angle PBO space equals space 360 degree space space space space space space space space angle APB space plus space 90 degree space plus space angle AOB space plus space 90 degree space equals space 360 degree
    rightwards double arrow                angle AOB space plus space angle APB space equals space 360 degree minus 90 degree minus 90 degree space equals space 180 degree
    अत: एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच कोण का स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपर्क होता है।


      

    Question 17
    CBSEHHIMAH10010312
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    सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।  
    Solution
    माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज हैं जिसकी चारों भुजाएँ एक वृत्त को जिसका केंद्र O हैं EFGH बिंदुओं पर स्पर्श  करती हैं। 

    हम जानते हैं कि किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती है।
    ∴    AE = AH    ...(i)   [बिंदु Aसे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
         BE = BF    ....(ii)  [बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
         CG = CF    ...(iii) [बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
    और    DG = DH    ....(iv) [बिंदु D से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
    समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
    AE + BE + GC + DG = AH + BF + CF + DH
    ⇒ (AE + BE) + (GC + DG)
    = (AH + DH) + (BF + CF)
    ⇒ AB + CD = AD + BC
    ⇒    2 AB = 2BC
    या       AB = BC
    इसलिए समानांतर चतुर्भुज ABCD में AB = BC = CD = AD
    अत:  ABCD एक समचतुर्भुज है। 

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    Question 18
    CBSEHHIMAH10010313
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    4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमश: 8cm और 6cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

      
    Solution

    माना, increment ABC का अंत: केंद्र O इस प्रकार है कि-
                     OD = OE = OF = 4 cm
                          BD = BE = 8 cm        (बाह्य बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ)
                          CD = CF = 6cm         (बाह्य बिंदु C से स्पर्श रेखाएँ)
    माना          AF = AE = x cm               (बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

    अब 
                       AB = AE + BE = (x+8) cm
                       AC = AF + CF = (x+6) cm
                       BC = CD + BD = 6 + 8 = 14 cm
    अब increment ABC thin space में,
                         straight S space equals space fraction numerator 14 plus left parenthesis straight x plus 6 right parenthesis plus left parenthesis straight x plus 8 right parenthesis over denominator 2 end fraction
                           equals space fraction numerator 2 straight x plus 28 over denominator 2 end fraction space equals space straight x plus 14  
    त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 

    equals square root of straight s open parentheses straight s minus straight a close parentheses left parenthesis straight s minus straight b right parenthesis left parenthesis straight s minus straight c right parenthesis end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals square root of left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus 14 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus straight x minus 8 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus straight x minus 6 right parenthesis end root equals square root of straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis left parenthesis 6 right parenthesis left parenthesis 8 right parenthesis end root equals square root of 48 straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space... left parenthesis straight i right parenthesis
    परन्तु, increment ABC का क्षेत्रफल  = left parenthesis increment BOC plus increment AOC plus increment AOB right parenthesis का क्षेत्रफल, 
    equals 1 half straight x space BC space straight x space OD space plus space 1 half straight x space AC space straight x space OE space plus 1 half straight x space AB space straight x space OF
    equals space 1 half cross times 14 cross times 4 plus 1 half cross times left parenthesis straight x plus 8 right parenthesis cross times 4 plus 1 half cross times left parenthesis straight x plus 6 right parenthesis cross times 4
    = 28 + 2 (x + 8) + 2 (x + 6)
    = 28 + 2x + 16 + 2x + 12
    = 4x + 56                                                ...(ii)
    समीकरण (i) व (ii) की तुलना से'
            square root of 48 straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis end root space equals space 4 straight x space plus space 56
    दोनों ओर का वर्ग करने पर, 
          48x (x + 14) = (4x + 56 )2    
    rightwards double arrow  48x (x + 14) = (4 (x + 14)]2 
    rightwards double arrow  48x (x + 14) = 16 (x + 14)]2 
    rightwards double arrow   3x (x + 14) = (x + 14)2 
    rightwards double arrow  3x (x + 14) - (x + 14)2  = 0
    rightwards double arrow space (x + 14) [3x - (x + 14)] = 0
    rightwards double arrow   3x - x - 14 = 0
    rightwards double arrow   2x - 14 = 0
    rightwards double arrow          2x = 14
    rightwards double arrow            x = 7
    अत:         AB = x + 8 = 7 + 8  = 15 cm
                   AC = x + 6 = 7 + 6  = 13 cm

    Question 19
    CBSEHHIMAH10010314
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
    Solution

    दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है जोकि एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और को क्रमश: बिंदुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।
    सिद्ध करना है: angle AOB space plus space angle COD space equals space 180 degree
    angle AOD plus angle BOC equals space space 180 degree

    रचना: OP, OQ, OR तथा OS को मिलाइए।  
    प्रमाण: हम जानते हैं की बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। 
    ∴   angle 1 space equals space angle 2 comma space angle 3 space equals space angle 4 comma space angle 5 space equals space angle 6 comma space angle 7 space equals space angle 8
    हम जानते हैं कि बिंदु O पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है। 
    angle 1 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 4 plus angle 5 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 8 space equals space 360 degree
    या      angle 2 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 7 space equals space 360 degree
    rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 2 left parenthesis angle 2 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 7 right parenthesis space equals space 360 degree
    rightwards double arrow space space space space space angle 2 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 7 space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space space space left parenthesis angle 6 plus angle 7 right parenthesis space plus space left parenthesis angle 2 plus angle 3 right parenthesis space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space space angle AOB space plus space angle COD space equals space 180 degree
    इसी प्रकार,
                   angle AOD space plus space angle BOC space equals space 180 degree
                       



    Question 20
    CBSEHHIMAH10010467
    Wired Faculty App

    एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए की उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो। 
    Solution

    दी गई रेखा l के समांतर दो रेखाएँ m और n खींचिए। अब रेखाओं l, m और n से एक लंब xy खींचिए। रेखाखंड xy पर एक बिंदु O तथा रेखा m पर बिंदु P लीजिए। O केंद्र तथा OP को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए जो n को Q तथा R पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार m स्पर्श रेखा तथा n छेदक रेखा होगी।
          

    Question 26
    CBSEHHIMAH10010514
    Wired Faculty App

    O केंद्र वाले वृत्त पर एक बाह्म बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिध्द कीजिए कि angle space PTQ space equals space 2 angle space OPQ 
    Solution

    दिया है : TP और TQ एक सर्कल की दो स्पर्शरेखाएँ हैं। केंद्र O और P और Q संपर्क के बिंदु हैं। 
    सिद्ध करना : ∠PTQ=2∠OPQ
    मान लीजिए, ∠PTQ=θ
    अब प्रमेय के अनुसार, "एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त में खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई बराबर होती है"
    इसलिए, TPQ एक आइसोकेलस त्रिकोण है।
    angle TPQ space equals space angle TQP space equals space begin inline style 1 half end style space left parenthesis 180 degree space minus space straight theta right parenthesis space equals space 90 degree space minus space begin inline style straight theta over 2 end style
    इसके अलावा प्रमेय के अनुसार "किसी भी बिंदु के स्पर्शरेन्ट त्रिज्या के संपर्क के बिंदु से लंबवत हैं" ∠OPT = 90 °,
    अतः, 
    ∠OPQ=∠OPT−∠TPQ
    equals space 90 degree space minus space left parenthesis 90 degree space minus space begin inline style 1 half end style straight theta right parenthesis equals space begin inline style 1 half end style straight theta equals space begin inline style 1 half end style angle PTQ space अत colon comma space angle PTQ space equals space 2 angle OPQ space

    Question 27
    CBSEHHIMAH10010532
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए कि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है
    Solution

    O में केंद्रित एक वृत्त खींचे
    Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a c
    ΔOPR और ΔOQR में,
    OP=OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्या है)
    ∠OPR =∠OQR (PR और QR बाह्य बिंदु R से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा)
    OR=OR (सामान्य पक्ष)
    ∆OPR ≅ ∆OQR (By R.H.S)∴ PR = QR (C.P.C.T)
    इस प्रकार,एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है

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