O केंद्र वाले वृत्त पर एक बाह्म बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिध्द कीजिए कि $angle space PTQ space equals space 2 angle space OPQ$

Solution

दिया है : TP और TQ एक सर्कल की दो स्पर्शरेखाएँ हैं। केंद्र O और P और Q संपर्क के बिंदु हैं।
सिद्ध करना : ∠PTQ=2∠OPQ
मान लीजिए, ∠PTQ=θ
अब प्रमेय के अनुसार, "एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त में खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई बराबर होती है"
इसलिए, TPQ एक आइसोकेलस त्रिकोण है।

angle TPQ space equals space angle TQP space equals space begin inline style 1 half end style space left parenthesis 180 degree space minus space straight theta right parenthesis space equals space 90 degree space minus space begin inline style straight theta over 2 end style

इसके अलावा प्रमेय के अनुसार "किसी भी बिंदु के स्पर्शरेन्ट त्रिज्या के संपर्क के बिंदु से लंबवत हैं" ∠OPT = 90 °,
अतः,
∠OPQ=∠OPT−∠TPQ

equals space 90 degree space minus space left parenthesis 90 degree space minus space begin inline style 1 half end style straight theta right parenthesis equals space begin inline style 1 half end style straight theta equals space begin inline style 1 half end style angle PTQ space अत colon comma space angle PTQ space equals space 2 angle OPQ space

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एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज खींचा गया है (देखिए सलंग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए:
AB + CD = AD + BC.

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