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गणित Chapter 2 बहुपद

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    NCERT Solution For Class 10 गणित गणित

    बहुपद Here is the CBSE गणित Chapter 2 for Class 10 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 10 गणित बहुपद Chapter 2 NCERT Solutions for Class 10 गणित बहुपद Chapter 2 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 10 गणित.

    Question 1
    CBSEHHIMAH10009843
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    किसी बहुपद p(x) के लिए y = P(x) का ग्राफ आकृति में दिया हैl प्रत्येक स्थिति में, P(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिएl

    Solution

    (i) क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता, इसलिए यहाँ पर कोई शून्यक नहीं हैl
    (ii) शून्यक की संख्या 1 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता हैl
    (iii) शून्यक की संख्या 3 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 3 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl
    (iv) शून्यक की संख्या 2 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 2 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl
    (v) शून्यक की संख्या 4 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 4 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl
    (vi) शून्यक की संख्या 3 है, क्योंकि यहाँ पर ग्राफ x-अक्ष को केवल 3 बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता हैl

    Question 2
    CBSEHHIMAH10009847
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    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की  सत्यता की जाँच कीजिए:

     space straight x squared space minus space 2 straight x space minus space 8

    Solution

      space straight x squared space minus space 2 straight x space minus space 8 space equals space straight x squared space minus space 4 straight x space plus space 2 straight x space minus space 8
      space equals space left parenthesis space straight x space minus space 4 space right parenthesis space left parenthesis space straight x space plus space 2 space right parenthesis
    अत; बहुपद x2 – 2x - 8  x = 4 or x = –2.
    Therefore, the zeroes of x2 – 2x – 8 के शून्यक 4 और - 2 है
    शुन्यकों का योग = (4) + (-2)
     equals space 2 over 1 space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space x space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis over denominator left parenthesis space x squared space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis end fraction
      2 = 2
    शुन्यकों का गुणनफल = (4) x (-2)
      equals space fraction numerator negative 8 over denominator 1 end fraction space equals space fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator x squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction.
       - 8 = - 8

    Question 3
    CBSEHHIMAH10009850
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    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की  सत्यता की जाँच कीजिए:

     4 straight s squared minus 4 straight s plus 1

    Solution
    4s2 – 4s + 1 = 4s2 – 2s –2s + 1
    = 2s ( 2s - 1 ) - 1 ( 2s - 1 )
    = (2s–1)(2s– 1)
     straight s equals 1 half space और space straight s equals 1 half
    अत: 1 half space और space 1 half  दिए हुए बहुपद के शून्यक हैl
    शुन्यकों का योग = 1 half space plus space 1 half space equals space fraction numerator 1 space equals space 1 over denominator 2 end fraction space equals space 2 over 2
     equals space 1 over 1 space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space s space क ा space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis over denominator left parenthesis space straight s squared space क ा space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis end fraction  = 4 over 4 space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 4 space right parenthesis over denominator 4 end fraction space equals space 4 over 4
    शुन्यकों का गुणनफल  = 1 half space cross times space 1 half space equals space 1 fourth 
    equals space fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator straight s squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction space equals space 1 fourth space equals space 1 fourth
    Question 4
    CBSEHHIMAH10009854
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    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए:

    6x2 - 3 - 7x
    Solution

    6x2 – 7x – 3 = 6x2 – 9x + 2x – 3
    = 3 x ( 2x – 3 ) + 1 ( 2x – 3 )
    = (3x + 1) (2x – 3 )
      straight x space equals space minus space 1 third space और space straight x space equals space 3 over 2
    अत: दिए गए बहुपद के शून्यक है  negative space 1 third space comma space 3 over 2
    शुन्यकों का योग = fraction numerator negative space 1 over denominator 3 end fraction space plus space 3 over 2 space equals space fraction numerator negative space 2 space plus space 9 over denominator 6 end fraction space equals space 7 over 6
     equals space fraction numerator negative space left parenthesis space straight x space क ा space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis over denominator left parenthesis space straight x squared space क ा space क ा space ग ु ण ां क space right parenthesis end fraction space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 7 space right parenthesis over denominator 6 end fraction space equals space 7 over 6

    शुन्यकों का गुणनफल = fraction numerator negative space 1 over denominator 3 end fraction space cross times space 3 over 2 space equals space fraction numerator negative space 3 over denominator 6 end fraction

    = fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator straight x squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction
    Question 5
    CBSEHHIMAH10009856
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    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की  सत्यता की जाँच कीजिए:

    4u2 8u = 0
    Solution

    4u2 + 8u = 4u ( u + 2 )
     
    4u = 0 , u + 2 = 0
    तो, u = 0 , - 2
    अत; दिए गए बहुपद के शून्यक हैं 0 और - 2
    शुन्यकों का योग = 0 + (-2) = fraction numerator negative space 2 over denominator 1 end fraction = fraction numerator negative space 8 over denominator 4 end fraction
    equals space fraction numerator straight u space क ा space ग ु ण ां क over denominator straight u squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction
    शुन्यकों का गुणनफल = 0 ( - 2 ) = 0 over 1
    = fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator straight u squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction

    Question 6
    CBSEHHIMAH10009859
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    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की  सत्यता की जाँच कीजिए:

    t2 - 15
    Solution

    straight t squared space minus space 15 space equals space left parenthesis space straight t space right parenthesis squared space minus space left parenthesis space square root of 15 space right parenthesis squared space space space equals space left parenthesis space straight t space plus space square root of 15 space right parenthesis space left parenthesis space straight t space minus space square root of 15 space right parenthesis equals space straight t space equals space minus space square root of 15 comma space square root of 15

    अत: दिए गए बहुपद के शून्यक है negative square root of 15 space और space square root of 15.
    शुन्यकों का योग = open parentheses space minus space square root of 15 space close parentheses space plus space open parentheses space square root of 15 space close parentheses
    equals space 0 over 1 space equals space fraction numerator straight t space क ा space ग ु ण ां क over denominator straight t squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction space equals space 0 over 1
    शुन्यकों का गुणनफल = open parentheses space minus space square root of 15 space close parentheses space cross times space open parentheses space square root of 15 space close parentheses space equals space minus space square root of 15
    = equals space fraction numerator negative space 15 over denominator 1 end fraction space equals space fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator t squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction

    Question 7
    CBSEHHIMAH10009862
    Wired Faculty App

    निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की  सत्यता की जाँच कीजिए:

    3x2 - x - 4
    Solution

    3x2 – x – 4 = 3x2 – 4x + 3x – 4
    = x ( 3x – 4 ) + 1 ( 3x – 4 )
    = ( x+ 1 ) ( 3x – 4 )
    straight x space equals space minus space 1 और straight x space equals space 4 over 3
    शुन्यकों का योग = negative space 1 space plus space 4 over 3 space equals space fraction numerator negative space 3 space plus space 4 over denominator 3 end fraction space equals space 1 third
    = fraction numerator straight x space क ा space ग ु ण ां क over denominator straight x squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 1 space right parenthesis over denominator 3 end fraction space equals space 1 third
    शुन्यकों का गुणनफल = negative space 1 space cross times space 4 over 3 space equals space minus space 4 over 3
    equals space fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator straight x squared space क ा space ग ु ण ां क end fraction space equals space fraction numerator negative space 4 over denominator 3 end fraction

    Question 8
    CBSEHHIMAH10009864
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    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:


    1 fourth comma space minus space 1

    Solution
    माना द्विघात बहुपद है: ax2 + bx + c, और इसके शून्यक α और β है तब,
     straight alpha space plus space straight beta space equals space 1 fourth space rightwards double arrow space fraction numerator negative space straight b over denominator straight a end fraction space equals space 1 fourth space rightwards double arrow space straight a space equals space minus space 4 straight b
    और αβ space equals space minus space 1 space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space minus space 1 space rightwards double arrow space straight c space equals space minus space straight a
    यदि straight a space equals space 1 comma space तब space straight b space equals space minus space 1 fourth space और space straight c space equals space minus space 1
    इसलिए, एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्याओं के अनुरूप है:
    straight x squared space minus space 1 fourth straight x space minus space 1 space य ा space 4 straight x squared space minus space straight x space minus space 4
    Question 9
    CBSEHHIMAH10009868
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    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:

    square root of 2 comma space 1 third

    Solution
    माना द्विघात बहुपद है: ax2 +bx + c, और इसके शून्यक α और β hai तब,
    straight alpha space plus space straight beta space equals space square root of 2 space rightwards double arrow space minus space straight b over straight a space equals space square root of 2 space rightwards double arrow space minus space straight b space equals space straight a. square root of 2
    और αβ space equals space 1 third space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space 1 third space rightwards double arrow space straight a space equals space 3 straight c
    और straight a space equals space 1 comma space तब space straight b space equals space minus space square root of 2 space और space straight c space equals space 1 third
    इसलिए, एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्या के अनुरूप है:
    straight x squared space minus space square root of 2 straight x space plus space 1 third space य ा space 3 straight x squared space minus space 3 square root of 2 straight x space plus space 1
    Question 10
    CBSEHHIMAH10009870
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    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:

    0 comma space square root of 5

    Solution

    माना द्विघात बहुपद है: ax2 + bx + c, और इसके शून्यक α और β हैं, तब
    straight alpha space plus space straight beta space equals space 0 space rightwards double arrow space minus space straight b over straight a space equals space 0 space rightwards double arrow space minus space straight b space equals space 0
    और αβ space equals space square root of 5 space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space square root of 5 space rightwards double arrow space straight c space equals space straight a. square root of 5
    यदि straight a space equals space 1 comma space तब space straight b space equals space 0 space और space straight c space equals space square root of 5
    इसलिए एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्या क अनुरूप है:
    straight x squared space plus space 0. straight x space plus space square root of 5 space य ा space straight x squared space plus space square root of 5

    Question 11
    CBSEHHIMAH10009872
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    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:

    1, 1
    Solution
    माना द्विघात बहुपद है: ax2 +bx + c, और इसके शून्यक α और β, तब
    straight alpha space plus space straight beta space equals space 1 space rightwards double arrow space minus space straight b over straight a space equals space 1 space rightwards double arrow space minus space straight b space equals space straight a
    और αβ space equals space 1 space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space 1 space rightwards double arrow space straight c space equals space straight a
    यदि a = 1, तब b = –1 और c = 1.

    इसलिए एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्या क अनुरूप है:
    x2 – x + 1

    Question 12
    CBSEHHIMAH10009873
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    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:

      negative space 1 fourth comma space 1 fourth

    Solution

    माना द्विघात बहुपद है: ax2 +bx + c, और इसके शून्यक α और β, तब
    straight alpha space plus space straight beta space equals space minus space 1 fourth space rightwards double arrow space fraction numerator negative space straight b over denominator straight a end fraction space equals space minus space 1 fourth space rightwards double arrow space straight b space equals space minus space 1 fourth straight a
    और αβ space equals space 1 fourth space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space 1 fourth space rightwards double arrow space straight c space equals space 1 fourth straight a
    यदि a = 1, तब straight b space equals space 1 fourth space और space straight c space equals space 1 fourth
    इसलिए एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्या क अनुरूप है:
      straight x squared space plus space 1 fourth straight x space plus space 1 fourth space य ा space 4 straight x squared space plus space straight x space plus space 1

    Question 13
    CBSEHHIMAH10009874
    Wired Faculty App

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ है:

    4, 1
    Solution
    माना द्विघात बहुपद है: ax2 + bx + c, और इसके शून्यक α और β, तब
    straight alpha space plus space straight beta space equals space 4 space rightwards double arrow space fraction numerator negative space straight b over denominator straight a end fraction space equals space 4 space rightwards double arrow space minus space straight b space equals space 4 straight a
    और αβ space equals space 1 space rightwards double arrow space straight c over straight a space equals space 1 space rightwards double arrow space straight c space equals space straight a
    यदि a = 1, तब b = –4 और c = 1

    इसलिए एक द्विघात बहुपद जो दी गई संख्या क अनुरूप है:
    x2 – 4x + 1

    Question 14
    CBSEHHIMAH10009876
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    विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में से p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए:
    p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

    Solution

    यहाँ आकर हम रुक गए, क्योंकि शेष पद की घात भाजक की घात से कम रह गईl अत: यहाँ पर भागफल = x - 3 और शेषफल = 7x - 9 हैl
    Question 15
    CBSEHHIMAH10009877
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    विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में से p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए:

    p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

    Solution

    यहाँ आकर हम रुक गए, क्योंकि शेष पद की घात भाजक की घात से कम रह गईl अत: यहाँ पर भागफल = ( x2 + x - 3 ) और शेषफल = 8 हैl
    Question 16
    CBSEHHIMAH10009879
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    विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में से p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए:

    p(x) = x    4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

    Solution

    यहाँ आकर हम रुक गए, क्योंकि शेष पद की घात भाजक की घात से कम रह गईl अत: यहाँ पर भागफल = - ( x + 2 ) और शेषफल = ( - 5 + 10 ) हैl

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    Question 18
    CBSEHHIMAH10009882
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    पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड हैl

    x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

    Solution

    यहाँ पर शेषफल शून्य है, अत: ( x2 + 3x + 1 ), ( 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 ) का एक गुणनखंड हैl
    Question 19
    CBSEHHIMAH10009883
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    पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड हैl

    x3 – 3x + 1, x5 –4x3 + x2 + 3x + 1

    Solution

    यहाँ पर शेषफल शून्य नहीं है, अत: ( x3 – 3x + 1 0, ( x5 –4x3 + x2 + 3x + 1 ) का एक गुणनखंड नहीं हैl
    Question 20
    CBSEHHIMAH10009885
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    3x4 + 6x3 – 2x2 - 10x - 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक

    square root of 5 over 3 end root space और space minus space square root of 5 over 3 end root हैंl

    Solution

    दिया है: straight p left parenthesis straight x right parenthesis space equals space 3 straight x to the power of 4 space plus space 6 straight x cubed space minus space 2 straight x squared space minus space 10 straight x space minus space 5 और straight alpha space equals space square root of 5 over 3 end root comma space space space space straight beta space equals space minus space square root of 5 over 3 end root
    ∵      दो शून्यक है square root of 5 over 3 end root space और space minus space square root of 5 over 3 end root
    open parentheses space straight x space minus space square root of 5 over 3 end root space close parentheses space open parentheses space straight x space plus space square root of 5 over 3 end root space close parentheses space equals space open parentheses space straight x squared space minus space 5 over 3 space close parentheses दिए हुए बहुपद p(x) का एक गुणनखंड हैl

    3 straight x to the power of 4 space plus space 6 straight x cubed space minus space 2 straight x squared space minus space 10 straight x space minus space 5 space equals space open parentheses space straight x squared space minus space 5 over 3 space close parentheses left parenthesis space 3 straight x squared space plus 6 straight x space plus space 3 space right parenthesis space plus space 0 space equals space open parentheses space straight x squared space minus space 5 over 3 space close parentheses left curly bracket space 3 straight x squared space plus space 3 straight x space plus space 3 straight x space plus space 3 space right curly bracket space equals space open parentheses space straight x squared space minus space 5 over 3 space close parentheses left curly bracket space 3 straight x space left parenthesis space straight x space plus space 1 space right parenthesis space plus space 3 space left parenthesis space straight x space plus space 1 space right parenthesis space equals space open parentheses straight x squared space minus space 5 over 3 space close parentheses left parenthesis space 3 straight x space plus space 3 space right parenthesis left parenthesis space straight x space plus space 1 space right parenthesis
    ( 3x + 3 )( x + 1 ) = 3 ( x + 1 )( x + 1)
    शून्यक: x = -1, -1
    अत दिए हुए चतुर्थ घात बहुपद के शून्यक हैं:
    square root of 5 over 3 end root comma space minus space square root of 5 over 3 end root comma space minus space 1 comma space minus space 1

    Question 21
    CBSEHHIMAH10009886
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    यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और –2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिएl

    Solution
    दिया है,
    भाज्य p(x) x3 – 3x2 + x + 2
    भाजक g(x) = ?, भागफल q(x) = x – 2, शेषफल r(x) = –2x + 4
    विभाजक एल्गोरिथ्म द्वारा:
    भाज्य = भागफल x भाजक + शेषफल

    g(x) = x2 - x + 1
    Question 22
    CBSEHHIMAH10009887
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    बहुपद p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए, जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा

    घात p(x) = घात q(x)

    Solution

    घात p(x) = घात q(x)
    P(x) = 2x2 - 3
    g(x) = 2
    q(x) = x2 - 1
    और r(x) = -1
    यहाँ पर  P(x) = q(x) x g(x) + r(x)

    Question 24
    CBSEHHIMAH10009889
    Wired Faculty App

    बहुपद p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए, जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा

    घात q(x) = घात r(x)

    Solution

    घात q(x) = घात r(x)
    p(x) = x - 5
    g(x) = x - 2
    q(x) = 1
    और r(x) = -3
    यहाँ पर, p(x) = q(x) X g(x) + r(x)

    Question 25
    CBSEHHIMAH10009894
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    सर्यपित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएं शून्यक हैं प्रत्येक स्थिति में शुन्यकों और गुणकों के बीच के सम्बन्ध को सत्यापित कीजिए:

    2x    3 + x2 –5x + 2; 1 half, 1,–2

    Solution
    माना p(x) = 2x3+x2–5x + 2 दिए हुए बहुपद कि ax3 + bx3 + cx + d से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
    a = 2, b = 1, c = -5, d = 2
    अब
    straight p open parentheses space 1 half space close parentheses space equals space 2 space cross times space open parentheses space 1 half space close parentheses cubed space plus space open parentheses space 1 half space close parentheses squared space minus space 5 space cross times space open parentheses space 1 half space close parentheses space plus space 2
                         equals space 2 space cross times space 1 over 8 space plus space 1 fourth space minus space 5 over 2 space plus space 2
    equals space 1 fourth space plus space 1 fourth space minus space 5 over 2 space plus space 2
    equals space fraction numerator 1 space plus space 1 space minus space 10 space plus space 8 over denominator 4 end fraction space equals space 0 over 4
    straight p left parenthesis 1 right parenthesis space equals space 2 space cross times space left parenthesis space 1 space right parenthesis cubed space plus space left parenthesis space 1 space right parenthesis squared space minus space 5 space cross times space 1 space plus space 2
    equals space 2 space plus space 1 space minus space 5 space plus space 2 space equals space 0
    और
    straight p left parenthesis 2 right parenthesis space equals space 2 space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis cubed space plus space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis squared space minus space 5 space cross times space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis space plus space 2
     equals space minus space 16 space plus space 4 space plus space 10 space plus space 2 space equals space 0
    ∴   1 half comma space 1 space और space left parenthesis space minus 2 space right parenthesis बहुपद 2 straight x cubed space plus space straight x squared space minus space 5 straight x space plus space 2 के शून्यक हैl
    अत: यह सत्यापित हुआ
    straight alpha space equals space 1 half comma space straight beta space equals space 1 space और space straight gamma space equals space minus space 2
    straight alpha space plus space straight beta space plus space straight gamma space equals space 1 half space plus space 1 space plus space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis space equals space minus space 1 half space equals space minus space straight b over straight a
    αβ space plus space βγ space plus space γα space equals space 1 half space cross times space 1 space plus space 1 space cross times space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis space plus space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis space cross times space 1 half
    equals space 1 half space minus space 2 space minus space 1 space equals space fraction numerator 1 space minus space 4 space minus space 2 over denominator 2 end fraction space equals space fraction numerator negative space 5 over denominator 2 end fraction space equals space straight c over straight a
    और  αβγ space equals space 1 half space cross times space 1 space cross times space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis space space space space space space equals space fraction numerator negative 2 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative straight d over denominator straight a end fraction    
    अत: सत्यापित हुआl
    Question 26
    CBSEHHIMAH10009901
    Wired Faculty App

    सर्यपित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएं शून्यक हैं प्रत्येक स्थिति में शुन्यकों और गुणकों के बीच के सम्बन्ध को सत्यापित कीजिए:

    x3 - 4x2 + 5x - 2;  2, 1, 1

    Solution

    माना p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2
    दिए हुए बहुपद की ax3 + bx2 + cx + d से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते है:
    a = 1,  b = - 4,  c = 5 और d = - 2
    अब,
    straight p left parenthesis space 2 space right parenthesis space equals space left parenthesis space 2 space right parenthesis cubed space minus space 4 space left parenthesis space 2 space right parenthesis squared space plus space 5 space cross times space left parenthesis space 2 space right parenthesis space minus space 2 space space space space space space space space space equals space 8 space minus space 16 space plus space 10 space minus space 2 space equals space 18 space minus space 18 space equals space 0
    और 
    straight P left parenthesis space 1 space right parenthesis space equals space left parenthesis space 1 space right parenthesis cubed space minus space 4 space cross times space left parenthesis space 1 space right parenthesis squared space plus space 5 space cross times space 1 space minus space 2 space space space space space space space space space equals space 1 space minus space 4 space plus space 5 space minus space 2 space equals space 6 space minus space 6 space equals space 0
    ∴    2, 1, 1 बहुपद ( x3 - 4x2 + 5x - 2 ) के शून्यक है
    अत: सत्यापित हुआ

     straight alpha space equals space 2 comma space straight beta space equals space 1 space और space straight gamma space equals space 1
    straight alpha space plus space straight beta space plus space straight gamma space equals space 2 space plus space 1 space plus space 1 space equals space 4 space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 4 space right parenthesis over denominator 1 end fraction space equals space fraction numerator negative space straight b over denominator straight a end fraction
    αβ space plus space βγ space plus space γα space equals space 2 space cross times space 1 space plus space 1 space cross times space 1 space plus space 1 space cross times space 2
    equals space 2 space plus space 1 space plus space 2 space equals space 5 over 1 space equals space straight c over straight a
    और αβγ space equals space 2 space cross times space 1 space cross times space 1 space equals space 2 space equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 2 space right parenthesis over denominator 1 end fraction space equals space fraction numerator negative space straight d over denominator straight a end fraction
     अत: सत्यापित हुआl

    Question 27
    CBSEHHIMAH10009902
    Wired Faculty App

    एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शुन्यकों का योग, दो शून्यक को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शुन्यकों के गुणनफल क्रमश: 2, - 7, - 14 होंl

    Solution
    माना α, β, ϒ त्रिघात बहुपद ( ax3 + bx2 + cx + d ) के शून्यक हैंl तब,
    straight alpha space plus space straight beta space plus space straight gamma space equals space fraction numerator negative space straight b over denominator straight a end fraction space equals space 2 over 1
    αβ space plus space βγ space plus space γα space equals space straight c over straight a space equals space fraction numerator negative space 7 over denominator 1 end fraction
    αβγ space equals space fraction numerator negative space straight d over denominator straight a end fraction space equals space fraction numerator negative space 14 over denominator 1 end fraction
    यदि a = 1, तब b = – 2, c = – 7, d = 14
    इसलिए एक त्रिघात बहुपद जो दिए हुए प्रतिबन्धों के अनुरूप है:
    x3 – 2x2 – 7x + 14
    Question 28
    CBSEHHIMAH10009906
    Wired Faculty App

    यदि बहुपद x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक (a – b), a, (a + b), हों तो 'a' और 'b' ज्ञात कीजिएl

    Solution
    क्योंकि a – b, a और a + b बहुपद के शून्यक है
    rightwards double arrow space space space space space straight a space minus space straight b space plus space straight a space plus space straight a space plus space straight b space equals space minus space fraction numerator straight x squared space क े space ग ु ण ां क over denominator straight x cubed space क े space ग ु ण ां क end fraction
    equals space fraction numerator negative space left parenthesis space minus space 3 space right parenthesis over denominator 1 end fraction
    rightwards double arrow 3 straight a space equals space 3 space rightwards double arrow space straight a space equals space 1
    rightwards double arrow ( a - b ) a ( a + b ) =negative space fraction numerator स ् थ ि र ां क over denominator straight x cubed space क े space ग ु ण ां क end fraction
    equals space minus space 1 over 1
    rightwards double arrow  straight a space left parenthesis space straight a squared space minus space straight b squared space right parenthesis space equals space minus 1 space rightwards double arrow space 1 space minus space straight b squared space equals space minus 1
    rightwards double arrow straight b squared space equals space 2 space rightwards double arrow space space straight b space equals space plus-or-minus space square root of 2
    अत:,  straight a space equals space 1 comma space space straight b space equals space plus-or-minus space square root of 2
    Question 29
    CBSEHHIMAH10009908
    Wired Faculty App

    यदि बहुपद x4 – 26x3 - 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± square root of 3, हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिएl

    Solution
    क्योंकि दो शून्यक दिए हैं 2 space plus space square root of 3 space और space 2 space minus space square root of 3
    ∴     open curly brackets space straight x space minus space left parenthesis space 2 space plus space square root of 3 space right parenthesis space close curly brackets space open curly brackets space straight x space minus space left parenthesis space 2 space minus space square root of 3 space right parenthesis space close curly brackets
    equals space left parenthesis space straight x space minus space 2 space minus space square root of 3 space right parenthesis space left parenthesis space straight x space minus space 2 space plus space square root of 3 space right parenthesis
    equals space left parenthesis space straight x space minus space 2 space right parenthesis squared space minus space left parenthesis space square root of 3 space right parenthesis squared
    equals space straight x squared space minus space 4 straight x space plus space 1 दिए हुए बहुपद का एक गुणनखंड है
    अब हम दिए हुए बहुपद तथा ( x2 – 4x + 1 ) पर विभाजन एल्गोरिथ्म लागू करके प्राप्त करते हैl

    अब हम x2 – 2x – 35 के गुणनखंड प्राप्त करते है:
    x2 – 2x – 35 = x2 – 7x + 5x – 35
    = (x – 7) (x + 5)
    अत: दिए हुए बहुपद के दो शून्यक -5 और 7 हैंl
    Question 30
    CBSEHHIMAH10009909
    Wired Faculty App

    यदि बहुपद x4 – 6x3 + 16x2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद ( x2 - 2x + k ) से भाग दिया जाए और शेषफल ( x + a )  आता हो, तो ‘k’ तथा ‘a’ ज्ञात कीजिएl

    Solution
    विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर

    क्योंकि शेषफल ( x + a ) दिया हैl
    2k - 9 = 1 ⇒      2k = 10
                   ⇒      k = 5
    तथा     a = k2 - 8k + 10
    अब k = 5 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
    a = ( 5 )2 - 8 x 5 + 10
       = 25 - 40 + 10 = - 5
    अत:    k = 5 तथा a = - 5

    Question 31
    CBSEHHIMAH10010530
    Wired Faculty App

    यदि बहुपद (2x4 - 9x3 + 5x2 + 3x-1) के दो शून्यक ( 2 + 3) तथा ( 2 - 3) हैं तो इसके सभी । शून्यक ज्ञात कीजिए।
    Solution

    यह दिया है कि ( 2 + 3) तथा ( 2 - 3) बहुपद (2x4 - 9x3 + 5x2 + 3x-1) के  दो शून्यक हैं

    x - (2 + 3)x - (2-3 = (x-2-3)(x-2 +3)= (x-2)2 - (3)2 = x2 - 4x + 1∴ (x2- 4x + 1) गुणक  है f(x)

    आइए अब f(x) को x2-4x + 1 से विभाजित करें

    इसलिए, हमारे पास है,

     f(x) = (x2- 4x + 1)(2x2-x-1)

    इसलिए, f(x) के अन्य दो शून्य बहुपद 2x2-x-1 के शून्य हैं
    हमारे पास

    2x2-x-1 = 2x2- 2x+ x-1

    = 2x (x-1) + 1(x-1)

    = (2x+ 1)(x-1)

    f(x) = (x-2-3) (x-2 +3) (2x+1)(2x-1)

    इसलिए, अन्य दो शून्य हैं - 1/2 और 1

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