गणित Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, और b = 6
माना q भागफल है और r शेषफल हैl

विभाजन अल्गोरिथम का प्रयोग करने पर
हमें प्राप्त होता है:

सेना की टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616
आर्मी बैंड में सदस्यों की संख्या = 32

32 और 616 का यूक्लिड विभाजन के साथ HCF निकलने पर

हमें प्राप्त होता है

अब भागफल 0 हैl
इसलिए स्तंभों की संख्या 8 होगी

माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, q भागफल है, r शेषफल है
तब  a = bq + r जहाँ q और r भी धनात्मक पूर्णांक है और 0 ≤ r < b

b = 3, हमें प्राप्त होता है

a = 3q + r; जहाँ 0 ≤ r < 3

जब, r = 0 = ⇒ a = 3q

जब, r = 1 = ⇒ a = 3q + 1

जब, r = 2 = ⇒ a = 3q + 2

अब हम यह दर्शाएगें की धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3q, 3q + 1 और 3q + 2 की तरह से लिखा जा सकता है 3m or 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

⇒ 3q = (3q)²

= 9q² = 3(3q²) = 3 m जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 1 = (3q + 1)²

= 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2 q) + 1

= 3m +1, जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 2 = (3q + 2)²

= (3q + 2)²

= 9q² + 12q + 4

= 9q² + 12q + 3 + 1

= 3(3q² + 4q + 1)+ 1

= 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप में होता हैl

माना a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a बड़ा है b से
तब:
a = bq + r;
जहाँ q और r  धनात्मक पूर्णांक है 0 ≤ r < b.

b = 3, रखने पर हमें प्राप्त होता है
a = 3q + r ; जहाँ 0 ≤ r < 3.

⇒ a के अलग-अलग मान है 3q, 3q + 1 or 3q + 2.

3q का घन 3q = (3q)³

= 27q³ = 9(3q³) = 9m ;

जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 1 का घन 3q + 1 = (3q + 1)³

= (3q)³ + 3(3q)² × 1 + 3(3q) × 1² + (1)³

[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]

= 27q³ + 27q² + 9q + 1

= 9(3q³ + 3q² + q) + 1

= 9m + 1; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 2 का घन 3q + 2 = (3q + 2)³

= (3q)³ + 3(3q)² × 2 + 3 × 3q × 2² + 2³

= 27q³ + 27q² + 36q + 8

= 9(3q³ + 3q² + 4q) + 8 = 9m + 8; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो  9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होगाl

140 के गुणखणड होंगे
                           अथवा
             

इसलिए,    140 = 2 × 2 × 5 × 7

= 2² × 5 × 7.

156 के गुणनखंड होंगे
                                    अथवा
            

इसलिए,    156 = 2 × 2 × 3 × 13

= 2² × 3 × 13

3825 के अभाज्य गुणनखंड होंगे
                            अथवा  
      

इसलिए, 3825 = 3 × 3 × × 5 × 5 × 17

= 3² × 5² × 17.

5005 के गुणनखंड होंगे
                            अथवा
 

इसलिए, 5005 = 5 x 7 x 11

और       91 = 7 × 13

∴ H.C.F. (26, 91) = 13

और L.C.M. (26, 91) = 2 × 7 × 13 = 182

जाँच :
L.C.M. × H.C.F. = 182 × 13 = 2366

दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366

∴ L.C.M. × H.C.F. = दो संख्याओं का गुणनफल

इसलिए,    510 = 2 × 3 × 5 × 17
और        92 = 2 × 2 × 23
∴ H.C.F. (510, 92) = 2
और L.C.M. (510, 92) = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
जाँच :
L.C.M. × H.C.F. = 23460 × 2 = 46920
दो संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
L.C.M. × H.C.F. = दो संख्याओं का गुणनफल

इसलिए, 336 = 2⁴ × 3 × 7
और     54 = 2 × 3³
∴ H.C.F. = 2 × 3 = 6

L.C.M. = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024 = 23460

जाँच:
L.C.M. × H.C.F. = 3024 × 6 = 18144
दो संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
L.C.M. × H.C.F. = दो संख्याओं का गुणनफल

अब,    12 = 2 × 2 × 3= 2² × 3,

15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7
यहाँ, 3 सबसे छोटा उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड हैl∴ H.C.F. (12, 15, 21) = 3
और 2², 3¹, 5¹ और 7¹ अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात हैंl

∴ L.C.M. (12, 15,21)= 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹ =420.

अब, 17 = 1 × 17, 23 = 1 × 23, 29 = 1 × 29
यहाँ, 1 सबसे छोटा उभयनिष्ठ हैl
∴ H.C.F. (17, 23, 29)= 1

और 17¹, 23¹ और 29¹ अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात हैंl
∴ L.C.M. (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29 = 11339

अब,    8 = 2 × 2 × 2 = 2³,

9 = 3 × 3 = 3²
और 25 = 5 × 5 = 5²
इसलिए, यहाँ पर कोई न्यूनतम अभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैl
∴ H.C.F. (8, 9, 25) = 1.
और 2³, 3², और 5² अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात हैl

∴ L.C.M. (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5² = 1800

यदि 6ⁿ, , शून्य अंक पर समाप्त होता है तो वह 5 से विभाज्य होगा अर्थात 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड अभाज्य संख्या 5 होगी यह सम्भव नहीं है, क्योंकि 6 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं और अंक गणित कि आधार भूत प्रमेय द्वारा 6ⁿ के अद्वितीय गुणनखंड इनके अतिरिक्त और गुणनखंड नहीं हो सकतेl
अत: 6 शून्य अंक पर समाप्त नहीं हो सकता जहाँ 

कोई भी धनात्मक संख्या जिसके दो से ज्यादा गुणनखंड बनते है वह भाज्य संख्या होती है
7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1)

= 13 × 78

= 13 × 13 × 3 × 2

दी गई संख्या के दो से ज्यादा गुणनखंड है इसलिए यह एक भाज्य संख्या है

इसी तरह,
7 × 6 × 5 × 4 × 3 + 5

= 5 × (7 × 6 × 4 × 3 x 2 + 1)

= 5 × 1009

⇒ दी गई संख्या भाज्य संख्या है क्योंकि इसके दो से ज्यादा गुणनखंड बनते हैl

हम 18 और 12 का LCM ज्ञात करते हैl
हम प्राप्त करते है

18 = 2 × 3²
और 12 = 2² × 3
∴ 18 और 12 का LCM है 2² × 3² = 36.

अत: प्रांरभिक स्थान पर वे 36 मिनट बाद मिलेंगेl

समीकरण (ii) में a का मान रखने पर
हम प्राप्त करते है,
     5b² = 25c²
⇒    b² = 5c²
⇒ 5, b² को विभाजित करता हैl
⇒ 5, b को विभाजित करता हैl        ......(iii)
(ii) और (iii) से, हम देखते हैं कि a और b का 1 उभयनिष्ठ गुणनखंड हैl परन्तु यह हमारी कल्पना के विपरीत है कि a और b सह-अभाज्य हैंl अत:  एक अपरिमेय संख्या हैl

         .....[ हर का प्रिमीकरण करने पर ]
माना कि  एक परिमेय संख्या हैl
अब हम दी सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (≠ 0) ज्ञात कर सकते है ताकि

क्योंकि 'a' और 'b' पूर्णांक है,
  एक परिमेय संख्या हैl
इसलिए  अपरिमेय है
इसलिए हम कह सकते है कि  एक अपरिमेय है

माना कि  एक परिमेय संख्या है
अर्थात हम सह-अभाज्य पूर्णांक b (0) ज्ञात कर सकते है
ताकि,

क्योंकि 'a' और 'b' पूर्णांक हैं,
  परिमेय है और इसलिए,  परिमेय हैl
परन्तु इस तथ्य के विपरीत है कि  अपरिमेय हैl
इसलिए  अपरिमेय हैl

 
 का प्रसार सांत दशमलव हैl

  

इस का प्रसार सांत दशमलव हैl

छोटी से छोटी अभाज्य संख्या 2 है, छोटी से छोटी भाज्य संख्या 4 है|

इनका म.स. (HCF) 2 है|

मान लें कि $(5 + 3\sqrt{2})$ एक परिमेय संख्या है।

इसीलिए वहां सह अभाज्य सकारात्मक पूर्णांक a और b मौजूद होंगे

$$\begin{gathered} 5 +3\sqrt{2} = \frac{a}{b} \\ 3\sqrt{2} = \frac{a}{b}-5 \\ \sqrt{2} = \frac{a-5b}{3b} \\ \Rightarrow \sqrt{2} is \mathrm{परिमेय} \\ [\because a, b \mathrm{पूर्णांक} , \because \frac{a- 5b}{3b} \mathrm{परिमेय} \mathrm{है}] \end{gathered}$$

यह इस तथ्य के विपरीत है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है
इसलिए हमारी धारणा गलत है।

अत, $5 + 3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

404 = 2²× 101
96 = 2⁵ × 3

LCM = 2⁵ x 3¹ x 101¹

 = 2⁵ x 3¹ x 101¹

 = 9696

संख्याओं का उत्पाद = 96x404 = 38784
इसलिए, HCF x LCM = दो संख्याओं का उत्पाद।