एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
माना कि कोण हैं: 3x, 5x, 9x और 13x.
चूँकि, चतुर्भुज के कोणों का योग = 
∴ 
या 
या 
∴ 
अत: चतुर्भुज के कोण हैं: 
यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
ज्ञात है: एक समान्तर ABCD चतुर्भुज जिसमें विकर्ण AC = विकर्ण BD.
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
प्रमाण: 
AC = BD (ज्ञात है)
BC = CB (उभयनिष्ठ)
AB = DC (|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
इसलिए 
(SSS नियम)
(CPCT)
परन्तु 
[तियर्क रेखा BC के एक ही ओर बने अन्त: कोण]
इसलिए, 
अत: ||gm ABCD एक आयत है।
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
ज्ञात है: एक चतुर्भुज ABCD, जिसमें विकर्ण AC और विकर्ण BD एक दूसरे को O पर समद्विभाजित करते हैं और 
सिद्ध करना है: चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण: 
OA = OA (उभयनिष्ठ)
OD = OB (ज्ञात है)
(ज्ञात है)
इसलिए, 
(SAS नियम)
अत: AD = AB (CPCT)
इस प्रकार, AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण समद्विभाजित करते हैं।
ज्ञात हैं: ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: (i) BD = AC
(ii) OA = OC, OB = OD, (iii) 
प्रमाण: (i) 
AB = BA (उभयनिष्ठ)
AD = BC (वर्ग भुजाएँ)
(वर्ग के कोण)
अत: 
(SAS नियम)
इसलिए BD = AC (CPCT)
(ii) 
(शीर्षाभिमुख कोण)
AB = CD (वर्ग की भुजाएँ)
(एकान्तर कोण)
∴ 
(AAS नियम से)
अत: OA = OC और OB = OD
(iii) 
में,
OA = OC (ऊपर सिद्ध किया है)
AD = CD (वर्ग की भुजाएँ)
OD = OD (उभयनिष्ठ)
इसलिए 
[SSS नियम से)
इस प्रकार 
(CPCT)
और 
(रैखिक युग्म)
अत: 
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
ज्ञात है: एक चतुर्भुज ABCD जिसमें AC = BD और AC तथा BD एक दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है।
प्रमाण: 
में
OA = OC (ज्ञात है)
OB = OD (ज्ञात है)
(शीर्षाभिमुख कोण)
(SAS नियम)
इसलिए AB = CD (C.P.C.T.)
और 
जो कि एकान्तर कोणों का युग्म है
अब AB = CD और 
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
में,
OD = OD (उभयनिष्ठ)
(ज्ञात है)
OA = OC (ज्ञात है)
(SAS नियम)
(C.P.C.T.)
इसी प्रकार, AB = BC = CD = DA और ABCD एक समचतुर्भुज है।
परन्तु इसके विकर्ण समान हैं, 
ABCD एक वर्ग है।
समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि:
(i) यह 
को समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
को समद्विभाजित करता है।
को भी समद्विभाजित करता है।
में,
(SSS नियम)
(C.P.C.T.)
को समद्विभाजित करता है।
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A or C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
ज्ञात है: एक समचतुर्भुज ABCD
सिद्ध करना है: (i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
प्रमाण: 
में,
AD = CD
∴ 
(सम्मुख भुजाएँ सम्मान हैं)
अब, 
∴ 
(एकान्तर कोण)
इसलिए, 
अत: AC, 
समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि AC, 
को और BD, 
और 
समद्विभाजित करते हैं।
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) ABCD एक वर्ग है (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
ज्ञात है: ABCD एक आयत है जिसमें AC, 
को तथा 
को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है:
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD, 
तथा 
को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण (i): 
में
या 
अत: 
AD = CD
[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है और यह दिया गया है कि यह एक आयत है।
अत: ABCD एक वर्ग है।
(ii) 
में,
AD = CD (वर्ग की भुजाएँ)
AB = BC
और BD = BC (उभयनिष्ठ)
∴ 
(SSS सर्वगसमता नियम)
(CPCT)
अत: विकर्ण BD, 
तथा 
को समद्विभाजित करता है।
(i) ∆APD ≅ ∆CQB
(ii) AP = CQ
(iii) ∆AQB ≅ ∆CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
ज्ञात है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। विकर्ण BD पर दो बिंदु P तथा Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ
सिद्ध करना हैं: (i) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) AP = CQ
(iii) AQ = CP
(iv) ∆AQB = ∆CPD
(v) ∆APD ≅ ∆CQB.
रचना: समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD खींचों जो O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रमाण: (i) हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ OD = OB
परन्तु DP = BQ (ज्ञात हैं)
∴ DO - DP = BO - BQ
या OP = OQ
और OA = OC
∴ PQ और AC एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
∴ APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) AP = CQ
(एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
(iii) AQ = CQ
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
(iv) ∆AQB और ∆CPD में,
AB = CD
(||gm ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
AQ = CD
(||gm AQCP की सम्मुख भुजाएँ)
QB = DP (ज्ञात है)
अत: ∆AQB ≅ ∆CPD (SSS नियम)
(v) ∆APD और ∆CQB में,
AD = BC
(||gm ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
BQ = PD (ज्ञात है)
CQ = AP
(||gm APCQ की सम्मुख भुजाएँ)
अत: ∆APD ≅ ∆CQB (SSS नियम)
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमश: लम्ब हैं। दर्शाइए कि:
(i) ∆APB ≅ ∆CQD
(ii) AP = CQ.
(ज्ञात है)
(एकान्तर कोण)∆ABC और ∆DEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E, F से जोड़ा जाता हैं। दर्शाइए कि:
(i) चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ∆ABC ≅ ∆DEF.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। दर्शाइए कि
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
ज्ञात है: ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB||CD और AD = BC
सिद्ध करना है: (i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
रचना: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।
प्रमाण: (i) चतुर्भुज ADCE में,
AD || CE (रचना द्वारा)
AE || DC (ज्ञात है)
अत: AECD एक समांतर चतुर्भुज होगा।
इसलिए AD = EC
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
और AD = BC (दिया है)
∴ BC = EC
इस प्रकार, 
[
की समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
[तिर्यक रेखा के एक ही और बने कोणों का योग]
और 
इसलिए 
परन्तु 
(रैखिक युग्म)
इसलिए 
अत: 
(ii) 
और 
या 
[∵ ABCD समलम्ब है]
(iii) 
में,
BC = AD (ज्ञात है)
AB = BA (उभयनिष्ठ)
अत: 
(SAS नियम)
(iv) ∴ विकर्ण AC = विकर्ण BD (C.P.C.T.)
में, S और R क्रमश: भुजाओं AD और CD के मध्यबिंदु है।
में P और Q क्रमश; भुजाओं AB और BC के मध्यबिंदु हैं।
[मध्यबिंदु प्रमेय से]
में P और Q क्रमश: भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं। 
...(i) 
...(ii) (मध्यबिंदु प्रमेय)
होगा।
है।
ज्ञात है: ABCD एक आयत है और P, Q, R और S क्रमश: AB, BC, CD और AD के मध्यबिंदु हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक समचतुर्भुज है।
रचना: AC और BD को मिलाओ।
प्रमाण: 
में P और Q क्रमश: भुजाओं AB और AC के मध्यबिंदु हैं।
∴ 
और
PQ || AC ...(i) (मध्यबिंदु प्रमेय)
पुन: 
में, R और S क्रमश: भुजाओं CD और AD के मध्यबिंदु हैं।
...(ii) (मध्यबिंदु प्रमेय)
(i) और (ii) से,
और 
....(i)
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार, QR = SP = 
...(ii)
और ABCD एक आयत भी है।
∴ AC = BD
...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से,
PQ = QR = RS = SQ
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।
ज्ञात है: AB एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। BD एक विकर्ण है तथा AD का मध्यबिंदु E है। E से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचों जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: F भुजा BC का मध्यबिंदु है।
रचना: माना EF, BD को G पर प्रतिच्छेद करती है।
प्रमाण: 
में, AD के मध्यबिंदु E से EG, AB के समांतर है।
∴ G, BD का मध्यबिंदु है।
[मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से]
पुन: 
में,
BD का मध्यबिंदु G है और GF || CD
∴ F, BC का मध्यबिंदु है।
P भुजा DQ का मध्यबिंदु है।दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
में P तथा Q क्रमश:भुजाओं AB और BC के मध्यबिंदु हैं।
...(i)
...(ii)ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्यबिंदु M से होकर BC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि:
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) 
है।
(iii) CM = MA = 
है।
ज्ञात है: ABC एक समकोण 
है जिसमें 
है। कर्ण AB के मध्यबिंदु M से BC के समान्तर एक रेखाखण्ड खींचा गया है जो कि AC को D पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है: (i) AC का मध्यबिंदु D है।
(ii) 
(iii) 
प्रमाण: (i) 
में, AB का मध्यबिंदु M है।
और 
(ज्ञात है)
∴ AC का मध्य बिंदु D है।
(मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से)
(ii) 
∴ 
(संगत कोण)
परन्तु 
(ज्ञात है)
∴ 
अत: 
(iii) चूँकि M, AB का मध्यबिंदु है।
∴ AM = MB
DM = DM (उभयनिष्ठ)
(प्रत्येक = 
)
AD = CD (ऊपर सिद्ध किया है)
∴ 
(SAS नियम)
इसलिए AM = CM (CPCT)
अत: 
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