गणित Chapter 9 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

AB उर्ध्वाधर खंभा है तथा CA एक 20m लंबी  डोर है जिसका एक छोर खंभे AB के शिखर से तथा दूसरा छोर भूमि पर स्थित एक बिंदु C से बंधा है।
      में 
                
 
अत:खंभे की ऊँचाई 10 m

माना BD एक पेड़ है जो बिंदु C से टूटने के बाद CD के स्थान पर CA की स्थिति में आ जाता है अर्थात् बिंदु A पर पेड़ का शिखर D जमीन को छूता है 
प्रश्नानुसार,               
माना,                      BC = x m
                            CD = CA = y m

 अब समकोण   में,
                           

या                              
तथा                              

पेड़ की ऊँचाई (BD) = (x+y)m
                            


      
 

माना मीनार AB का शिखर A तथा पाद-बिंदु B है जिसकी ऊँचाई h m है। बिंदु C मीनार के पाद-बिंदु B से 30m की दूरी पर है।
अब,
AB = h m
BC = 30 m
and     = 30°
समकोण  में,



अत: मीनार की ऊँचाई  (AB) = 

माना A पतंग की स्थिति जिसकी डोरी का दूसरा सिरा बिंदु C पर बंधा है। पतंग की ऊँचाई (AB) = 60m तथा

         अब समकोण  में,    
                           
            
या                     
                                     
अत: डोरी की लंबाई (AC) = 

प्रश्नानुसार,
     = 30°
    = 60°.
माना    CF = x m तथा FD = y m
अब, समकोण  में,

अब, समकोण  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

अत: भवन की और चली गई वांछित दूरी = 

माना CD एक संचार मीनार है जिसकी ऊँचाई h m है जोकि 20 m ऊँचे भवन BC पर लगी है।
अर्थात्
                      CD = h m
                      BC = 20 m
प्रश्नानुसार,
          = 45°
         = 60°

अब समकोण  में,

इस प्रकार, समकोण  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

अत: संचार मीनार की ऊँचाई = 

माना पेडस्टल BD की ऊँचाई h m है जिसके ऊपर मूर्ति CD = 1.6 m लगी है। भूमि पर स्थित बिंदु A से C का उन्नयन कोण  तथा D का उन्नयन  है।
प्रश्नानुसार,
           = 60°,
           = 45°
          CD = 1.6m
          BD =  h m
अब समकोण  में, 

इसी प्रकार, समकोण  में,


समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

अत: पेडस्टल BD की ऊँचाई

अब समकोण  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

अत:भवन की ऊँचाई 

माना AD और BC समान ऊँचाई hm के दो खंभे हैं तथा AB =80 m चौड़ी एक सड़क है जिसके बीच बिंदु p है।
माना           AP = x m
तो              BP = (80 - x)m
प्रश्नानुसार,        तथा
                     

अब समकोण  में,

इसी प्रकार, समकोण में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

h का मान समीकरण (i) में रखने पर,

अथवा,    AP = x = 20 m
BP = 80 - x = 80 - 20 = 60 m
अत: खंभों की ऊँचाई = 
        खंभों से बिंदु की दूरी = 20 m और 60 m

माना टी. वी. टॉवर AB की ऊँचाई h m है जोकि नहर के एक तट पर खड़ा है। दूसरे तट पर बिंदु की टॉवर के पाद-बिंदु से दूरी BC = x m है।  
प्रश्नानुसार,             
                            BC = x m,   BD = (20 + x) m
अब समकोण  में,

 इसी प्रकार, समकोण  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से, 

h का मान समीकरण (i) में रखने पर, 

अत: टी. वी. की ऊँचाई =  तथा नहर की चौड़ाई  = 10 m

माना AC = 7m ऊँचा एक भवन है तथा BE एक केबल टॉवर है।
प्रश्नानुसार,                  
और                         
                                 AC = BD = 7 m
माना                             DE = h m

अब समकोण  में, 
                               
                         
 या                              AB = 7
परन्तु                            AB = CD = 7   ...(i)
इस प्रकार, समकोण  में, 
                             
         
या                  
अत: केवल टॉवर की ऊँचाई (BE) = BD + DE
                                       
      


          

माना D एक लाइट हाउस जो समुद्र के तल C से 75 m ऊँचा है। समुद्र तल पर दो जहाज A और B के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।
माना  AB = x m तथा BC = y m
प्रश्नानुसार,
  और  

अब समकोण  में,

इसी प्रकार, समकोण  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

 अत: दोनों जहाजों के बीच की दूरी  

अब समकोण  में,

इसी प्रकार,  में,

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

अत: कार द्वारा B से C तक पहुँचने में लगा समय  = 3 सेकेंड

अब समकोण ABC में,

इसी प्रकार  में,

समीकरण (i) और (ii) को गुणा करने पर,

परन्तु h = -6 असंभव है।
∴ मीनार की ऊँचाई  = 6 m

माना जहाज एक दूसरे से x दूरी पर हैं,

$$\begin{gathered} In ∆ APO \\ \tan {45}^o = \frac{100}{y} = 1 \\ \therefore y = 100 m ..... \left(i\right) \\ In ∆POB \\ \tan 30° = \frac{OP}{OB} = \frac{100}{x +y} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} = \frac{x + y}{100} \\ x + y = 100\sqrt{3} \\ x = 100\sqrt{3} - y = 100\sqrt{3} - 100 \\ 100(\sqrt{3} -1) \\ \therefore x = 100 (1.732 -1 ) \\ = 100 x 0.732 \\ = 73.2 m \end{gathered}$$