1.5m लम्बा, 1.25m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए:
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1m2 शीट का मूल्य ₹20 है।
प्लास्टिक डिब्बे के लिए:
लम्बाई = 1.5 m
चौड़ाई = 1.25 m
ऊँचाई (गहराई) = 0.65 m
(i) डिब्बा ऊपर से खुला है अत: शीट का क्षेत्रफल
= 2[lb + bh + hl] - lb
=2[1.5 x 1.25 + 1.25 x 0.65 + 0.65 x 1.5] - 1.5 x 1.25
=2[1.875 + 0.8125 + 0.975] - 1.875
=2 x 3.6625 - 1.875
=7.325 - 1.875
=5.45 m2
(ii) शीट की कीमत = 5.45 x ₹20 = ₹109
एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 5m, 4m और 3m हैं। 7.50 रूपए प्रति m2 की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
कमरे के लिए:
लम्बाई = 5 m
चौड़ाई = 4 m
ऊँचाई = 3 m
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l+b) x h
= 2(5+4) x 3 = 54 m2.
छत का क्षेत्रफल = l x b = 5 x 4 = 20 m2.
सफेदी कराने का कुल क्षेत्र
= 54 + 20 = 74 m2.
सफेदी कराने की दर = 7.50 m2.
सफेदी कराने की कीमत = (74 x 7.50) रु
= ₹555
एक आयताकार हाल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि 10 रु प्रति m2 की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रूपए है तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
माना लम्बाई = l, चौड़ाई = b, ऊँचाई = h
दिया है: परिमाप = 250 m
∴ 2(l+b) = 250
चारों दीवारों में पेंट की लागत = 15000 रु.
चारों दीवारों में पेंट की दर = 10 रु प्रति m2.
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 
और चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l+b) x h
∴ 
या 250 x h = 1500
या 
किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m2 के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm x 10 cm x 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
पेंट करने का क्षेत्रफल = 9.375 m2
= 9.372 x 100 x 100
= 93750 cm2
ईंट का क्षेत्रफल
=2[22.5 x 10 + 10 x 7.5 + 7.5 x 22.5]
=2[225+75+168.75]
=2 x 468.75 = 937.5 cm2
ईंटों की संख्या = 
एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 12.5 cm, 10 cm और 8 cm हैं।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है तथा कितना कम है?
एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लम्बा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।
लम्बाई = 30 cm
चौड़ाई = 25 cm
ऊँचाई = 25 cm
(i) शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl)
= 2(30 x 25 + 25 x 25 + 25 x 30)
= 2(750 + 625 + 700)
= 2 x 2125
= 4250 cm2
(ii) 12 किनारों के लम्बाई
= 4l + 4b + 4h
= 4(l + b + h)
= 4(30+25+25)
= 4 x 80 = 320 cm
शान्ति स्वीट स्टॉल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का आर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बे की माप 25cm x 20cm x 5cm और छोटे डिब्बों को माप 15 cm x 12cm x 5cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ता की लागत 4 रूपए प्रति 1000 cm2 है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
= ₹ 2184 परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के आकर के ढाँचे जैसे एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है। यह मानते हुए की सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपडा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर x 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
लम्बाई = 4m, चौड़ाई = 3m.
ऊँचाई = 2.5 m.
ऊँचाई अस्थायी ढाँचे का पृष्ठीय क्षेत्रफल 
ऊँचाई 14 cm वाले एक लम्ब वृतीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm2 है। इस बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
लम्ब वृतीय बेलन के लिए
ऊँचाई = 14 cm
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm2
माना आधार की त्रिज्या = r है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 
या 
या 
आधार का व्यास = 2 x 1 cm = 2 cm
धातु की एक चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
बेलनाकार टंकी की ऊँचाई = 1 m.
आधार का व्यास = 140 cm.
अर्धव्यास = 70 cm = 0.7m
टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
धातु का एक पाइप 77cm लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है।
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
एक रोलर(roller) का व्यास 84 cm हैं और लम्बाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का m2 में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
रोलर का व्यास = 84 cm.
रोलर का अर्धव्यास = 42 cm = 0.42 m
रोलर की लम्बाई h = 120 cm = 1.2 m
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
500 चक्कर लगाने पर पूरा किया गया क्षेत्रफल
= 500 x 3.168 == 1584 m2
अत: खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 1584 m2.
किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 cm है तथा ऊँचाई 3.5 m है। 12.50 रूपए प्रति m2 की दर से स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
बेलनाकार स्तंभ के लिए:
व्यास = 50 cm = 0.5 m
अर्धव्यास = 0.25 m.
ऊँचाई = 3.5 m.
वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 
= 
= 5.5 m2
पेंट कराने की दर = ₹12.50 m2
अत: पेंट कराने की कीमत = ₹12.50 x 5.5 = ₹ 68.75
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m2 है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4.4 m2
बेलन का अर्धव्यास = 0.7 m
माना ऊँचाई = h m
अब, 
अत: लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई = 1 मीटर
किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 m है और यह 10m गहरा है। ज्ञात कीजिए:
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) 40 रूपए प्रति m2 की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास = 3.5 m
आन्तरिक अर्थव्यास 
ऊँचाई = 10 m
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
(ii) पृष्ठ को प्लास्टर कराने की दर = 40 रु m2
अत: पृष्ठ को प्लास्टर कराने की कीमत
= 4400 रु
गरम पानी द्वारा गर्म रखने वाले एक संयंत्र में 28m लम्बाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
बेलनाकार पाइप की ऊंचाई (लम्बाई) = 28 m
पाइप का व्यास = 5 cm
पाइप का अर्धव्यास = 
कुल गर्मी देने वाला पृष्ठीय क्षेत्रफल = 0.025 m.
ज्ञात कीजिए:
एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है।
व्यास = 4.2 m
अर्धव्यास = 2.1 m
ऊँचाई = 4.5 m
पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
ज्ञात कीजिए:
इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 
भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
माना इस्पात का प्रयोग में लाया गया वास्तविक क्षेत्रफल है x m2. क्योंकि 
भाग वास्तविक इस्पात नष्ट हो गया तो इस्पात का वह क्षेत्रफल जो टंकी के लिए प्रयोग हुआ।
टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (x)
अत: x का 
= x का 
∴ x का 
= 87.12 m2
आकृति में आप एक लैम्पशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों और 2.5cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्पशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े कि आवश्यकता होगी। 
व्यास = 20 cm
त्रिज्या R = 10 cm तथा r = 7.5 cm
ऊँचाई = 30 cm
फ्रेम को ढकने के लिए आवश्यक कपड़े की ऊँचाई (बेलन की ऊँचाई)
= (30+2.5+2.5) = 35 cm
∴ कपड़े का क्षेत्रफल = 
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देने था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
एक कलमदान के लिए r = 3 cm, h = 10.5 cm.
कलमदान का पृष्ठीय क्षेत्रफल
प्रतिभागियों के लिए गत्ते का क्षेत्रफल
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आधार का व्यास = 10.5 cm
आधार का अर्धव्यास = 
r = 5.25 cm
तिर्यक ऊँचाई l = 10 cm
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
तिर्यक ऊँचाई = 21 m
आधार का व्यास 24 m
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm2 तथा इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या तथा (ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308 cm2
तिर्यक ऊँचाई l = 14 cm
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
या 
या 44r = 308
या 
अत: आधार की त्रिज्या = 7 cm.
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
शंकु के आकर का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24m है। ज्ञात कीजिए:
(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तंबू में लगे केनवास की लागत, यदि 1 m2 केनवास की लागत 70 रूपए है।
शंकुकार तंबू के लिए:
ऊँचाई h = 10 m
आधार के लिए,
अर्धव्यास = 24 m
(i) अब माना तिर्यक ऊँचाई = l
∴ 
(ii) ∴ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 
केनवास की दर = ₹70m2
अत: केनवास की कीमत = 
= (220 x 24 x 26) रु
= 137280 रु
8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकर का तम्बू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए की इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (
का प्रयोग करें)
शंकुकार तम्बू की ऊँचाई = 8 m
आधार की त्रिज्या = 6 m
अब, 
तिरपाल का क्षेत्रफल = 
तिरपाल की दी गई चौड़ाई = 3 m.
तिरपाल की लम्बाई = 
अतिरिक्त लगा तिरपाल 20 cm = 0.2 m
इस प्रकार तिरपाल की कुल लम्बाई जो खरीदी गई
= (62.8 + 0.2)m
= 63 m
शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमश: 25m और 14m हैं।
इसके वक्र पृष्ठ पर 210 रूपए प्रति 100 m2 की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
तिर्यक ऊँचाई l = 25 m
आधार का व्यास = 14 m
आधार का अर्धव्यास = 7 m.
अब, 
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
सफेदी कराने की दर = 210 रु प्रति 100 m2.
अत: सफेदी कराने की कीमत 
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकर की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24cm है। इस प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए वांछित गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आधार की त्रिज्या = 7 cm.
ऊँचाई = 24 cm.
अब, 
प्रत्येक टोपी के लिए गत्ते का क्षेत्रफल 
इसी प्रकार की 10 टोपियों के लिए गत्ते का क्षेत्रफल
= 550 x 10 = 5500 cm2.
किसी बस स्टॉप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेट की दर 12 रूपए प्रति m2 है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी?
एक शंकु के लिए:
व्यास = 40 cm.
अर्धव्यास = 20 cm = 0.2 m.
ऊँचाई = 1 m.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
50 खाली शंकुओं का क्षेत्रफल
= 50 x 3.14 x 0.204 m2.
= 32.028 m2
कार्ड बोर्ड को पेंट करने की दर = 12 रु प्रति m2.
अत: शंकुओं को पेंट कराने की कीमत
= (12 x 32.028)रु
= 384.336
= 384.34 रु (लगभग)
निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) 10.5 cm (ii) 5.6 cm (iii) 14 cm
(i) गोले के लिए:
r = 10.5 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
(ii) r = 5.6 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
(iii) r = 14 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
14 cm
गोले के लिए व्यास = 14 cm
अर्धव्यास = 7 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
व्यास = 21 cm
अर्धव्यास = 
.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
व्यास = 3.5 m
अर्धव्यास = 
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
अर्धगोले के लिए
r = 10 cm
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3 x 3.14 x 10 x 10
= 942 cm2
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारें के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
प्रारंभिक गोले के लिए:
r = 7 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल, 
= 88 x 7 cm2
फुलाए हुए गुब्बारे के लिए
R = 14 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल, S2 = 
अब, 
या, 1 : 4
पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। 16 रूपए प्रति 100 cm2 की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
कटोरे का आंतरिक व्यास = 10.5 cm.
कटोरे का अर्धव्यास = 
कटोरे का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
कलई कराने की दर = 16 रू प्रति 100 cm2.
अत: कलई कराने की कीमत
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm2 है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm2
माना इसकी त्रिज्या = r cm.
∴ 
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
माना चन्द्रमा का व्यास = 2r
तथा पृथ्वी का व्यास = 4 x 2r = 8r
∴ चन्द्रमा का अर्धव्यास = r
तथा पृथ्वी का अर्धव्यास = 4r
चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल 
और पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल 
अब, 
या 1 : 16
एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अर्धगोलाकार कटोरे के लिए
आंतरिक त्रिज्या, r = 5 cm.
मोटाई = 0.25 cm
बाहरी त्रिज्या (R) = (5+0.25)cm = 5.25 cm
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
एक लम्ब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए(देखिए आकृति) है। ज्ञात कीजिए:
(i) गोले एक पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।
(i) गोले के लिए त्रिज्या = r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 
(ii) बेलन के लिए, त्रिज्या = r
ऊँचाई = 2r
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 
(iii) वांछित अनुपात
माचिस की डिब्बी का माप 4cm x 2.5 cm x 1.5 cm हैं। ऐसी डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6m लम्बी, 5m चौड़ी और 4.5m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है?
(1 m3 = 1000l)
लम्बाई = 6 m
चौड़ाई = 5 m
ऊँचाई (गहराई) = 4.5 m
आयतन = l x b x h
= 6 x 5 x 4.5
= 135 cm3.
पानी का आयतन जो टंकी में आ जाये (लीटर में)
= 135 x 1000 लीटर
= 135000 लीटर
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लम्बा तथा 8 m चौड़ा है। इसे कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके?
घनाभाकार बर्तन का आयत = 380 m3
लम्बाई = 10 m
चौड़ाई = 8 m
अब, 
8 m लम्बा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रूपए प्रति m3 की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
लम्बाई = 8 m
चौड़ाई = 6 m
ऊँचाई(गहराई) = 3 m
आयतन = l x b x h
= 8 x 6 x 3 = 144 m3
खुदाई की दर = 30 रु प्रति m3
अत: खुदाई की कीमत = 30 रु x 144
= ₹ 4320
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50,000 लीटर पानी की है। इस टंकी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसकी लम्बाई तथा गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है।
घनाभाकार आकार की टंकी की क्षमता
= 50,000 लीटर
टंकी का आयतन = 
लम्बाई = 2.5 m
ऊँचाई (गहराई) = 10 m
चौड़ाई = 
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्कयता है। इस गाँव में 20 m x 15 m x 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
जनसंख्या = 4000
पानी की खपत = 150 लीटर प्रति व्यक्ति प्रतिदिन
प्रतिदिन पानी की कुल खपत
= 4000 x 150 लीटर
= 600 m3
टंकी का आयतन = 20 x 15 x 6
= 1800 m3
टंकी का पानी जितने दिन के लिए पर्याप्त होगा
दिन
किसी गोदाम की माप 40m x 25m x 10m हैं। इस गोदाम में 1.5 m x 1.25m x 0.5m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जाते हैं?
गोदाम का आयतन = l x b x h
= 40 x 25 x 10
= 10000 m3
एक लकड़ी के क्रेट का आयतन
= 1.5 x 1.25 x 0.5
= 0.9375 m3
क्रेटों की संख्या = 
= 10666 क्रेट
12cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
बड़े घन का आयतन = 12 x 12 x 12 cm3
= 1728 cm3
छोटे घनों की संख्या = 8
एक छोटे घन का आयतन = 
छोटे घन की भुजा = 
= 6 cm.
बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6a2 = 6 x (12)2
= 6 x 144 = 864 cm2.
8 छोटे घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 x (6)2 = 216 cm3.
अनुपात 
या 1:4
3m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
ऊँचाई(गहराई) = 3m
चौड़ाई = 40 m
पानी बहने की दर = 2 km प्रति घण्टा
= 2000 m प्रति घण्टा
मी. प्रति मिनट
अत: पानी का आयतन 
एक बेलनाकर बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 cm3 = 1लीटर)
बेलनाकार बर्तन के लिए
ऊँचाई = 25 cm
आधार = 132 cm
या 
बर्तन का आयतन = 
पानी का आयतन (लीटर में)
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लम्बाई 35cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1cm3 लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
बेलनाकार बर्तन के लिए, आंतरिक व्यास = 24 cm.
तथा बाहर का व्यास = 28 cm.
∴ आंतरिक का अर्धव्यास 
बाहर का अर्धव्यास
पाइप की ऊँचाई (ल.) = 35 cm.
लकड़ी का आयतन
1 cm3 का द्रव्यमान = 0.6 ग्रा.
∴ वांछित द्रव्यमान = 0.6 x 5720 ग्रा.
= 3432 ग्रा
= 3.432 किग्रा.
एक सॉफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है: (i) लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
(i) आयताकार आधार के लिए
लम्बाई = 5 cm
चौड़ाई = 4 cm
ऊँचाई = 15 cm
आयतन = l x b x h
= 5 x 4 x 15 = 300 cm3
(ii) बेलनाकार आधार के लिए
व्यास = 7 cm
त्रिज्या = 
ऊँचाई = 10 cm.
आयतन = 
बेलन की धारिता = 385 - 300
= 85 cm3
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm2 है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन 
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रूपए है। यदि पेंट कराने की दर 20 रूपए प्रति m2 है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
= 110 m2
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
बेलनाकार बर्तन की क्षमता = 15.4 लीटर
ऊँचाई = 1 m
आयतन = 
∴ 
चादर का क्षेत्रफल
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट(graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
पेंसिल का व्यास = 
= 0.7 cm
ग्रेफाइट का व्यास = 
पेंसिल का अर्धव्यास R = 
ग्रेफाइट का अर्धव्यास 
= 0.05 cm
लम्बाई h = 14 cm
ग्रेफाइट का आयतन = 
लकड़ी का आयतन = 
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
आधार का व्यास = 7 cm
आधार का अर्धव्यास = 
ऊँचाई = 4 cm
आयतन = 
250 रोगियों के लिए सूप चाहिए:
= 250 x 154
= 38500 cm3
उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी:
(i) त्रिज्या 6cm और ऊँचाई 7 cm है।
अर्धव्यास = 6cm, ऊँचाई = 7 cm
शंकु का आयतन = 
अर्धव्यास = 3.5 cm, ऊँचाई = 12 cm
शंकु का आयतन 
शंकु के आकर के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए:
त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
अर्धव्यास = 7 cm.
तिर्यक ऊँचाई = 25 cm.
अब समकोणीय त्रिभुज OAB में
आयतन = 
अत: धारिता =
लीटर
ऊँचाई = 12 cm
तिर्यक ऊँचाई = 13 cm.
एक समकोण त्रिभुज OAB में,
आयतन 
धारिता = 
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm कम है। यदि इसका आयतन 1570 cm3 है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
शंकु के लिए:
ऊँचाई = 15 cm.
आयतन = 1570 cm3
माना आधार का अर्धव्यास = r cm
अब, 
यदि 9 cm, ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 
है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए:
ऊँचाई = 9 cm.
आयतन = 
माना आधार की त्रिज्या = r cm
अब, 
अत: आधार का व्यास = 4 x 2 = 8 cm.
ऊपरी व्यास 3.5m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलिटरों में कितनी है?
शंकुकार गड्ढे के लिए:
व्यास = 3.5 m
अर्धव्यास = 
ऊँचाई(गहराई) = 12 m
आयतन = 
इसलिए गड्ढे की क्षमता = 
= 38.5 किलोमीटर
एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm3 है। यदि इसके आधार का व्यास 28cm है तो ज्ञात कीजिए:
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
लम्ब वृत्ताकार शंकु के लिए:
आयतन = 9856 cm3
आधार का व्यास = 28 cm
आधार का अर्धव्यास = 14 cm
(i) 
(ii) तिर्यक ऊँचाई के लिए:
अत: l = 50 cm.
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
भुजाओं 5cm, 12cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
सलंग्न आकृति से
r = 5 cm
h = 12 cm
∴ आयतन V = 
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
यहाँ शंकु की त्रिज्या r = 12 cm.
शंकु का आयतन = 
[∵ 
को 5 cm भुजा के परित घुमाया गया है]
वांछित अनुपात = 
= 5 : 12
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और उँचाई 3m वाले एक शंकु के आकर की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
त्रिज्या 
h = 3m
गेहूँ के ढेर का आयतन
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्र
अत: 99.825 m2 की आवश्यकता होगी।
r = 0.63
गोले का आयतन = 
= 
= 1.047816 m3
= 1.05 m3 लगभग
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
28 cm
व्यास = 0.21 m
त्रिज्या 
आयतन = 
= 0.004851 m3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm3 है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
व्यास = 4.2 m
त्रिज्या r = 
आयतन = 
1 cm3 का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
अत: कुल द्रव्यमान = 38.808 x 8.9 ग्राम
= 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम (लगभग)
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन से भिन्न है?
माना पृथ्वी का व्यास = 8x
तथा चन्द्रमा का व्यास = 
अब पृथ्वी की त्रिज्या = 4x
तथा चाँद की त्रिज्या = x
चाँद का आयतन 
पृथ्वी का आयतन 
अब वांछित अनुपात = 
व्यास 10.5 वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
अर्धगोलाकार कटोरे के लिए, व्यास = 10.5 cm
अर्धव्यास 
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन
धारिता (ली. में) = 
लीटर
= 0.3031875 लीटर
= 0.303 लीटर (लगभग)
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर(sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
अर्धगोलाकार टंकी के लिए
आंतरिक त्रिज्या r = 1m = 100 cm
बाहरी त्रिज्या R = (100 + 1) = 101 cm.
लोहे की चादर का आयतन
आयतन = 
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm2 है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm2
किसी भवन का गुबंद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 रूपए व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रूपए प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) गुबंद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुबंद के अंदर की हवा का आयतन
(i) सफेदी की दर = 2 रू. प्रति वर्ग मी.
सफेदी की कीमत = 498.96 रू.
अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
अब अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल 
(ii) ∴ 
गुम्ब्द के अंदर हवा का आयतन
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S' है। ज्ञात कीजिए:
(i) नए गोले की त्रिज्या r'
(ii) S तथा S' का अनुपात।
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm3 में) की आवश्यकता होगी?
गोल कैप्सूल के लिए:
व्यास = 3.5 mm
त्रिज्या 
आयतन = 
ऊँचाई = 110 cm
गहराई = 85 cm,
चौड़ाई = 25 cm
बाह्रा पृष्ठीय क्षेत्रफल जिसे पॉलिश करना है:
=[(110 x 85) + 2(110 x 25) + 2(85 x 25) + 2(110 x 5) + 4(75 x 5)]
= (9350 + 5500 + 4250 + 1100 + 1500) cm2
= 21700 cm2
∴ 20 पैसे प्रति cm2 की दर से पॉलिश का खर्च
= 21700 x 20 पैसे
आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल जिसे पेंटिंग करना है
= [2(20 x 90) + 6(75 x 20) + (75 x 90)]
= (3600 + 9000 + 6750) cm2
= 19350 cm2
∴ 10 पैसे प्रति cm2 की दर से पेंटिंग का खर्च
= 19350 x 10 पैसे
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसे कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठगोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm2 तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm2 हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
लकड़ी के गोले का व्यास = 21 cm.
लकड़ी के गोले का अर्धव्यास = 
लकड़ी के एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 
बेलनाकार अवलंबनों के वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
उस गोले का क्षेत्रफल जिसे सिल्वर (चाँदी) का पेंट करना है।
= (1386 - 7.07)cm2 = 1378.93 cm2
सभी 8 गोलों का क्षेत्रफल जिसे चाँदी वाले रंग से पेंट करना है
= 8 x 1378.93 cm2
∴ पेंटिंग की कीमत
= 
बेलनाकार अवलम्ब का पृष्ठीय क्षेत्रफल
सभी 8 अवलम्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
सभी अवलम्बों को पेंटिंग करने का खर्च
कुल खर्च (कीमत)
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
माना कि व्यास = 2r
∴ त्रिज्या = r
∴ अब, व्यास = 
∴ अत: नई त्रिज्या 
वास्तविक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी
प्रतिशत कमी = 
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