के रूप में लिखा जा सकता है ( जबकि p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 )?
के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि p = 0, q = 1, 2, .....
3 और 4 के बीच में छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात करोl
क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं? कारण सहित उत्तर दोl
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती हैl
(ii) प्रत्येक पूर्णांक संख्या एक पूर्ण संख्या होती हैl
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती हैl
(i) सत्य, प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती हैl
(ii) असत्य, उदाहरण - 2 एक पूर्णांक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं हैl
(iii) असत्य, उदाहरण - 
एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं हैl
नीचे दिए गए कथन सत्य हैं और असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिएl
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती हैl
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु 
के रूप में होता है जहाँ, m एक प्राकृत संख्या हैl
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती हैl
(i) सत्य, क्योंकि वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह होता हैl
(ii) असत्य, क्योंकि किसी बी प्राकृत संख्या का वर्गमूल कभी भी ऋणात्मक नहीं होताl
(iii) असत्य, क्योंकि 2 एक वास्तविक संख्या है, परंतु यह एक परिमेय संख्या नहीं नहीं हैl
एक परिमेय संख्या हैl
को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है?
खींचो और BC = 1 इकाई काटोl
से संख्या रखा पर एक बिंदु Q अंकित करो, जोकि 
को प्रदर्शित करता हैl
को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता हैlकक्षा के लिए क्रियाकलाप :
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए की प्रत्येक का दशमलव प्रसारण किस प्रकार का है:
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए की प्रत्येक का दशमलव प्रसारण किस प्रकार का है:
हैl वास्तव में लंबा भाग दिए बिना क्या आप बता सकते हैं कि
के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ तो कैसे?
का मान ज्ञात करते समय शेषफलों का अध्यन सावधानी से कीजिएl ]
ज्ञात करने पर 2 बचता है और भागफल क्रमश: 2, 8, 5, 7, 1, 4 प्राप्त होता हैl
इसी प्रकार
के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक है, तथा q ≠ 0
माना 
एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
हमे प्राप्त होता है:
10x = 6.666 .......
10x = 6 + 0.6666 .....
10x = 6 + x
10x - x = 6
9x = 6
यहाँ p = 2
q = 3 (
)
के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक है, तथा q ≠ 0.
माना x = 
= 0.47777 ......
एक अंक की पुनरावृत्ति है, दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
10x = 4.7777 ......
10x = 4.3 + 0.47777 .......
10x = 4.3 + x
10x - x = 4.3
9x = 4.3
यहाँ, p = 43
q = 90 (
)
के रूप में व्यक्त कीजिए कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक है, तथा q ≠ 0
माना x = 
तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, दोनों और 10 से गुणा करने पर
1000x = 1.001001 .......
1000x = 1 + 0.001001001 ........
1000x = 1 + x
1000x - x = 1
999x = 1
यहाँ, p = 1
q = 999 
के रूप में व्यक्त कीजिएl क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिएl
माना x = 0.99999......
एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है, दोनों ओर 10 से गुणा करने पर
10x = 9.9999 .........
10x = 9 + 0.99999 ......
10x = 9 + x
10x - x = 9
9x = 9
0.99999 ....... = 1 = 
यहाँ p = 1
q = 1
चूंकि 0.99999...... में 9 की पुनरावृत्ति अनन्त तक हो रही है इसलिए 1 और 0.999 ... के बीच कोई रिक्त स्थान नहीं हैl अत: वह समान हैl
के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन - क्रिया कीजिएl
के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैl जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैl जिसका सांत दशमलव निरूपण ( प्रसार ) है क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?
ऐसी तीन संख्याओं के उदाहरण दीजिए जिनका दशमलव प्रसार अनवसनी अनावर्ती होंl
(i) 0.01001 0001 00001.......,
(ii) 0.20 2002 20002 200002.......,
(iii) 0.003000300003......,
के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करोl
(i) 0.75 075007500075000075......
(ii) 0.7670767000767.......
(iii) 0.808008000800008.......
बताइए की निम्न संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय हैं और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं:
= 4.795831523......
यह एक अपरिमेय संख्या हैlबताइए की निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय होती है कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय होती है:
यह एक परिमेय संख्या हैl
बताइए की निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय होती है कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय होती है:
0.3796
0.3796
∵ यह एक सांत दशमलव हैl
∴ 0.3796 यह एक परिमेय संख्या हैl
बताइए की निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय होती है कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय होती है:
7.478478......
बताइए की निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय होती है कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय होती है:
1.101001000100001......
1.101001000100001......
∵ यह एक असांत तथा अनावर्ती दशमलव हैl
∴ 1.101001000100001...... यह एक अपरिमेय संख्या हैl
2 एक परिमेय संख्या है और 
एक अपरिमेय संख्या हैl
परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का अंतर एक अपरिमेय संख्या होती हैl
एक परिमेय संख्या है और 
एक अपरिमेय संख्या हैl
एक अपरिमेय संख्या हैl
एक परिमेय संख्या है और 
एक अपरिमेय संख्या हैl
एक अपरिमेय संख्या हैl
आपको याद होगा कि 
को एक वृत्त कि परिधि ( मान लीजिए c ) और व्यास ( मान लीजिए d ) के अनुपात में परिभाषित किया जाता है, अर्थात 
हैl यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि 
अपरिमेय हैl इस अंतर्विरोध का निरूपण आप कैसे करेंगे?
एक परिमेय संख्या हैl
को निरूपित कीजिएl
इकाई
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के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करोl
के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ निम्न है: 
से गुणा करने पर
से गुणा करने पर ]
से गुणा करने पर ]
