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समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
Question
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चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब है।

Answer

ज्ञात है: एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और
ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC)

सिद्ध करना है: ABCD एक समलम्ब है।
प्रमाण: ar(ΔAOD) = ar(ΔBOC)        (ज्ञात है)
दोनों और ar.(ΔCOD) जोड़ने पर,
ar(ΔAOD) + ar(ΔCOD) = ar(ΔBOC) + ar (ΔCOD)
∴   ar(ΔACD) = ar(ΔBCD)
चूँकि ΔACD और ΔBCD एक ही आधार CD पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं।
∴            AB || CD
अब, चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं।
∴  ABCD एक समलम्ब है। 
    



 

 

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आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड
AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि:
ar(AABC) = ar(ΔABD).है।

बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि 
ar(ΔDBC) = ar(ΔEBC) है। दर्शाइए  कि DE || BC है।

आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि:
 

(i)  ar(ΔACB) = ar(ΔACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)

गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के सलंग्न एक भाग ऐसे दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।