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निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं?
(a) एक उत्तल चतुर्भुज (b) एक समषड्भुज (c) एक त्रिभुज
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का युगफल क्या है? यदि चतुर्भुज, उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा? ( एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल न हो और प्रयास कीजिए।)
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योग 3600 होता है।
हाँ, यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो भी यह गुण लागू होगा।
तालिका की जाँच कीजिए: ( प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए )
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आकृति |
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भुजा |
3 |
4 |
5 |
6 |
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कोणों का योगफल |
180° |
2 x 180° = (4 - 2) x 180° |
3 x 180° = (5 - 2) x 180° |
4 x 180° = (6 - 2) x 180° |
एक बहुभुज के कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो?
(a) 7 (b) 8 (c) 10 (d) n
ऊपर दी गई तालिका में यह स्पष्ट है कि n भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों ( अंत:कोणों ) का योग = (n - 2) x 180°
(a) जब n = 7
= (n - 2) x 180° = (7 - 2) x 180°
= 5 x 180°
= 900°
(b) जब n = 8
= (n - 2) x 180° = (8 - 2) x 180°
= 6 x 180°
= 1080°
(c) जब n = 10
= (n - 2) x 180° = (10 - 2) x 180°
= 8 x 180°
= 1440°
(d) जब n = n
= (n - 2) x 180°
सम बहुभुज क्या है?
एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें
(i) 3 भुजाएँ (ii) 4 भुजाएँ (iii) 5 भुजाएँ हों।
एक बहुभुज को सम बहुभुज कहते हैं, क्यादि इसके सभी
(i) अंत:कोण बराबर हों, (ii) भुजाएँ बराबर हों और (iii) बाह्य कोण बराबर हों।
सम बहुभुज जिनकी
(i) 3 भुजाएँ हैं, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।
(ii) 4 भुजाएँ हैं, वर्ग कहलाता है।
(iii) 6 भुजाएँ हैं, सम षड्भुज कहलाता है।
निम्नलिखित आकृतियों में x ( कोण की माप ) ज्ञात कीजिए:
(a) हम जानते हैं चतुर्भुज के अंत:कोणों का योग = 
(b) हम जानते हैं चतुर्भुज के अंत:कोणों का योग = 
(c) 
(d) 
सभी कोण बराबर हैं तो माना कोण x
(a) एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 
(b) एक चतुर्भुज के कोणों का योग = 
एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) 9 भुजाएँ (ii) 15 भुजाएँ हों।
(i) 9 भुजाओं वाला सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 
= 
(ii) 15 भुजाओं वाला सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 
= 
एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप 
हो?
बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 
एक बाह्य कोण का माप = 
बहुभुज की भुजाओं की संख्या = 
एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत:कोण 
का हो?
प्रत्येक अंत:कोण = 
प्रत्येक बाह्य:कोण = 
भुजाओं की संख्या = 
इस बहुभुज की 24 भुजाएँ हैं।
(a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण की माप 
हो?
(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है? क्यों?
प्रत्येक बाह्य कोण = 
भुजाओं की संख्या = 
यह पूर्ण संख्या नहीं है
माप का बाह्य कोण वाला सम बहुभुज सभव नहीं है।
(b) यदि 
अंत:कोण है तो बाह्य कोण = 
भुजाओं की संख्या = 
यह एक पूर्ण संख्या नहीं है
यह बहुभुज संभव नहीं है।
(a) किसी सम बहुभुज के कम से कम कितने अंश का अंत:कोण संभव है? क्यों?
(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है?
(a) समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओ का एक सम बहुभुज है जिसका कम से कम अंत:कोण 
का संभव है।
(b) क्योंकि एक सम बहुभुज के एक अंत:कोण का न्यूनतम माप 
होता है, इसलिए अधिक से आशिक एक बाह्य कोण का संभव माप 
है।
कोणों वाले दो समान सेट-स्कवेयर लीजिए। अब इन्हें आपस में इस प्रकार मिलाकर रखिए जिससे एक समांतर चतुर्भुज बन जाए। क्या यह बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करता है?
यह आकृति यह स्पष्ट कर रही है कि समांतर चतुर्भुज कि सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती है।
कोणों वाले दो समान सेट-स्कवेयर लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाइए। क्या प्राप्त आकृति बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करती है?
चित्र से यह पुष्टि होती है की समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है प्रत्येक कथन को परिभाषा का प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए:
(i) AD = ..... (ii) 
(iii) OC = ..... (iv) 
(i) AD = BC : समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
(ii) 
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं
(iii) OC = OA : समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
(iv) 
: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 
होता है
निम्न समांतर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए:
(i) 
[ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होता हैं ]
समांतर चतुर्भुक्त के अंत:कोण का योग = 
(ii)
(iii) शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं
x = 
त्रिभुज के कोणों का योग = 
(iv)
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
क्योंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं
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किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोनो की माप ज्ञात कीजिए।
माना समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोण 
है
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं
निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए ( लंबाई cm में है ):
GUNS एक समांतर चतुर्भुज है
इसकी विपरीत भुजा बराबर होती है
GS = NU और SN = GU
3x = 18, 26 = 3y - 1
(ii) RUNS एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक दूसरे को बीच में से काटते है
दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।
RISK एक समान्तर चतुर्भुज है
CLUE भी एक समांतर चतुर्भुज है
बताइए, कथन सत्य है या असत्य:
A.
सभी आयत वर्ग होते हैं
B.
सभी सम चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं
C.
सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं
D.
सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते
E.
सभी पतंगें सम चतुर्भुज होती हैं
F.
सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं
G.
सभी समांतर चतुर्भुज समलंब होते हैं
H.
सभी वर्ग समलंब होते हैं
उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए जिनमे
(a) चरों भुजाएं बराबर लंबाई की हों (b) चार समकोण हों
(a) वह चतुर्भुज जिसकी चरों भुआजों की लंबाई बराबर हो वो या तो वर्ग है या समचतुर्भुज है।
(b) वह चतुर्भुज जिसके चरों कोण समकोण हैं या तो वर्ग है या आयत है।
बताइए कैसे एक वर्ग
(i) एक चतुर्भुज (ii) एक समांतर चतुर्भुज (iii) एक सम चतुर्भुज
(iv)एक आयत
(i) एक वर्ग की चार भुजाएँ होती हैं। इसलिए यह एक चतुर्भुज है।
(ii) एक वर्ग की सम्मुख भुजाओं का युग्म समांतर होता है, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, इसलिए यह एक सम चतुर्भुज है।
(iv) एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है, इसलिए यह एक आयत है।
एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण
(i) एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (ii) एक दूसरे पर लंब समद्विभाजक हो
(iii) बराबर हों
(i) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, वह या तो समांतर चतुर्भुज या सम चतुर्भुज, या वर्ग या आयत हो सकता है।
(ii) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे पर लंब समद्विभाजक हों या तो सम चतुर्भुज है या वर्ग है।
(iii) एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर हैं वह या तो वर्ग, या आयत हो सकता है।
बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज कैसे है?
(i) एक आयत के प्रत्येक कोण का माप से कम है।
(ii) आयत के दोनों विकर्ण पूरी तरह अंदर ( अभ्यंतर ) होता है।
इसलिए आयत एक उत्तल चतुर्भुज है।
ABC एक समकोण त्रिभुज है और 'O' समकोण की सम्मुख भुजा का मध्य बिंदु है। बताइए कैसे 'O' बिंदु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है। ( बिंदुओं से चिह्नित अतिरिक्त भुजाएँ आपकी सहायता के लिए खींची गई हैं )
BO को D तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BO = OD है। AD और DC को मिलाइए। इस प्रकार प्राप्त ABCD एक आयत है। इस आयत ABCD में, इसके विकर्ण AC तथा BD बराबर हैं तथा एक-दूसरे को O पर काटते हैं।
OA = OC तथा OB = OD
AC = BD
OA = OB = OC
अत: O बिंदु A, B तथा C से बराबर दूरी पर है।
एक राजमिस्त्री एक पत्थर की पट्टी बनता है। वह इसे आयताकार बनाना चाहता है। कितने अलग-अलग तरीकों से उसे यह विश्वास हो सकता है कि यह आयताकार है।
(i) यदि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
(ii) यदि इसके विकर्ण बराबर हैं।
(iii) यदि इसकी प्रत्येक कोण का है।
वर्ग को आयत के रूप में परिभाषित किया गया था जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। क्या हम उसे सम चतुर्भुज के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जिसके कोण बराबर माप के हों? इस विचार को स्पष्ट कीजिए।
हाँ, सम सम चतुर्भुज के रूप में वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं। एक सम चतुर्भुज जिसके कोण बराबर माप के हों, वर्ग है क्योंकि कोण बराबर माप के होते ही प्रत्येक कोण 
का हो जाता है। इस प्रकार सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की तथा सभी कोण 
माप की हैं। इसलिए यह एक वर्ग है।
क्या एक समलंब के सभी कोण बराबर माप के हो सकते हैं? क्या इसकी सभी भुजाएँ बराबर हो सकती हैं? वर्णन कीजिए।
हाँ, जब समलंब के सभी कोण बराबर माप के हो जाते हैं तब वह या तो आयत है या वर्ग होता है।
हाँ, जब संबलब की सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं तब वह या तो सम चतुर्भुज होता है या वर्ग होता है।
यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं:
प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए:
(a) साधारण वक्र (b) साधारण बंद वक्र (c) बहुभुज
(d) उत्तल बहुभुज (e) अवतल बहुभुज
(a) साधारण वक्र: (i), (ii), (v), (vi) और (vii)
(b) साधारण बंद वक्र: (i), (ii), (v), (vi) और (vii)
(c) बहुभुज: (i), (ii) और (iv)
(d) उत्तल बहुभुज: (ii)
(e) अवतल बहुभुज (i) और (iv)
निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं?
एक उत्तल चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं।
n भुजाओं के बहुभुज में विकर्णों की संख्या = 
उत्तल चतुर्भुज में भुजाओं की संख्या (n) = 4
∴ विकर्णों की संख्या = 
= 
= 
= 2
एक समषड्भुज में नौ विकर्ण होते हैं।
n भुजाओं के बहुभुज में विकर्णों की संख्या = 
एक समषड्भुज में भुजाओं की संख्या (n) = 6
एक त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं होता है।
एक त्रिभुज में भुजाओं की संख्या (n) =3
n भुजाओं के बहुभुज में विकर्णों की संख्या = 
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज, उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा? (एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल न हो और प्रयास कीजिए।)
उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योग 
होता है। हाँ, यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो भी यह गुण लागू होगा।
एक सम षड्भुज लीजिए
बाह्य कोणों x, y, z, p, q तथा r की मापों का योग क्या है?
( ∵ बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 
)
एक सम षड्भुज लीजिए
क्या x = y = z = p = q = r है? क्यों?
बहुभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं
यह एक सम षड्भुज है
इसलिए, इसके आंतरिक कोण बराबर हैं
∴ x = y = z = p = q = r
एक सम षड्भुज लीजिए
प्रत्येक की माप क्या है?
(i) बाह्य कोण
बाह्य कोणों का योग = 
, और इसके सभी कोण बराबर है
प्रत्येक बाह्य कोण = 
एक सम षड्भुज लीजिए:
प्रत्येक की माप क्या है?
अंत:कोण
∵ बाह्य कोण = 
∴ 
= अंत:कोण
= अंत:कोण
अंत:कोण = 
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इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ
इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ
एक सम 20 भुज
20 भुज में भुजाओं की संख्या (n) = 20
∴ प्रत्येक बाह्य कोण = 
प्रत्येक अंत:कोण = 
एक सम षड्भुज लीजिए
इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ
एक सम अष्टभुज
एक सम अष्टभुज में भुजाओं को संख्या (n) = 8
∴ प्रत्येक बाह्य कोण 
अंत:कोण = 
क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) 
एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज में,
∴ 
= संगत कोण = 
∴ यह आवश्यक नहीं है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज हो।
क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
एक ABCD समांतर चतुर्भुज में
∵ सम्मुख कोण 
∴ यह समांतर चतुर्भुज नहीं है।
एक चतुर्भुज की कच्ची ( Rough ) आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो।
यह आकृति में पतंग जैसी है।
किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
∴ 
∴ 3x + 2x = 
5x = 
x = 
∴ 
∵ सम्मुख कोण बराबर होते हैं
∴ 
∴ 
दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।
RISK एक समांतर चतुर्भुज है
∴ 
ESO में
बताइए कैसे यह आकृति एक समलंब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं?
अंत:कोण संपूरक होते है।
∴ 
(∵ यदि अंत:कोण सम्मुख हो और संपूरक हो)
समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।
आपको एक समलंब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए)
यहाँ पर कौन सी भुजाएँ समांतर हैं? क्या असमांतर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलंब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूंढ़िए और उनकी आकृतियों कि चर्चा कीजिए।
दो समान समांतर चतुर्भुजों के कटे हुए भाग A'B'C'D' तथा लीजिए
यहाँ पर भुजा 
, भुजा 
के समान है परंतु इनके नाम अलग-अलग हैं। इसी प्रकार, दूसरी संगत भुजाएँ भी समान हैं।
को 
के ऊपर रखिए। क्या वे एक दूसरे को पूर्णतया ढकती हैं? अब आप 
तथा 
की लंबाई के बारे में क्या कह सकते हैं?
इसी प्रकार 
तथा 
की लंबाई की जाँच कीजिए। आप क्या पाते हैं?
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।
क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm और BC = 4.4 cm?
क्योंकि 
यानि सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD समांतर चतुर्भुज नहीं होगा।
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[ संपूरक कोण हैं ]
ज्ञात कीजिए यदि 
है।
इनको प्रतिच्छेदित करता है।
(∵ 
)
की मापों का योगफल 
हो जाता है।
एक ही बिंदु पर मिलें जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। आप 
के योगफल के बारे में क्या कह सकते हैं?
इत्यादि से तथा उनकी मापों को 
इत्यादि से दर्शाते हैं ]
पर विचार कीजिए। हम देखते हैं कि 
; इसी प्रकार, 
, से 
से 
और इसका उपयोग करके कुल माप 
ज्ञात कीजिए। क्या यह आप को परिणाम तक पहुँचाने में सहायता करता है? याद रखिए, 
है।
की माप ज्ञात कीजिए यदि 
है। (यदि आप 
ज्ञात करते हैं, तो क्या 
को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है?
