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वास्तविक संख्याएँ
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता हैl
[ संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक हैl तब, यह 3q, 3q+ 1, या 3q + 2 के लिखा जा सकता हैl इन में से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता हैl ]
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, q भागफल है, r शेषफल है
तब a = bq + r जहाँ q और r भी धनात्मक पूर्णांक है और 0 ≤ r < b
b = 3, हमें प्राप्त होता है
a = 3q + r; जहाँ 0 ≤ r < 3
जब, r = 0 = ⇒ a = 3q
जब, r = 1 = ⇒ a = 3q + 1
जब, r = 2 = ⇒ a = 3q + 2
अब हम यह दर्शाएगें की धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3q, 3q + 1 और 3q + 2 की तरह से लिखा जा सकता है 3m or 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए
⇒ 3q = (3q)2
= 9q2 = 3(3q2) = 3 m जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 1 = (3q + 1)2
= 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2 q) + 1
= 3m +1, जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 2 = (3q + 2)2
= (3q + 2)2
= 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3(3q2 + 4q + 1)+ 1
= 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए
∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप में होता हैl
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निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
140
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
156
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
3825
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
5005
पूर्णांकों ले निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM हैl
26 और 91
पूर्णांकों के निम्नलिखित यग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF क्ष LCM होता है
510 और 92
पूर्णांकों के निम्नलिखित यग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF क्ष LCM होता है
336 और 54
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांक के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:
12, 15 और 21
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांक के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:
17, 23 और 29
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