Wiredfaculty Logo

For Daily Free Study Material Join wiredfaculty Whatsapp Group | Download Android App | Ncert Book Download

गणित Chapter 10 वृत्त

    • NCERT Solution For Class 9 गणित गणित

    वृत्त Here is the CBSE गणित Chapter 10 for Class 9 students. Summary and detailed explanation of the lesson, including the definitions of difficult words. All of the exercises and questions and answers from the lesson's back end have been completed. NCERT Solutions for Class 9 गणित वृत्त Chapter 10 NCERT Solutions for Class 9 गणित वृत्त Chapter 10 The following is a summary in Hindi and English for the academic year 2021-2022. You can save these solutions to your computer or use the Class 9 गणित.

    Question 8
    CBSEHHIMAH9004446
    Wired Faculty App

    याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृतों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।  
    Solution

    ज्ञात है: दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र A और B तथा जीवा PQ = जीवा RS
    सिद्ध करना है: angle PAQ space equals space angle RBS
    प्रमाण:  increment APQ और  increment BRS thin space में,
             AP = BR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
             AQ = BS (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
             PQ = RS     (ज्ञात है)

    ∴ increment APQ space approximately equal to space increment BRS   [SSS नियम द्वारा]
    अत: angle PAQ space equals space angle RBS  [CPCT]

     

    Question 9
    CBSEHHIMAH9004447
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए की सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
    Solution
    ज्ञात है: दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं। दो जीवाएँ PQ और RS इस प्रकार हैं कि
                     angle PAQ space equals space angle RBS
    सिद्ध करना है:
    जीवा PQ =  जीवा RS
    प्रमाण: increment PAQ और increment RBS में
                AP = BR (एक ही वृत्त की जीवाएँ)
                AQ = BS (एक ही वृत्त की जीवाएँ)
             angle PAQ space equals space angle RBS (ज्ञात है)
    इस प्रकार,
                   increment PAQ space approximately equal to space space increment RBS       (SAS नियम)
    अत:             PQ = RS              (CPCT)

         


     
    Question 10
    CBSEHHIMAH9004448
    Wired Faculty App

    वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिंदुओं की 
    अधि कतम संख्या क्या है?

    Solution

    (i)
     
    (ii)

    (iii)

    आकृति (i) में, दो वृत्तों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
    आकृति (ii) में, दो वृत्तों एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।     
    ∴ इनका केवल उभयनिष्ठ बिंदु है।
    आकृति (iii) में, दो वृत्त एक-दूसरे को को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
    अत: उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या = 2 हैं।
         

     
     

    Question 11
    CBSEHHIMAH9004449
    Wired Faculty App

    मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया गया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।   
    Solution
    रचना के पद:

    (i) जीवा AB और BC खींचो।
    (ii) जीवा AB का लम्ब समद्विभाजिक 'l' खींचो। 
    (iii) जीवा BC का लम्ब समद्विभाजिक 'm' खींचो।
    (iv) माना l और m का प्रतिच्छेदी बिंदु O है।
    इस प्रकार अभीष्ट केंद्र O है।
        
    Question 12
    CBSEHHIMAH9004450
    Wired Faculty App

    यदि दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजिक पर स्थित हैं।

    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त, जिनके केंद्र O तथा O' हैं, परस्पर बिंदुओं A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं।AB उभयनिष्ठ जीवा है। AB का मध्यबिंदु M है।

    सिद्ध करना है: OO', AB का लम्ब समद्विभाजिक है।
    प्रमाण: हम जानते हैं कि एक जीवा के मध्यबिंदु और केंद्र को मिलाने वाला रेखाखण्ड जीवा पर लम्ब होता है।
    ∴       angle OMA space equals space 90 degree
    और      angle straight O apostrophe MA space equals space 90 degree
    अब,    angle OMA plus angle straight O apostrophe MA space equals space 90 degree plus 90 degree space equals space 180 degree
    परन्तु यह एक रैखिक युग्म है।
    इसलिए OMO' एक सरल रेखा है।
    अत:   OO', AB पर लम्ब समद्विभाजिक है।
     

        
      
    Question 13
    CBSEHHIMAH9004451
    Wired Faculty App

    5 cm तथा  3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनको केंद्रों के बीच की दूरी 4cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमश: 5 cm तथा 3 cm हैं, परस्पर A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। PQ = 4 cm. जबकि P तथा Q दोनों वृतों के केंद्र हैं।

    ज्ञात करना हैं: उभयनिष्ठ जीवा AB की लम्बाई।
    प्रमाण: चूँकि P और Q वृत्तों के केंद्र हैं इसलिए PQ = 4 cm
    अब, केंद्र P और त्रिज्या = 5 cm लेकर एक वृत्त खींचो।
    पुन: केंद्र Q और त्रिज्या = 3 cm लेकर दूसरा वृत्त खींचो, जैसा कि आकृति में दिखाया गया हैं।
    माना A और B को मिलाने वाला रेखाखण्ड PQ को R पर प्रतिच्छेद करता है।
    अब   AR = RB  और  AB space perpendicular space PQ
    माना  QR = x, अब  AP = 5 cm और AQ = 3 cm
    increment ARP में,  AR squared space equals space 5 squared minus left parenthesis 4 minus straight x right parenthesis squared
    और समकोण  increment ARQ में
                        AR squared space equals space 3 squared minus straight x squared
            therefore space space space space space space space space space space space space space 5 squared minus left parenthesis 4 minus straight x right parenthesis squared equals space 3 squared minus straight x squared space space space space space 25 minus left parenthesis 16 plus straight x squared minus 8 straight x right parenthesis space equals space 9 minus straight x squared space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 9 minus straight x squared plus 8 straight x space equals 9 minus straight x squared space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 8 straight x space space equals space 0 space rightwards double arrow space space straight x space equals space 0 
    इस प्रकार Q और R संपाति हैं।
    therefore space space space space AR space equals space space 3 space cm space space space space space space space space AB space equals space 2 space cross times space AR space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 2 space cross times space 3 space equals space 6 space cm.
    अत:    AB = 6cm.

     

     
    Question 14
    CBSEHHIMAH9004452
    Wired Faculty App

    यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर हैं।
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है। जीवा AB = जीवा CD है जो कि E पर प्रतिच्छेद करती हैं। OM perpendicular AB comma ON perpendicular CD और OE कों मिलाया गया है।

    सिद्ध करना है: AE = DE और  CE = BE.
    प्रमाण: increment OME और increment ONE में
                OE = OE            (उभयनिष्ठ)
                 OM  = ON
                  (समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती है)
                    angle OME space equals space angle ONE
                                       (प्रत्येक = 90 degree, ज्ञात हैं)
    इस प्रकार             increment OME space approximately equal to space increment ONE       (R.H.S. नियम)
    इसलिए                   ME = NE            ...(i) (CPCT)
    अब,                       AM space equals space 1 half AB
    और                        DN equals space 1 half CD
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है)
    परन्तु                 AB = CD            (ज्ञात है)
    ∴                      AM = DN              ...(ii)
    (i) और (ii) को जोड़ने पर,
               ME + AM = NE + DN
     अत:              AE = DE
    इस प्रकार,        CE = BE
     
     
     

                                                                     
    Question 15
    CBSEHHIMAH9004453
    Wired Faculty App

    यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, में जीवा AB  = जीवा CD जो कि पर प्रतिच्छेद करती हैं। OE को मिलाया गया है।
    सिद्ध करना है: angle OEA space equals space angle OED
    रचना: OP perpendicular AB और  OQ space perpendicular space CD खींचो।
    प्रमाण: increment OPE space और increment OQE में,
    OE = OE (उभयनिष्ठ)
    OP = OQ
    (समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती है)

    angle OPE space equals space angle OQE
    (प्रत्येक = 90 degree रचना से)
    इस प्रकार,     increment OPE space approximately equal to space space space increment OQE         (RHS  नियम)
    अत:             angle OEP space approximately equal to space space angle OEQ
    या               angle OEA space equals space angle OED
     

         
    Question 16
    CBSEHHIMAH9004454
    Wired Faculty App

    यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए:
    Solution

    दो सकेंद्रीय वृत्त जिनका केंद्र O है। एक रेखा इन दो वृत्तों को A, B, C और D पर प्रतिछेद करती हैं।

    सिद्ध करना है: AB = CD
    रचना: OM perpendicular BC खींचों।
    प्रमाण: चूँकि BC छोटे वृत्त की एक जीवा है और OM space perpendicular space BC.
    ∴            BM = CM           ...(i)
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।)
    पुन:   AD बड़े वृत्त की एक जीवा है और OM perpendicular AD
    ∴           AM = BM            ...(ii)
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब इसे समद्विभाजित करता है।)
    (ii) में (i) को घटाने पर, 
             AM - BM  = DM - CM
    अत:     AB = CD 
         
      

     
      
     

    Question 18
    CBSEHHIMAH9004456
    Wired Faculty App

    20 m त्रिज्या का गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दुरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या = 20m और केंद्र O है।  
             AB = BC = CA
    ज्ञात करना है: किन्हीं दो बच्चों के बीच की दूरी।

    हल के पद: माना AB = BC = CA = x मीटर
    AOD perpendicular BC खींचों।
    अब,   BD space equals space straight x over 2
     पाइथागोरस प्रमेय से,
                OD squared space equals space OB squared minus BD squared 10 squared space equals space left parenthesis 20 right parenthesis squared minus left parenthesis straight x divided by 2 right parenthesis squared 100 space equals space 400 minus straight x squared over 4
                straight x squared over 4 space equals space 300
    rightwards double arrow space space space straight x squared space equals space 1200 space space space space space space space space space straight x space equals space square root of 1200 space equals space 20 square root of 3 space straight m
     अत: प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई = 20 square root of 3 straight m.


    Question 19
    CBSEHHIMAH9004457
    Wired Faculty App

    आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि angle BOC space equals space 30 degree तथा  angle AOB space equals space 60 degree है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु हैं , तो angle ADC ज्ञात कीजिए।
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त जिसका केंद्र है। A, B, C वृत्त पर इस प्रकार स्थित हैं कि:
                         angle AOB space equals space 60 degree
    और               angle BOC space equals space 30 degree
    ज्ञात करना हैं:  angle ADC 
    हल के पद: हम जानते हैं कि:
                        angle AOC space equals space angle AOB space plus space angle BOC space space space space space space space space space space space space space space space equals space 60 degree plus 30 degree space equals space 90 degree
    हम यह भी जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग में अंतरित कोण से दोगुना होता है।
    ∴                         angle AOC space equals space 2 angle ADC
    या                        angle ADC space equals space 1 half angle AOC
    या                          angle ADC space equals space 1 half cross times 90 degree space equals space 45 degree
    अत:                   angle ADC space equals space 45 degree

         

    Question 20
    CBSEHHIMAH9004458
    Wired Faculty App

    किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, जिसमें जीवा AB = वृत्त की त्रिज्या।
    ज्ञात करना है: angle APB और angle AQB.

    हल के पद: increment AOB में,
                         OA = OB = AB
    ∴   increment AOB एक समबाहु त्रिभुज है। 
     therefore space space space angle AOB space equals space 60 degree
    दीर्घ चाप AQB के लिए, चाप AB, केंद्र पर  angle AOB space equals space 60 degree और शेष भाग में angle AQB अंतरित करती है।
    therefore space space space angle QQB space equals space 1 half angle AOB space equals space 1 half cross times 60 degree space equals space 30 degree
    इसी प्रकार लघु चाप AB केंद्र पर बृहत् कोण angle AOB space शेष भाग में angle APB अंतरित करती है।
    therefore space space space space space space space angle APB space equals space 1 half cross times space ब ृ हत ् space space angle AOB
                       equals space 1 half cross times space left parenthesis 360 degree space minus space 60 degree right parenthesis equals space 1 half cross times space 300 degree space equals space 150 degree
    अत:       angle APB space equals space 150 degree और angle AQB space equals space 30 degree
     

     
    Question 21
    CBSEHHIMAH9004459
    Wired Faculty App

    आकृति में, angle PQR space equals space 100 degree, जहाँ P, Q और R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु है। angle OPR ज्ञात कीजिए। 

    Solution

    यह ज्ञात है की एक वृत्त, जिसका केंद्र O है। आकृति में दर्शाये गए अनुसार P, Q, और R   वृत्त पर स्थित हैं। चाप  PQR केंद्र पर angle POR और शेष भाग में angle PQR अंतरित करती हैं।
    ∴  प्रतिवर्ती               angle POR space equals space 2 angle PQR
                                          equals 2 cross times 100 space equals space 200 degree
    अब                    angle POR space equals space 360 degree space minus space 200 degree space equals space 160 degree
    increment OPR में,   OP = OR   [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
    ∴          angle OPR space equals space angle ORP 
                              [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
    अब,   angle OPR space plus angle ORP plus angle POR space equals space 180 degree
    या           2 angle OPR space plus space 160 degree space equals space 180 degree
    या                          2 angle OPR space equals space 20 degree
      अत:                       angle OPR space equals space 10 degree

     
                            
      

    Question 22
    CBSEHHIMAH9004460
    Wired Faculty App

    आकृति में, angle ABC space equals space 69 degree और angle ACB space equals space 31 degree तो angle BDC ज्ञात कीजिए।
    Solution
    increment ABC में,
    angle straight A plus angle ABC plus angle ACB space equals space 180 degree [increment के कोणों का योग]
    परन्तु       angle ABC equals space 69 degree
    और         angle ACB space equals space 31 degree   (ज्ञात है)
    ∴     angle straight A plus 69 degree plus 31 degree space equals space 180 degree
    या         angle straight A space plus space 100 degree space equals space 180 degree
    या            angle straight A space equals space 80 degree
    परन्तु        angle straight A equals space angle straight D    
                                     [एक ही वृत्तखंड के कोण]
    अत:         angle straight D space equals space 80 degree

     
     
    Question 23
    CBSEHHIMAH9004461
    Wired Faculty App

    आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि angle BEC space equals space 130 degree तथा angle ECD space equals space 20 degree हैं। angle BAC ज्ञात कीजिए।

    Solution
    ज्ञात है: बिंदु A, B, C और D एक वृत्त पर स्थित है। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि angle BEC space equals space 130 degree और angle ECD space equals space 20 degree.
    ज्ञात करना है: angle BAC
    हल के पद: increment CDE में, बाह्राकोण CEB है।
    ∴            angle ECD space plus space angle straight D space equals space angle CEB
    या            20 degree space plus space angle straight D space equals space 130 degree 
    या                      angle straight D space space equals space 130 degree space minus space 20 degree space equals space 110 degree
    परन्तु                  angle BAC space equals space angle straight D
                                         [एक ही वृत्तखंड के कोण]
    अत:  angle BAC space equals 110 degree
      
                                  


    Question 24
    CBSEHHIMAH9004462
    Wired Faculty App

    ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि angle DBC space equals space 70 degreeऔर  angle BAC space equals space 30 degree हो, तो angle BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो angle ECD ज्ञात कीजिए।
    Solution
    ज्ञात है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। भाग I में angle DBC space equals space 70 degree comma space space space angle BAC space equals space 30 degree
    ज्ञात करना है: angle BCD का मान।

    चूँकि     angle DBC space equals space angle DAC
    [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
    परन्तु   angle DBC space equals space 70 degree (ज्ञात है)
    ∴            angle DAC space equals space 70 degree
    अब,         angle BAD space equals space 30 degree plus 70 degree space equals space 100 degree
    angle BAD और angle BCD एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं। 
    इस प्रकार angle BAD plus angle BCD space equals space 180 degree
    या    100 degree plus angle BCD space equals space 180 degree
    या         angle BCD space equals space 180 degree minus 100 degree space equals 80 degree
    भाग 2:   AB = BC
    हल:  angle ECD ज्ञात करना है।
    increment ABC में,     AB = DC    (ज्ञात है)
    therefore space space space space space space angle BAC space equals space angle BCA
                   [समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान हैं]
    परन्तु         angle BAC space equals space 30 degree
    इस प्रकार,    angle BCA space equals space 30 degree
    हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं।
                      angle BCD space equals space 80 degree
    परन्तु           angle BCD space equals space angle BCA plus angle ECD
    या                 80 degree space equals space 30 degree space plus space angle ECD
    या          angle ECD space equals space 80 degree space minus space 30 degree space equals space 50 degree
    अत:       angle BCD space equals space 80 degree space और  angle ECD space equals space 50 degree


     
          



         
     
       


    Question 25
    CBSEHHIMAH9004463
    Wired Faculty App

    यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है। 
    Solution
    ज्ञात है: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O वृत्त का केंद्र भी है। 
    सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।

    प्रमाण: angle ADB space equals space 90 degree comma space space angle ABC space equals space 90 degree
                                           [अर्धवृत्त में बना कोण]
              angle BCD space equals space 90 degree comma space space angle CDA space equals space 90 degree
                                            [अर्धवृत्त में बना कोण]
    अत:  ABCD एक आयत है। 
                                             
     
    Question 26
    CBSEHHIMAH9004464
    Wired Faculty App

    यदि एक समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए की वह चक्रीय है।
    Solution
    ज्ञात है: ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD और AD = BC है। AB < CD भी है।

    सिद्ध करना है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
    रचना: AM perpendicular CD thin space और BN perpendicular CD खींचों।
    प्रमाण: increment AMD और increment BNC में,
                 AD = BC             (ज्ञात है)
                 AM = BN  
                          [दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी]
                       angle AMD space equals space angle BNC
                                          (रचना से प्रत्येक = 90 degree)
    अब,                 increment AMD space approximately equal to space space increment BNC              [RHS नियम]
    इस प्रकार  angle straight C space equals space angle straight D
    परन्तु दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा के एक ही ओर कोण संपूरक होते हैं।
    ∴ angle BAD space plus space angle straight D space equals space 180 degree
       angle BAD space plus space angle straight C space equals space 180 degree
    परन्तु angle BAD और angle straight C चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं। अत: चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।  

      
     
      
    Question 27
    CBSEHHIMAH9004465
    Wired Faculty App

    दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PQD वृतों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं। सिद्ध कीजिए कि angle ACP space equals space angle QCD है। 
    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जो परस्पर B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु B से दो रेखाखण्ड ABD और PBQ इस प्रकार खींचे गए हैं कि वे वृतों को क्रमश:A, D और P तथा Q पर काटते हैं।
    सिद्ध करना है: angle ACP space equals space angle QCD
    प्रमाण: बड़े वृत्त में, angle ACP space equals space angle ABP              ...(i)
                                        [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
    और           angle ABP space equals space angle DBQ 
                                         [शीर्षाभिमुख कोण]
    (i) और (ii) से
                       angle ACP space equals space angle DBQ
    छोटे वृत्त में,
                angle DBQ space equals space angle QCD
                                  [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
    (iii) और (iv) से
                   angle ACP space equals space angle QCD
                                 
                            
                      
                                 
                                             
         
    Question 28
    CBSEHHIMAH9004466
    Wired Faculty App

    यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृतों का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है। 
    Solution
    ज्ञात है: एक त्रिभुज ACD जिसमें AC और AD को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं। CB और BD को मिलाइए।

    सिद्ध करना है: B, C और D संरेख हैं।
    प्रमाण: वृत्त - I का AC एक व्यास है। 
    therefore space space angle ABC space equals space 90 degree                       ...(i)
                                              [अर्धवृत में बना कोण]
    वृत्त - II में AD एक व्यास है।              
    ∴    angle ABD space equals space 90 degree 
                        [अर्धवृत में बना कोण] 
    (i) और (ii) से
    angle ABC plus angle ABD space equals space 90 degree plus 90 degree space equals space 180 degree
    इसलिए angle ABC और  angle ABD एक रैखिक युग्म है।
    अत: B, C और D संरेख हैं अर्थात् बिंदु B भुजा CD पर स्थित हैं।


     
      
    Question 29
    CBSEHHIMAH9004467
    Wired Faculty App

    उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि angle CAD space equals space angle CBD है।
    Solution
    ज्ञात है: दो समकोण increment ABC और increment ADC उभयनिष्ठ कर्ण AC पर खींचे गए हैं।

    प्रमाण: angle ADC space equals space 90 degree                (ज्ञात है)
             angle ABC space equals space 90 degree                (ज्ञात है)  
    ∴ जो कि एक समकोण है। अत: यह एक अर्धवृत में बना कोण है अर्थात् एक वृत्त बिंदुओं B और D से होकर जाता है जिसका व्यास AC है।
    अब  CD वृत्त कि एक जीवा है।
    अत:  angle CAD space equals space angle CBD
                                     [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
     

    Question 30
    CBSEHHIMAH9004468
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए की चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
    Solution
    ज्ञात है: एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
    सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
    प्रमाण: angle straight B space equals space angle straight D 
                                     [||gm की सम्मुख भुजाएँ]

    इसलिए  angle straight B plus angle straight B space equals space 180 degree 
    या          2 angle straight B space equals space 180 degree
    या             angle straight B space equals space 90 degree
    अत:  ABCD एक आयत है। 

      
    Question 31
    CBSEHHIMAH9004469
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी वृतों के केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।
    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
    सिद्ध करना है: angle ACB space equals space angle ADB
    रचना: C और D को मिलाओ ताकि यह AB को O पर मिले।
    प्रमाण: A केंद्र वाले वृत्त में 
                          AC = CD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

    ∴                   angle ACO space equals space angle ADO               ...(i)
                                        [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
    B केंद्र वाले वृत्त में,
                     BC = CD  [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
     ∴          angle BCO space space equals space angle BDO
                                            [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
    (i) और (ii) को जोड़ने पर,
       angle ACO space plus space angle BCO space equals space angle ADO space plus space angle BDO
    अत:       angle ACB space equals space angle ADB
                              

     

    Question 32
    CBSEHHIMAH9004470
    Wired Faculty App

    एक वृत्त की 5 cm तथा 11 cm दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में  स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
    Solution

    O, वृत्त का केंद्र और AB = 5 सेमी, तथा CD = 11  सेमी है। 
         OL space perpendicular space AB तथा  OM space perpendicular space CD खींचों।
    चूंकि केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
       इसलिए    OL = 2.5 cm
    और           CM = 5.5 cm
    माना वृत्त की त्रिज्या r है। 
     increment ALO में,     straight r squared space equals space straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared                          ...(i)
    increment CMO में,     straight r squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared                    ...(ii)
    (i) और (ii) से
                         straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared
    या               straight x squared plus 6.25 space equals space 36 plus straight x squared minus 12 straight x plus 30.25
    या                        6.25 space equals space 36 minus 12 straight x plus 30.25
    या                       12 straight x space equals space 66.25 space minus space 6.25
    या                       12x = 60
    या                           x = 5
    ∴                              straight r squared space equals space left parenthesis 5 right parenthesis squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared
    या                             straight r squared space equals space 25 plus 25 over 4
                                     straight r squared space equals space 125 over 4
                                 straight r space equals space fraction numerator 5 square root of 5 over denominator 2 end fraction cm



               

        

    Question 33
    CBSEHHIMAH9004471
    Wired Faculty App

    किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयों 6cm और 8cm हैं। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4cm की दुरी पर हो, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूर है?
    Solution

    ज्ञात है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है। जीवा AB = 6cm,  CD = 8 cm है।
          OP perpendicular AB और OQ perpendicular CD
                           AP = 3 cm
                           OP = 4 cm
    माना                  OQ = x
    माना                  त्रिज्या  = r cm

    increment AOP में,  straight r squared space equals space 4 squared plus left parenthesis 3 right parenthesis squared
    rightwards double arrow space space space space space space space straight r squared space equals space 25 rightwards double arrow space space space space space space space space space straight r space equals space 5
    अब  increment OCQ में,  straight r squared space equals space straight x squared plus 4 squared
    या      5 squared space equals space straight x squared plus 4 squared
    या      25 space equals space straight x squared plus 16
    या       straight x squared space equals space 9
    या       straight x equals square root of 9 equals 3
    अत: केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी = 3 cm.


             
                  
       

    Question 34
    CBSEHHIMAH9004472
    Wired Faculty App

    मान लीजिए की कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि angle BAC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।
    Solution
    ज्ञात है: angle BAC का शीर्ष B वृत्त से बाहर है। 
    चाप AD = चाप CE
    सिद्ध करना है: angle ABC space equals space 1 half left square bracket angle DOE minus angle AOC right square bracket
    प्रमाण: माना  angle AOC space equals space straight x space और space space angle DOE space equals space straight y

    माना             angle AOD space equals space straight z
    अब,            angle EOC space equals space straight z
    तथा       x + y + 2z = 360 degree
     ∴                2 straight z space equals space 360 degree space minus space left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis
                            straight z equals 180 degree minus 1 half left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis   ...(i)
                         angle ODB space equals space angle OAD plus angle DOA space space space space space space space space space space space space space space equals 90 degree minus 1 half straight z plus straight z space
                                    equals 90 degree plus 1 half straight z
    और               angle OEB space equals space 90 degree plus 1 half straight z
                                         open square brackets because angle ODB space equals space angle OEB close square brackets
    अब चतुर्भुज BDOE में,
           angle straight B plus straight y plus angle ODB plus angle OEB space equals 360 degree
    rightwards double arrow space angle straight B plus straight y plus left parenthesis 90 degree plus straight z over 2 right parenthesis plus left parenthesis 90 degree plus straight z over 2 right parenthesis space equals space 360 degree rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus 180 degree plus straight z space equals space 360 degree rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus straight z space equals space 360 degree minus 180 degree rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus straight z space equals space 180 degree space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis ii right parenthesis
    (i)  और  (ii) से,
                 angle straight B plus straight y plus 180 degree minus 1 half left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space angle straight B plus straight y minus straight x over 2 minus straight x over 2 equals space 180 degree minus 180 degree
    rightwards double arrow space space space space angle straight B plus straight x over 2 minus straight y over 2 space equals space 0 rightwards double arrow space space space space angle straight B space equals space 1 half straight x minus 1 half straight y rightwards double arrow space space angle ABC space equals space 1 half left parenthesis straight x minus straight y right parenthesis य ा space space space space angle ABC space equals space 1 half left square bracket angle DOE space minus space angle AOC right square bracket.

     
     

     
    Question 35
    CBSEHHIMAH9004473
    Wired Faculty App

    सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है। 
    Solution
    ज्ञात है: एक समचतुर्भुज ABCD जिसमें AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है। विकर्ण AC और BD परस्पर O पर काटते हैं।
    सिद्ध करना है: वृत्त बिंदु से होकर जाता है।

    प्रमाण: चूँकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। 
                              therefore space space space space angle AOB space equals space समक ो ण space
    therefore  O,  वृत्त की परिधि पर स्थित है। 
    अर्थात् वृत्त बिंदु से होकर जाता है। 

     
    Question 36
    CBSEHHIMAH9004474
    Wired Faculty App

    ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो, तो बढ़ा कर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है। 
    Solution
    ज्ञात है: ABCD एक ||gm है। एक वृत्त बिंदुओं A, B और C से होकर जाता है जो कि CD को (बढ़े हुए CD को) बिंदु  E पर प्रतिच्छेद करता है।

    सिद्ध करना है: AE = AD
    रचना: A और E को मिलाओ।
    प्रमाण: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
    therefore space space angle AED space plus space angle ABC space equals space 180 degree               ...(i)
    अब, EDC एक सरल रेखा है।
    therefore space space space angle ADE space plus space angle ADC space equals space 180 degree
    या        angle ADE space plus space angle ABC space equals space 180 degree          ...(ii)
                             [∵ angle ADC space equals space angle ABC ||gm के सम्मुख कोण]
    (i) और (ii) की तुलना करने पर, 
                    angle AED space plus space angle ABC space equals space angle ADE plus angle ABC
    या               angle AED space equals space angle ADE
    चूँकि  increment AED में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान हैं।
    अत:    AE = AD
      
                 
     
     
      
    Question 37
    CBSEHHIMAH9004475
    Wired Faculty App

    AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि: 
    (i) AC और  BD व्यास हैं। 
    (ii) ABCD एक आयत है।  
    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त की दो जीवाएँ AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करती हैं। 
    सिद्ध करना है: (i) AC और  BD व्यास हैं।
    (ii) ABCD एक आयत हैं।

    प्रमाण: (i) increment AOB और increment OCD में, 
                      OA = OC (ज्ञात है)
                      OB = OD (ज्ञात है)
    therefore space space space space space space space angle AOB space equals space angle COD (शीर्षाभिमुख कोण)
    therefore space space space space increment OAB space approximately equal to space space increment OCD    (SAS नियम)
    therefore         AB = CD   (CPCT)
    इसलिए,          AB with overparenthesis on top space equals space CD with overparenthesis on top
                             (समान जीवाओं की समान चापें)
     AB with overparenthesis on top space plus space BC with overparenthesis on top space equals space CD with overparenthesis on top space plus space BC with overparenthesis on top ABC with overparenthesis on top space equals space BCD with overparenthesis on top AC space equals space BD
                        (समान चापों की संगत जीवाएँ)
     therefore  AC  और BD वृत्त के व्यास हैं।
                    [because space spaceकेवल व्यास ही परस्पर समद्विभाजित होते है]
    (ii)  चूँकि  AB = CD       [ऊपर सिद्ध किया है]
    और विकर्ण  AC व BD समान हैं और परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
    अत: ABCD एक आयत है।   
     

                                        
     


    Question 38
    CBSEHHIMAH9004476
    Wired Faculty App

    एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B, और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमश: D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए त्रिभुज DEF के कोण 90 degree minus 1 half straight A comma space space 90 degree minus 1 half straight B comma space space space तथ ा space space 90 degree minus 1 half straight C हैं। 
    Solution

    ज्ञात हैं:     एक increment ABC जिसमें angle straight A comma space space angle straight B तथा angle straight C के समद्विभाजक क्रमश: AD, BE और CD हैं।
    सिद्ध करना है: angle straight D space equals space 90 degree minus straight A over 2
                         angle straight E space equals space 90 degree minus straight B over 2 angle straight F space equals space 90 degree minus straight C over 2
    प्रमाण: आकृति में दर्शाये गए अनुसार कोण बनाने पर, 
                 angle 1 space equals space angle 2 space equals space 1 half angle straight A angle 3 space equals space angle 4 space equals space 1 half angle straight B angle 5 space equals space angle 6 space equals space 1 half angle straight C
    अब,    angle ADE space equals space angle 3                          ...(i)
                        [∵ एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
    और     angle ADF space equals space angle 6
    (i) और  (ii) को जोड़ने पर
                            angle ADE plus angle ADF space space equals angle 3 plus angle 6 rightwards double arrow space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half angle straight B space plus space 1 half angle straight C rightwards double arrow space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half left parenthesis angle straight B plus angle straight C right parenthesis rightwards double arrow space space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half left parenthesis 180 degree minus angle straight A right parenthesis
                                 (∵ increment ABC के कोणों का योग  = 180 degree)
    rightwards double arrow space space space space space space space angle straight D space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight A over denominator 2 end fraction
    इसी प्रकार,      angle straight E space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight B over denominator 2 end fraction
                      angle straight F space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight C over denominator 2 end fraction
     



    Question 39
    CBSEHHIMAH9004477
    Wired Faculty App

    दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखण्ड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृतों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = PQ है।
    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जो कि सर्वांगसम है और A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर एक रेखाखण्ड PAQ खींचा गया है जबकि P और Q वृत्त पर स्थित हैं।

    सिद्ध करना है: BP = BQ
    रचना: A और B को मिलाओ।
    प्रमाण: चूँकि दो वृत्त सर्वांगसम है।
    ∴ AB इनकी उभयनिष्ठ जीवा है। अर्थात् AB की लम्बाई दोनों वृतों में समान है।
    चूँकि एक उभयनिष्ठ जीवा द्वारा अंतरित कोण दोनों वृतों में समान हैं।
                  ∴ angle straight P space equals space angle straight Q
    इस प्रकार,    BP = PQ
    [∵ समान कोणों के सामने की भुजाएँ समान होती हैं] 
       

    Question 40
    CBSEHHIMAH9004478
    Wired Faculty App

    किसी त्रिभुज ABC में, यदि angle straight A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध करों कि वे increment ABC को परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
    Solution
    ज्ञात है: increment ABC है जिसमें angle straight A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक परस्पर D पर मिलते हैं। 
    सिद्ध करना है: बिंदु D, त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर स्थित मिलाओ।

    रचना: BD और CD को मिलाओ।
    प्रमाण: angle BCD space equals space angle BAD space equals space 1 half angle straight A
                                            (एक वृत्तखंड में स्थित कोण)
    और        angle DBC thin space space equals space angle DAC space equals space 1 half angle straight A
                                          (एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण)
    इसलिए         angle BCD space equals space angle DBC
    ∴                    DB = DC
                                   (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
    इस प्रकार, बिंदु लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

                                       

                                       
                                  
      

    Mock Test Series

    Sponsor Area

    NCERT Book Store

    NCERT Sample Papers

    Entrance Exams Preparation