गणित Chapter 14 गुणनखंड

दिया गया है    12x =
                   36 =
∴        12x + 36 = [(2 2 3) x] + (2 2 3) 3
                         =
                         = 12(x+3)

दिया गया है,               22y = 2 × 11 × y
                            33z = 3 × 11 × z
∴                22y - 33z   = [2 × (11) × y] - [3 × (11) × z]
                                 = (11)[2 × y - 3 × z]
                                 = 11[2y - 3z]

            14pq = 2 × 7 × p × q = 2 × (7 × p × q)
                         35pqr = 5 × 7 × p × q × r = 5 × (7 × p × q) × r
     ∴          14pq + 35 pqr = 2 × (7 × p × q) + 5 × (7 × p × q) × r
                                   = (7 × p × q)[2 + 5 × r]
                                   = 7pq(2+5r)

∵                    12x = 2 × 2 × 3 × x = (2 × 2 × 3) × x
और                36 = 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2 × 3) × 3
                         = 2 × 2 × 3 = 12
∴ सार्व गुणनखंड  = 12
       

∵                  2y = 2 × y = (2 × y)
और              22xy = 2 × 11x × y = (2 × y) × 11x
∴ सार्व गुणनखंड  = 2 × y = 2y

∵                      14pq = 2 × 7 × p × q = (2 × 7 × p × q)
तथा                   = 2 × 2 × 7 × p × p × q × q
                                 = (2 × 7 × p × q) × 2 × p × q
∴  सार्व गुणनखंड  = (2 × 7 × p × q)
                    = 14pq

∵                                   2x = 1 × 2 × x 
                                   3x²  = 1 × 3 × x × x 
तथा                                 4  = 1 × 2 × 2 
∴      सार्व गुणनखंड = 1

 ∵                      6abc = 2 × 3 × a × b × c = (2 × 3 × a × b)× c
                     24ab² = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b = (2 × 3 × a × b) × 2 × 2 × b
                 12a²b = 2 × 2 × 3 × a × a × b = (2 × 3 × a × b) × 2 × a
∴    सार्व गुणनखंड = 2 × 3 × a × b
                               = 6ab

∵             16x³ = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x = (2 × 2 × x) × 2 × 2 × x × x
               -4x²= -1 × 2 × 2 × x × x = (2 × 2 × x) × (-1) × x
                32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x = (2 × 2 × x) × 2 × 2 × 2
 ∴       सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × x = 4x

∵                 10pq = 2 × 5 × p × q = (2 × 5) × p × q
                   20qr = 2 × 2 × 5 × q × r = (2 × 5) × 2 × q × r                   
                   30rp = 2 × 3 × 5 × r × p = (2 × 5) × 3 × r × p
∴              सार्व गुणनखंड  = 2 × 5 = 10

∵            3x² y³ = 3 × x × x × y × y × y
                       = (x × x × y × y) × 3 × y
             10x³ y² = 2 × 5 × x × x × x × y × y
                         = (x × x × y × y) × 2 × 5 × x
              6x² y²z = 2 × 3 × x × x × y × y × z
                         = (x × x × y × y) × 2 × 3 × z

∴   सार्व गुणनखंड = (x × x × y × y)                              
                              = x² y²

∵                     7x = 7 × x = (7) × x
                      42 = 2 × 7 × 3 = (7) × 2 × 3
∴             7x - 42 = 7[(x) - (2 × 3)]
                         = 7[x - 6]

∵                    6p   = 2 × 3 × p = (2) × (3) × p = (2 × 3) × p
                      12q = 2 × 2 × 3 × q = (2) × 2 × (3) × q = (2 × 3) × 2 × q
∴               6p - 12q = (2 × 3) [(p) - (2 × q)]
                             = 6[p - 2q]

∵                        7a² = 7 × a × a = (7 × a) × a                          
                         14a = 2 × 7 × a = (7 × a) × 2
∴              7a² + 14a = (7 × a)[a+2]
                             = 7a(a+2)

∵          -16z = (-1) × 2 × 2 × 2 × 2 × z = (2 × 2 × z) × (-1) × 2 x 2
             20z³ = 2 × 2 × 5 × z × z × z = (2 × 2 × z) × 5 × z × z
∴     -16z + 20z³ = (2 × 2 × z) [(-1) × 4 + 5 × z × z]
                       = 4z[-4 + 5z²]

∵                 20 l²m = 2 × 2 × 5 × l × l × m = (2 × 5 × l × m) × 2 × l
                  30 alm = 2 × 3 × 5 × a × l × m = (2 × 5 × l × m) × 3 × a
∴               20 l²m + 30 alm = (2 × 5 × l × m)[2 × l + 3 × a]
                                 = 10lm[2l + 3a]

∵         5x²y = 5 × x × x x y = (5 × x × y) [x]
          15xy² = 5 × 3 × x × y × y = (5 × x × y) [3 × y]
∴       5x²y - 15xy² = (5 × x × y) [x - 3 × y]
                          = 5xy(x - 3y)

∵                   10a² = 2 × 5 × a × a = (5) [2 × a × a]
                     15b² = 3 × 5 × b × b = (5) [3 × b × b]
                     20c² = 2 × 2 × 5 × c × c = (5)[2 × 2 × c × c]
∴  10a² - 15b² + 20c² = (5)[2 × a × a - 3b × b + 2 × 2 × c × c]
                             = 5[2a² - 3b² + 4c²]

∵        -4a² = (-1) × 2 × 2 × a × a = (2 × 2 × a)[(-1) × a]
          4ab  = 2 × 2 × a × b = (2 × 2 × a)[b]
          4ca = 2 × 2 × c × a = (2 × 2 × a)[c]
∴   -4a² + 4ab - 4ca = (2 × 2 × a)[(-1) × a + b - c]
                            = 4a[-a + b - c]

∵          x²yz = x × x × y × z = (xyz)[x]
            xy²z = x × y × y × z = (xyz)[y]
            xyz² = x × y × z × z = (xyz)[z]
∴  x²yz + xy²z + xyz² = (xyz)[x + y + z]
                              = xyz(x + y + z)

∵                   ax²y = a × x × x × y = (x × y)[a × x]
                     bxy² = b × x × y × y = (x × y)[b × y]
                     cxyz = c × x × y × z = (x × y) [c × z]
∴   a x² y + b x y² + c x y z = (x × y) [a × x + b × y + c × z] 
                                       = xy[ax + by +cz)

x² + xy + 8x + 8y = x[x + y] + 8[x + y]
                         = (x + y)(x + 8)

15xy - 6x + 5y - 2 = 3x[5y-2] + 1[5y-2]
                         = (5y - 2)(3x + 1)

ax + bx - ay - by = x[a + b] + (-y)[a + b]
                        = (x - y)[a+b]

15pq + 15 + 9q + 25p = 15 pq + 9q + 25 p + 15
                              = 3q[5p + 3] + 5[5p +3]
                              = (5p + 3)[3q + 5]

पदों का पुनःव्यवस्थित करने पर:
z - 7 + 7xy - xyz = z - 7 - xyz + 7xy
                        = 1[z - 7] - xy[z - 7]
                        = (z - 7) (1 - xy)

हमें प्राप्त है,
             a² + 8a + 16 = (a)² + 2(a)(4) + (4)²
                                         = (a+4)² = (a + 4)(a + 4)
                                  [∵ (a+b)² = a²+2ab+b²]
∴           a² + 8a + 16 = (a + 4)² = (a + 4)(a + 4)      

हमें प्राप्त है,
                  p² - 10p + 25 = p² - 2(p)(5) + (5)²
                                     = (p - 5)² = (p - 5) (p - 5)
                                   [∵ (a-b)² = a²-2ab+b²]
∴                p² - 10p + 25 = (p -5)² = (p - 5)(p - 5)

हमें प्राप्त है,     25m² + 30 m + 9 = (5m)² + (2)(5m)(3) + (3)²
                                        = = (5m + 3)(5m + 3)
∴               25m² - 30m + 9 = = (5m + 3)(5m + 3)

हमें प्राप्त है,           
        
                                    [∵ (a+b)² = a²+2ab+b²]
                                          =                               
                                          = (7y + 6z)(7y + 6z)
∴      

हमें प्राप्त है,
4x² - 8x + 4 = (2x)² -2(2x)(2) + (2)²
                           [∵ (a-b)² = a²-2ab+b²]
                 = (2x - 2)² = (2x -2) (2x - 2)
                 = 2(x - 1)2(x - 1)
                 = 4(x - 1) (x - 1) 
∴          4x² - 8x + 4 = 4(x - 1) (x - 1) = 4(x - 1)²

हमें प्राप्त है,
121b² - 88bc + 16c² = (11b)² - 2(11b)(4c) + (4c)²
                             [∵ (a-b)² = a²-2ab+b²]
                                        = (11b - 4c)² = (11b - 4c)(11b - 4c)
∴  121b² - 88bc + 16c² = (11b - 4c)² = (11b - 4c)(11b - 4c)

हमें प्राप्त है,
                (l + m)² - 4lm = (l² + 2lm + m²) - 4lm                                       
                                     = l² + (2lm - 4lm) + m²
                                     = l² - 2lm + m²
                                     =
                                    [∵ (a-b)² = a²-2ab+b²]
                                     =
∴ 

हमें प्राप्त है, 
                                     [∵ (a² + b²) = a² + 2ab + b²]
                                             
∴          

∵         
                           = (2p - 3q) (2p + 3q) [∵ ]
∴      

हमें प्राप्त है:
       
                               =
∵       
                             = (3a + 4b) (3a - 4b)  [∵ 
∴   

∵ 
                     = (7x - 6) (7x + 6)   [∵ 
∴      = (7x - 6)(7x + 6)

हमें प्राप्त हैं    and
∴    
                             =
                             =
                             =   [∵ a² - b² = (a-b) (a+b)]
∴ 

(l + m)² - (l-m)² = [(l + m) + (l -m)][(l + m) - (l - m)]
                              [∵ a² - b² = (a+b)(a-b)]
                        = [l + m + l - m][l + m - l + m]
                        = (2l)(2m) = 2 2(l × m)
                        = 4lm    

हमें प्राप्त है:
9x²y² - 16 = (3xy)² - (4)²
               = (3xy + 4)(3xy - 4) [∵ a² -b²= (a + b)(a - b)]
∴  9x²y² - 16 = (3xy + 4) (3xy - 4)

हमें प्राप्त है,
(x² - 2xy + y²) = (x - y)²
∴  (x² - 2xy + y²) - z² = (x - y)² - (z)²          
                                        = [(x - y) + z] [(x - y) - z]
                                                [Using a² - b² = (a + b) (a - b)]
                                 = (x - y + z)(x - y - z)
∴        (x² - 2xy + y²) - z² = (x - y + z) (x - y -z)

हमें प्राप्त है, -4b² + 28bc - 49c² = (-1)[4b² - 28bc + 49c²]
                                       = -1[(2b)² - 2(2b)(7c) + (7c)²]
                                       = - [2b - 7c]²
∴      25a² - 4b² + 28bc - 49c² = 25a² - (2b - 7c)²
                                           [∵ a² -b² = (a + b) (a - b)]
              [5a]² - [2b - 7c]² = (5a + 2b - 7c)(5a- 2b + 7c)
∴   25a² -4a² + 28bc - 49c² = (5a + 2b - 7c)(5a - 2b + 7c)

∵                  ax² = a × x × x = (x)[ax]
                    bx = b × x = (x)[b]
∴              ax² + bx = x[ax + b]

हमें प्राप्त है , 7p² + 21q²= 7 × p × p + 7 × 3 × q × q
                              = 7[p × p + 3 × q × q]
                              = 7[p² + 3q²]

2x³ + 2xy² + 2xz²
2x³ + 2xy² + 2xz² = 2x[x² + y² - z²]

∴      am² + bm² + bn² + an² = m²(a + b) + n²(b + a)
                                         = m²(a + b) + n² (a + b)
                                          = (a + b)[m² + n²]

हमें प्राप्त है          lm + l = l(m + 1)
∴  (lm + l) +  (m + 1) =  l(m + 1) + 1 (m + 1)
                               = (m + 1) [l +1]

(y+z) को उपभयनिष्ठ लेने पर 
∴            y(y + z) + 9(y + z) = (y + z)(y + 9)

हमें प्राप्त है            5y² - 20y = 5y(y - 4)
अथवा                  -8z + 2yz = 2z(-4 + y)
                                     = 2z(y - 4)
∴      5y² - 20y - 8z + 2yz = 5y(y - 4) + 2z(y - 4)
                                    = (y - 4)[5y + 2z]

हमें प्राप्त है          10ab + 4a = 2a(5b + 2)
     या                   (5b + 2) = 1(5b + 2)

∴       10ab + 4a + 5b + 2 = 2a(5b + 2) + 1 (5b + 2)
                                   = (5b + 2)[2a + 1]

 हमें प्राप्त है,      6xy - 4y + 6 - 9x = 6xy - 4y - 9x + 6
                                  = 2y[3x - 2] - 3[3x - 2]
                                  = (3x - 2)(2y - 3)

a⁴ - b⁴= (a²)² - (b²)²
                                     [∵ a² - b² = (a - b) (a + b)]
=

 
 =  (a + b)(a - b)  

हमें प्राप्त है   p⁴ - 81 = (p²)² - (9²)²
              [∵ a² - b² = (a + b)(a - b)]
         (p²)² - (9)² = (p² + 9)(p² -9)
या              p² - 9 = (p)² - (3)²
                       = (p + 3)(p - 3)
∴           p⁴ - 81 = (p + 3)(p - 3)(p² + 9)

∵   x⁴ - (y + z)⁴ = [x²]² - [(y + z)²]²
                       = [(x²) + (y + z)²] [(x²) - (y + z)²] 
                                                     [∵  a² - b² = (a+b)(a-b)]
हम [x² - (y + z)²] और भी गुणनखंड कर सकते हैं 
       x² - (y + z)² = [(x) + (y + z)][(x) - (y + z)]
                         = (x + y + z)(x - y - z)
∴      x⁴ - (y + z)⁴ = (x + y + z)(x - y - z)[x² + (y + z)²]

∵   a⁴ - 2a²b² + b⁴ = (a²)² - 2(a²)(b²) + (b²)²
                                             [∵ a² - 2a²b² + b² = (a - b)²]
                                   = (a² - b²)²
                          = [(a² - b²) (a² + b²)]
                          = [(a - b) (a + b) (a² + b²)]
∴      a⁴ - 2a²b² + b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)

हमें प्राप्त है, p²+ 6p + 8  = p² + 6p + 9 - 1
                               = [(p)² + 2(p)(3) + 3²] - 1
                               = (p + 3)² - 1²   [∵ a² + 2ab + b² = (a + b)²]
                               = [(p + 3) + 1] [(p + 3) - 1]
                               = (p + 4)(p + 2)
∴        p² + 6p + 8 = (p + 4)(p + 2)

हमें प्राप्त है,  q² - 10q + 21 = q² - 10q + 25 - 4    [∵   21 = 25 - 4]                                 
                                 = [(q)² - 2(q)(5) + (5)²] - (2)²                                            
                                           = [q - 5]² - [2]²
                                       = [(q - 5) + 2][(q - 5) - 2]                                                     
                                                                [∵ a² - b² = (a + b) (a - b)]
                                  = (q - 3) (q - 7)

p² + 6p - 16 = p² + 6p + 9 - 25         [∵   -16 = 9 - 25]
                 = [(p)² + 2(p)(3) + (3)²] - (5)²
                 = [p + 3]²  - [5)²  [∵ a² + 2ab + b² = (a + b)²]
                 = [p + 3] + 5][(p + 3) - 5]
                                               [∵ a² - b² = (a + b)(a - b)]
               = (p + 8) (p - 2)

24xy²z³  6yz² =
                 =
                 =
∴         24xy²x³ 6yz² = 4xyz

63a²b⁴c⁶ 7a²b²c³ =
                            =
                           =
                           = 
                           = 9 × a⁰ + b² × c³
                          = 9 × 1 × b² × c³ = 9b²c³

∴        63a²b⁴c⁶ को 7a²b²c³ = 9b²c³

हमें प्राप्त है,             28x⁴  56x =
                                        =
                                        =
∴          28x⁴    56x =

हमें प्राप्त है               -36y³ = (-1) x 2 x 2 x 3 x 3 x y x y x y
या,                           9y² = 3 x 3 x y x y

∴          -36y³ 9y² =
                             =

हमें प्राप्त है        66pq²r³ = 2 × 3 × 11 × p × q × q × r × r × r
और                    11qr² = 11 × q × r × r
∴          66pq²r³ 11qr² =

                                   =
                                   =

 
                                            =
                                            =
                                            =
                                            =

 हमें प्राप्त है,       
                                       =
                                        =
                                        =
                                        =
                                                     

∵           (5x² - 6x) 3x =
                                   =
∴      (5x² - 6x) 3x =

∵ 
                                       =

∴     

∵ 
                                    =
                                    =
                                    =

∴     = 2(x + y + z)

∵  
                                        =
                                        =

∴   

∵   
                                   

∴ 

∵                 10x - 25 = 5(2x - 5)

∴                   
अत:     (10x - 25) 5 = 2x - 5

∵           10x - 25 = 5(2x - 5)

∴          
अत:  = 5

∵                  6y + 21 = 3(2y + 7)

∴          
                                    = 2 × y × 3 = 6y
∴     10y(6y + 21) 5(2y + 7) = 6y

∵             3z - 24 = 3(z-8)

∴      
                                   =
                                   = xy

∴             

∵           3a - 12 = 3(a - 4)
             5b - 30 = 5(b - 6)
                96 =
और            144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

∴          
           
             = 2 × 5 × a × b × c = 10abc
 अत:   96abc (3a - 12)(5b - 36)  144(a - b)(b - 6) = 10abc
 

हमें प्राप्त है, 5(2x + 1)(3x + 5) (2x + 1) =
                                                    =
∴       5(2x + 1)(3x + 5) (2x + 1) = 5(3x +5)

हमें प्राप्त है, 26xy(x + 5) (y - 4) 13x(y - 4) =
                                                        =
∴       26xy(x + 5) (y - 4) 13x(y - 4) = 2y(x + 5)

हमें प्राप्त है, 
             =
∴         52pqr(p + q)(q + r)(r + p) 104pq(q + r)(r + p) =

∵      20 = 2 × 2 × 5

∴     
                            = 2 × 2 × (y² + 5y + 3) = 4(y² + 5y + 3)

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) x(x + 1)
हमें प्राप्त है,  
∴     x(x+1)(x+2)(x+3) x(x + 1) = (x + 2)(x + 3)

∵          
                             = y(y + 2) + 5(y + 2)
                                = (y + 2)(y + 5)
∴        
∴     = y + 2

∵      m² -14m - 32 = (m² - 16m + 2m - 32]   [∵  -14 = -16 + 2]
                           = m(m - 16) + 2(m - 16)       [16 × 2 = 32]
                           = (m - 16)(m + 2)
∴ 
अत:  

∵      5p² - 25p + 20 = 5(p² - 5p + 4)               [∵ 1 × 4 = 4]
                            = 5[p(p - 1) - 4(p - 1)]   [-1 + (-4) = -5]
                            = 5[(p - 1)(p - 4)]
∴    
अत: (5p² - 25p + 20) (p - 1) = 5(p-4)

∵             z² + 6z -16 = z² + 8z - 2z - 16               ∵ 8 - 2 = 6
                               = z(z + 8) - 2(z + 8)        ∵ 8 × 2 = 16
                               = (z + 8)(z - 2)
∴      

                                     =
अत:   

∵                p² - q² = (p - q) (p + q)
                                           [∵ a² - b² = (a + b)(a - b)]

∴      
 अत:        

∵     9x² - 16y² = (3x)² - (4y)²
                      = (3x - 4y)(3x + 4y)

∴
                             
∴  

∵             50y² - 98 = 2(25y² - 49)
                            = 2[(5y)² - (7)²]
                            =2[(5y - 7)(5y + 7)]

∴     
                                   =
अत:  39y³(50y² - 98)  26y²(5y + 7) = 3y(5y - 7)

बायाँ पक्ष  = 4(x - 5) = 4 x (x) - 4 x (5) = 4x - 20
∴   दायाँ पक्ष होना चाहिए  = 4x - 20.
अत:    4(x - 5) = 4x - 20 सही कथन है। 

कथन 2x + 3y = 5xy गलत कथन है। ऐसे पदों को केवल साथ में समूहित किया जा सकता है। अत: 2x + 3y = 2x + 3y सत्य कथन है।

योग पर गुणन की वितरणशील राशि का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त है
x + 2x + 3x = (1 + 2 + 3)x = 6x
इस प्रकार,   लेकिन x+2x+3x = 6x सत्य कथन है।

बायाँ पक्ष  = 
             
            
इस प्रकार,   लेकिन
   सही कथन है।

चूँकि    
∴           
इस प्रकार,   लेकिन,
             
साथ ही,    
             

बायाँ पक्ष  
                          
इस प्रकार,   लेकिन 
 सही कथन है। 

स्थान परिवर्तन x = -3 में,  , हमें प्राप्त है
        
                       
इस प्रकार, x = -3 के लिए,    लेकिन यह समतुल्य है -2 के।

स्थान परिवर्तन x = -3 में,   हमें प्राप्त है 
              
                 = 9 - 15 = -6
इस प्रकार,  x = -3  के लिए,   लेकिन यह समतुल्य है  -6 के। 

बायाँ पक्ष  = (y - 3)²
           
इस प्रकार,    लेकिन (y - 3)²
               सत्य कथन है।

बायाँ पक्ष  = (z + 5)²
                    [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]

              
               = 
इस प्रकार,    लेकिन 
                 सत्य कथन है।

बायाँ पक्ष = (2a + 3b)(a - b)
          = 2a(a - b) + 3b(a - b)
          = 2a x a - 2a x b + 3b x a - 3b x b
          = 2a² - 2ab + 3ab - 3b²
          = 2a² + ab - 3b²
इस प्रकार,  लेकिन (2a + 3b)(a - b) = 2a² + ab - 3b² सत्य कथन है  

बायाँ पक्ष = (a + 4) (a + 2) 
          = a² + (4 + 2)a + 4 x 2
          = a² + 6a + 8
इस प्रकार,   लेकिन (a + 4) (a + 2)  = a² + 6a + 8 सत्य कथन है। 

बायाँ पक्ष  = (a - 4) (a -2)
           
इस प्रकार,   लेकिन   सत्य कथन है।

बायाँ पक्ष  = 
इस प्रकार,     लेकिन   सत्य कथन है।

स्पष्ट है, 
लेकिन,    
सत्य कथन है। 
 

स्पष्ट है,  
लेकिन   सत्य कथन है।

स्पष्ट हैं,  
लेकिन    सत्य कथन है।

स्पष्ट है, 
लेकिन   सत्य कथन है।

स्पष्ट है,   
लेकिन   सत्य कथन है।