परिमेय संख्याएँ

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Question
CBSEHHIMAH8003693

निम्नलिखित सरणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

संख्याएँ अंतगर्त संवृत हैं
  योग के व्यवकलन के गुणन के भाग के
परिमेय संख्याएँ हाँ हाँ ... नहीं
पूर्णांक ... हाँ ... नहीं
पूर्ण संख्याएँ ... ... हाँ ...
प्राकृत संख्याएँ ... नहीं ... ...

Solution

जोड़, घटा, गुणा और भाग के संवृत गुणों का प्रयोग परिमेय संख्याएँ, पूर्णांक, पूर्ण संख्याएँ और प्राकृत संख्याओं में करने पर:
हमारे पास आता है:

संख्याएँ अंतगर्त संवृत हैं
  योग के व्यवकलन के गुणन के भाग के
परिमेय संख्याएँ हाँ हाँ हाँ नहीं
पूर्णांक हाँ हाँ हाँ नहीं
पूर्ण संख्याएँ हाँ नहीं हाँ नहीं
प्राकृत संख्याएँ हाँ नहीं हाँ नहीं

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Question
CBSEHHIMAH8003694

निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:

संख्याएँ क्रमविनिमेय
  योग के लिए व्यवकलन के लिए गुणन के लिए भाग के लिए
परिमेय संख्याएँ हाँ ... ... ...
पूर्णांक ... नहीं ... ...
पूर्ण संख्याएँ ... ... हाँ ...
प्राकृत संख्याएँ ... ... ... नहीं

Solution

पूर्ण सारणी निम्न प्रकार से है:

संख्याएँ क्रमविनिमेय
  योग के लिए व्यवकलन के लिए गुणन के लिए भाग के लिए
परिमेय संख्याएँ हाँ  नहीं  हाँ  नहीं
पूर्णांक  हाँ नहीं  हाँ  नहीं
पूर्ण संख्याएँ  हाँ  नहीं हाँ  नहीं
प्राकृत संख्याएँ  हाँ  नहीं  हाँ नहीं

Question
CBSEHHIMAH8003695

निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:

संख्याएँ साहचर्य
  योग के लिए व्यवकलन के लिए गुणन के लिए भाग के लिए
परिमेय संख्याएँ ... ... ... नहीं
पूर्णांक ... ... हाँ ...
पूर्ण संख्याएँ हाँ ... ... ...
प्राकृत संख्याएँ ... नहीं ... ...

Solution

पूर्ण सारणी निम्न प्रकार से है:

संख्याएँ साहचर्य
  योग के लिए व्यवकलन के लिए गुणन के लिए भाग के लिए
परिमेय संख्याएँ  हाँ  नहीं  हाँ नहीं
पूर्णांक  हाँ  नहीं हाँ  नहीं
पूर्ण संख्याएँ हाँ  नहीं  हाँ  नहीं
प्राकृत संख्याएँ  हाँ नहीं  हाँ  नहीं

Question
CBSEHHIMAH8003696

यदि कोई गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है तो क्या वह पूर्णाकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? कौन-से गुणधर्म इनके लिए सत्य होंगे और कौन-से नहीं होंगे?

Solution

(i) निम्न गुण जो परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है, वे गुण पूर्णांक के लिए भी सत्य होंगे लेकिन यह जरूरी नहीं की पूर्णांक 'a' 'b' में (a÷b) एक पूर्णांक हो।
(ii) निम्न गुण को छोड़कर परिमेय संख्याओं के गुण पूर्ण संख्याओं में भी होंगे:

(क) यदि 'a' और 'b' एक पूर्ण संख्या है तो (a-b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।
(ख) यदि 'a' और 'b' एक पूर्ण संख्या है तो (a÷b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।