सर्कस का एक कलाकार एक 20m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्बें के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण $30 degree$ का हो तो खम्बें की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

AB उर्ध्वाधर खंभा है तथा CA एक 20m लंबी डोर है जिसका एक छोर खंभे AB के शिखर से तथा दूसरा छोर भूमि पर स्थित एक बिंदु C से बंधा है।
$increment ABC$ में
$sin 30 degree space equals space AB over AC$
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space 1 half space space equals space AB over AC rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space 1 half space equals space AB over 20 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space AB space equals space 20 over 2 space equals space 10 straight m space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space$
अत:खंभे की ऊँचाई 10 m

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Question

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आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टुटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है की पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ $30 degree$ का कोण बनता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना BD एक पेड़ है जो बिंदु C से टूटने के बाद CD के स्थान पर CA की स्थिति में आ जाता है अर्थात् बिंदु A पर पेड़ का शिखर D जमीन को छूता है
प्रश्नानुसार,    $angle BAC space equals space 30 degree$
माना, BC = x m
CD = CA = y m

अब समकोण $increment ABC$ में,
$BC over AB space equals space tan space 30 degree$
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space straight x over 8 space equals space fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction$
या $straight x space equals space fraction numerator 8 over denominator square root of 3 end fraction space equals space fraction numerator 8 over denominator square root of 3 end fraction cross times fraction numerator square root of 3 over denominator square root of 3 end fraction space equals space fraction numerator 8 square root of 3 over denominator 3 end fraction$
तथा $AB over AC space equals space cos space 30 degree$
$rightwards double arrow space space 8 over straight y space equals space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction space space य ा space space straight y space equals space fraction numerator 16 over denominator square root of 3 end fraction space equals space fraction numerator 16 square root of 3 over denominator 3 end fraction$
पेड़ की ऊँचाई (BD) = (x+y)m
   $space equals space fraction numerator 24 square root of 3 over denominator 3 end fraction straight m space equals space 8 square root of 3 space straight m$

Question

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एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ $30 degree$ के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ $60 degree$ का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

Solution

स्थिति (A) 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लंबाई ज्ञात करना।
माना AC फिसलनपट्टी की लंबाई l m तथा ऊँचाई AB = 1.5 m तथा $angle ACB space equals space 30 degree$ .

समकोण $increment ABC$ में,
   $AB over AC space equals space sin space 30 degree$
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space fraction numerator 1.5 over denominator l end fraction space equals space 1 half$
या l = 1.5 x 2 = 3.0 m या 3m
अत: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लंबाई = 3m

स्थिति (B) 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लंबाई ज्ञात करना।
माना DF फिसलनपट्टी की लंबाई x m तथा ऊँचाई DE =3m तथा $angle DFE space equals space 60 degree$

समकोण $increment DEF$ में,
   $DE over DF space equals space sin space 60 degree$
$rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 3 over 2 space equals space fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$
या $straight x space equals space fraction numerator 3 cross times 2 over denominator square root of 3 end fraction space equals fraction numerator 6 over denominator square root of 3 end fraction cross times fraction numerator square root of 3 over denominator square root of 3 end fraction space equals space fraction numerator 6 square root of 3 over denominator 2 end fraction space equals space 2 square root of 3 straight m$
अत: 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लंबाई = $2 square root of 3 straight m$

Question

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भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद -बिंदु से 30m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30 degree$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना मीनार AB का शिखर A तथा पाद-बिंदु B है जिसकी ऊँचाई h m है। बिंदु C मीनार के पाद-बिंदु B से 30m की दूरी पर है।
अब,
AB = h m
BC = 30 m
and $angle ACB$ = 30°
समकोण $increment ABC$ में,
$tan space 30 degree space equals space AB over BC$

$rightwards double arrow space space space fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction equals straight h over 30 rightwards double arrow space space space square root of 3 straight h end root space equals space 30 rightwards double arrow space space space space straight h space equals space fraction numerator 30 over denominator square root of 3 end fraction rightwards double arrow space space space space straight h space equals space fraction numerator 30 over denominator square root of 3 end fraction straight X fraction numerator square root of 3 over denominator square root of 3 end fraction space space space space space space space space space space space equals space fraction numerator 30 square root of 3 over denominator 3 end fraction space equals space 10 square root of 3$
अत: मीनार की ऊँचाई (AB) = $10 square root of 3 space straight m.$