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परिमेय संख्याएँ
निम्नलिखित सरणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
| संख्याएँ | अंतगर्त संवृत हैं | |||
| योग के | व्यवकलन के | गुणन के | भाग के | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | हाँ | ... | नहीं |
| पूर्णांक | ... | हाँ | ... | नहीं |
| पूर्ण संख्याएँ | ... | ... | हाँ | ... |
| प्राकृत संख्याएँ | ... | नहीं | ... | ... |
जोड़, घटा, गुणा और भाग के संवृत गुणों का प्रयोग परिमेय संख्याएँ, पूर्णांक, पूर्ण संख्याएँ और प्राकृत संख्याओं में करने पर:
हमारे पास आता है:
| संख्याएँ | अंतगर्त संवृत हैं | |||
| योग के | व्यवकलन के | गुणन के | भाग के | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं |
| पूर्णांक | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं |
| पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| प्राकृत संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| संख्याएँ | क्रमविनिमेय | |||
| योग के लिए | व्यवकलन के लिए | गुणन के लिए | भाग के लिए | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | ... | ... | ... |
| पूर्णांक | ... | नहीं | ... | ... |
| पूर्ण संख्याएँ | ... | ... | हाँ | ... |
| प्राकृत संख्याएँ | ... | ... | ... | नहीं |
पूर्ण सारणी निम्न प्रकार से है:
| संख्याएँ | क्रमविनिमेय | |||
| योग के लिए | व्यवकलन के लिए | गुणन के लिए | भाग के लिए | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| पूर्णांक | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| प्राकृत संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| संख्याएँ | साहचर्य | |||
| योग के लिए | व्यवकलन के लिए | गुणन के लिए | भाग के लिए | |
| परिमेय संख्याएँ | ... | ... | ... | नहीं |
| पूर्णांक | ... | ... | हाँ | ... |
| पूर्ण संख्याएँ | हाँ | ... | ... | ... |
| प्राकृत संख्याएँ | ... | नहीं | ... | ... |
पूर्ण सारणी निम्न प्रकार से है:
| संख्याएँ | साहचर्य | |||
| योग के लिए | व्यवकलन के लिए | गुणन के लिए | भाग के लिए | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| पूर्णांक | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
| प्राकृत संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |
यदि कोई गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है तो क्या वह पूर्णाकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? कौन-से गुणधर्म इनके लिए सत्य होंगे और कौन-से नहीं होंगे?
(i) निम्न गुण जो परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है, वे गुण पूर्णांक के लिए भी सत्य होंगे लेकिन यह जरूरी नहीं की पूर्णांक 'a' 'b' में (a÷b) एक पूर्णांक हो।
(ii) निम्न गुण को छोड़कर परिमेय संख्याओं के गुण पूर्ण संख्याओं में भी होंगे:
(क) यदि 'a' और 'b' एक पूर्ण संख्या है तो (a-b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।
(ख) यदि 'a' और 'b' एक पूर्ण संख्या है तो (a÷b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।
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