Question

एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

Solution

माना कि कोण हैं: 3x, 5x, 9x और 13x.
चूँकि, चतुर्भुज के कोणों का योग = $360 degree$
∴ $3 straight x plus 5 straight x plus 9 straight x plus 13 straight x space equals space 360 degree$
या $30 straight x space equals space 360 degree$
या $straight x space equals space fraction numerator 360 degree over denominator 60 end fraction space equals space 12 degree$
∴ $3 straight x space equals space 3 space cross times space 12 space equals space 36 degree$
$5 straight x space equals space 5 cross times 12 space equals space 60 degree 9 straight x space equals space 9 cross times 12 space equals space 108 degree 13 straight x space equals space 13 cross times 12 space equals space 156 degree$
अत: चतुर्भुज के कोण हैं: $36 degree comma space 60 degree space 108 degree space और space space 156 degree.$

Question

Wired Faculty App

यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

Solution

ज्ञात है: एक समान्तर ABCD चतुर्भुज जिसमें विकर्ण AC = विकर्ण BD.
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
प्रमाण: $increment ABC space और space space increment DCB space म ें comma$

AC = BD   (ज्ञात है)
BC = CB (उभयनिष्ठ)
AB = DC (|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
इसलिए $increment ABC space approximately equal to space increment DCB$ (SSS नियम)
$angle ABC space equals space angle BCD$ (CPCT)
परन्तु $angle ABC plus angle BCD space equals space 180 degree$
[तियर्क रेखा BC के एक ही ओर बने अन्त: कोण]
इसलिए,    $2 angle ABC space equals space 180 degree$
   $angle ABC space equals space 90 degree$
अत: ||gm ABCD एक आयत है।

Question

Wired Faculty App

दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।

Solution

ज्ञात है: एक चतुर्भुज ABCD, जिसमें विकर्ण AC और विकर्ण BD एक दूसरे को O पर समद्विभाजित करते हैं और $angle AOD space equals space 90 degree$

सिद्ध करना है: चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण: $increment AOD space और space increment AOB space म ें comma$
OA = OA (उभयनिष्ठ)
OD = OB (ज्ञात है)
$angle AOD space equals space angle AOB space equals space 90 degree$ (ज्ञात है)
इसलिए, $increment AOD space approximately equal to space increment AOB$ (SAS नियम)
अत: AD = AB (CPCT)
इस प्रकार, AB = BC = CD = DA
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।

Question

Wired Faculty App

दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण समद्विभाजित करते हैं।

Solution

ज्ञात हैं: ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है: (i) BD = AC
(ii) OA = OC, OB = OD, (iii) $AC perpendicular BD.$
प्रमाण: (i) $increment DAB space और space space increment CBA space म ें comma$
AB = BA (उभयनिष्ठ)
AD = BC (वर्ग भुजाएँ)
   $angle DAB space equals space angle CBA space equals space 90 degree$ (वर्ग के कोण)
अत:    $increment DAB space approximately equal to space increment CBA$ (SAS नियम)
इसलिए BD = AC (CPCT)
(ii) $increment AOB space और space space increment COD space म ें$
   $angle AOB space equals space angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
AB = CD (वर्ग की भुजाएँ)
   $angle OBA space equals space angle OCD$ (एकान्तर कोण)
∴ $increment AOB space approximately equal to space increment COD$ (AAS नियम से)
अत: OA = OC और OB = OD
(iii) $increment AOD space और space space increment COD$ में,
OA = OC (ऊपर सिद्ध किया है)
AD = CD (वर्ग की भुजाएँ)
OD = OD (उभयनिष्ठ)
इसलिए $increment AOD space approximately equal to space increment COD$ [SSS नियम से)
इस प्रकार $angle AOD space equals space angle COD$ (CPCT)
और    $angle AOD space plus space angle COD space equals space 180 degree$ (रैखिक युग्म)
   $rightwards double arrow space space space 2 angle AOD space equals space 180 degree rightwards double arrow space space space angle AOD space equals space 90 degree$
अत: $AC thin space perpendicular space BD.$