वृत्त

  • Question 29
    CBSEHHIMAH9004467

    उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि angle CAD space equals space angle CBD है।

    Solution
    ज्ञात है: दो समकोण increment ABC और increment ADC उभयनिष्ठ कर्ण AC पर खींचे गए हैं।

    प्रमाण: angle ADC space equals space 90 degree                (ज्ञात है)
             angle ABC space equals space 90 degree                (ज्ञात है)  
    ∴ जो कि एक समकोण है। अत: यह एक अर्धवृत में बना कोण है अर्थात् एक वृत्त बिंदुओं B और D से होकर जाता है जिसका व्यास AC है।
    अब  CD वृत्त कि एक जीवा है।
    अत:  angle CAD space equals space angle CBD
                                     [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
     

    Question 30
    CBSEHHIMAH9004468

    सिद्ध कीजिए की चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

    Solution
    ज्ञात है: एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
    सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
    प्रमाण: angle straight B space equals space angle straight D 
                                     [||gm की सम्मुख भुजाएँ]

    इसलिए  angle straight B plus angle straight B space equals space 180 degree 
    या          2 angle straight B space equals space 180 degree
    या             angle straight B space equals space 90 degree
    अत:  ABCD एक आयत है। 

      
    Question 31
    CBSEHHIMAH9004469

    सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी वृतों के केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
    सिद्ध करना है: angle ACB space equals space angle ADB
    रचना: C और D को मिलाओ ताकि यह AB को O पर मिले।
    प्रमाण: A केंद्र वाले वृत्त में 
                          AC = CD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

    ∴                   angle ACO space equals space angle ADO               ...(i)
                                        [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
    B केंद्र वाले वृत्त में,
                     BC = CD  [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
     ∴          angle BCO space space equals space angle BDO
                                            [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
    (i) और (ii) को जोड़ने पर,
       angle ACO space plus space angle BCO space equals space angle ADO space plus space angle BDO
    अत:       angle ACB space equals space angle ADB
                              

     

    Question 32
    CBSEHHIMAH9004470

    एक वृत्त की 5 cm तथा 11 cm दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में  स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

    Solution

    O, वृत्त का केंद्र और AB = 5 सेमी, तथा CD = 11  सेमी है। 
         OL space perpendicular space AB तथा  OM space perpendicular space CD खींचों।
    चूंकि केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
       इसलिए    OL = 2.5 cm
    और           CM = 5.5 cm
    माना वृत्त की त्रिज्या r है। 
     increment ALO में,     straight r squared space equals space straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared                          ...(i)
    increment CMO में,     straight r squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared                    ...(ii)
    (i) और (ii) से
                         straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared
    या               straight x squared plus 6.25 space equals space 36 plus straight x squared minus 12 straight x plus 30.25
    या                        6.25 space equals space 36 minus 12 straight x plus 30.25
    या                       12 straight x space equals space 66.25 space minus space 6.25
    या                       12x = 60
    या                           x = 5
    ∴                              straight r squared space equals space left parenthesis 5 right parenthesis squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared
    या                             straight r squared space equals space 25 plus 25 over 4
                                     straight r squared space equals space 125 over 4
                                 straight r space equals space fraction numerator 5 square root of 5 over denominator 2 end fraction cm



               

        

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