Question

उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि $angle CAD space equals space angle CBD$ है।

Solution

ज्ञात है: दो समकोण $increment ABC$ और $increment ADC$ उभयनिष्ठ कर्ण AC पर खींचे गए हैं।

प्रमाण: $angle ADC space equals space 90 degree$ (ज्ञात है)
$angle ABC space equals space 90 degree$ (ज्ञात है)
∴ जो कि एक समकोण है। अत: यह एक अर्धवृत में बना कोण है अर्थात् एक वृत्त बिंदुओं B और D से होकर जाता है जिसका व्यास AC है।
अब CD वृत्त कि एक जीवा है।
अत: $angle CAD space equals space angle CBD$
[एक ही वृत्तखंड में बने कोण]

Question

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सिद्ध कीजिए की चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

Solution

ज्ञात है: एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
प्रमाण: $angle straight B space equals space angle straight D$
[||gm की सम्मुख भुजाएँ]

इसलिए $angle straight B plus angle straight B space equals space 180 degree$
या $2 angle straight B space equals space 180 degree$
या $angle straight B space equals space 90 degree$
अत: ABCD एक आयत है।

Question

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सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी वृतों के केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

Solution

ज्ञात है: दो वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $angle ACB space equals space angle ADB$
रचना: C और D को मिलाओ ताकि यह AB को O पर मिले।
प्रमाण: A केंद्र वाले वृत्त में
AC = CD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴    $angle ACO space equals space angle ADO$ ...(i)
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
B केंद्र वाले वृत्त में,
BC = CD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
∴ $angle BCO space space equals space angle BDO$
  [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
(i) और (ii) को जोड़ने पर,
$angle ACO space plus space angle BCO space equals space angle ADO space plus space angle BDO$
अत:    $angle ACB space equals space angle ADB$

Question

Wired Faculty App

एक वृत्त की 5 cm तथा 11 cm दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Solution

O, वृत्त का केंद्र और AB = 5 सेमी, तथा CD = 11 सेमी है।
$OL space perpendicular space AB$ तथा $OM space perpendicular space CD$ खींचों।
चूंकि केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए OL = 2.5 cm
और CM = 5.5 cm
माना वृत्त की त्रिज्या r है।
$increment ALO$ में,    $straight r squared space equals space straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared$ ...(i)
$increment CMO$ में,    $straight r squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared$ ...(ii)
(i) और (ii) से
$straight x squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared space equals space left parenthesis 6 minus straight x right parenthesis squared plus left parenthesis 5.5 right parenthesis squared$
या $straight x squared plus 6.25 space equals space 36 plus straight x squared minus 12 straight x plus 30.25$
या $6.25 space equals space 36 minus 12 straight x plus 30.25$
या    $12 straight x space equals space 66.25 space minus space 6.25$
या 12x = 60
या x = 5
∴ $straight r squared space equals space left parenthesis 5 right parenthesis squared plus left parenthesis 2.5 right parenthesis squared$
या    $straight r squared space equals space 25 plus 25 over 4$
$straight r squared space equals space 125 over 4$
$straight r space equals space fraction numerator 5 square root of 5 over denominator 2 end fraction cm$