ज्ञात है: दो समकोण  और  उभयनिष्ठ कर्ण AC पर खींचे गए हैं।

प्रमाण:                 (ज्ञात है)
                         (ज्ञात है)  
∴ जो कि एक समकोण है। अत: यह एक अर्धवृत में बना कोण है अर्थात् एक वृत्त बिंदुओं B और D से होकर जाता है जिसका व्यास AC है।
अब  CD वृत्त कि एक जीवा है।
अत:  
                                 [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
 

ज्ञात है: एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।
प्रमाण:  
                                 [||gm की सम्मुख भुजाएँ]

इसलिए   
या          
या             
अत:  ABCD एक आयत है। 

  

ज्ञात है: दो वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: 
रचना: C और D को मिलाओ ताकि यह AB को O पर मिले।
प्रमाण: A केंद्र वाले वृत्त में 
                      AC = CD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴                                  ...(i)
                                    [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
B केंद्र वाले वृत्त में,
                 BC = CD  [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
 ∴          
                                        [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
(i) और (ii) को जोड़ने पर,
   
अत:       
                          

 

O, वृत्त का केंद्र और AB = 5 सेमी, तथा CD = 11  सेमी है। 
      तथा   खींचों।
चूंकि केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
   इसलिए    OL = 2.5 cm
और           CM = 5.5 cm
माना वृत्त की त्रिज्या r है। 
  में,                               ...(i)
 में,                         ...(ii)
(i) और (ii) से
                     
या              
या                        
या                       
या                       12x = 60
या                           x = 5
∴                              
या