वृत्त

  • Question 33
    CBSEHHIMAH9004471

    किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयों 6cm और 8cm हैं। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4cm की दुरी पर हो, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूर है?

    Solution

    ज्ञात है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है। जीवा AB = 6cm,  CD = 8 cm है।
          OP perpendicular AB और OQ perpendicular CD
                           AP = 3 cm
                           OP = 4 cm
    माना                  OQ = x
    माना                  त्रिज्या  = r cm

    increment AOP में,  straight r squared space equals space 4 squared plus left parenthesis 3 right parenthesis squared
    rightwards double arrow space space space space space space space straight r squared space equals space 25
rightwards double arrow space space space space space space space space space straight r space equals space 5
    अब  increment OCQ में,  straight r squared space equals space straight x squared plus 4 squared
    या      5 squared space equals space straight x squared plus 4 squared
    या      25 space equals space straight x squared plus 16
    या       straight x squared space equals space 9
    या       straight x equals square root of 9 equals 3
    अत: केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी = 3 cm.


             
                  
       

    Question 34
    CBSEHHIMAH9004472

    मान लीजिए की कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि angle BAC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।

    Solution
    ज्ञात है: angle BAC का शीर्ष B वृत्त से बाहर है। 
    चाप AD = चाप CE
    सिद्ध करना है: angle ABC space equals space 1 half left square bracket angle DOE minus angle AOC right square bracket
    प्रमाण: माना  angle AOC space equals space straight x space और space space angle DOE space equals space straight y

    माना             angle AOD space equals space straight z
    अब,            angle EOC space equals space straight z
    तथा       x + y + 2z = 360 degree
     ∴                2 straight z space equals space 360 degree space minus space left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis
                            straight z equals 180 degree minus 1 half left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis   ...(i)
                         angle ODB space equals space angle OAD plus angle DOA
space space space space space space space space space space space space space space equals 90 degree minus 1 half straight z plus straight z
space
                                    equals 90 degree plus 1 half straight z
    और               angle OEB space equals space 90 degree plus 1 half straight z
                                         open square brackets because angle ODB space equals space angle OEB close square brackets
    अब चतुर्भुज BDOE में,
           angle straight B plus straight y plus angle ODB plus angle OEB space equals 360 degree
    rightwards double arrow space angle straight B plus straight y plus left parenthesis 90 degree plus straight z over 2 right parenthesis plus left parenthesis 90 degree plus straight z over 2 right parenthesis space equals space 360 degree
rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus 180 degree plus straight z space equals space 360 degree
rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus straight z space equals space 360 degree minus 180 degree
rightwards double arrow space space space angle straight B plus straight y plus straight z space equals space 180 degree space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis ii right parenthesis
    (i)  और  (ii) से,
                 angle straight B plus straight y plus 180 degree minus 1 half left parenthesis straight x plus straight y right parenthesis space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space angle straight B plus straight y minus straight x over 2 minus straight x over 2 equals space 180 degree minus 180 degree
    rightwards double arrow space space space space angle straight B plus straight x over 2 minus straight y over 2 space equals space 0
rightwards double arrow space space space space angle straight B space equals space 1 half straight x minus 1 half straight y
rightwards double arrow space space angle ABC space equals space 1 half left parenthesis straight x minus straight y right parenthesis
य ा space space space space angle ABC space equals space 1 half left square bracket angle DOE space minus space angle AOC right square bracket.

     
     

     
    Question 35
    CBSEHHIMAH9004473

    सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है। 

    Solution
    ज्ञात है: एक समचतुर्भुज ABCD जिसमें AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है। विकर्ण AC और BD परस्पर O पर काटते हैं।
    सिद्ध करना है: वृत्त बिंदु से होकर जाता है।

    प्रमाण: चूँकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। 
                              therefore space space space space angle AOB space equals space समक ो ण space
    therefore  O,  वृत्त की परिधि पर स्थित है। 
    अर्थात् वृत्त बिंदु से होकर जाता है। 

     
    Question 36
    CBSEHHIMAH9004474

    ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो, तो बढ़ा कर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है। 

    Solution
    ज्ञात है: ABCD एक ||gm है। एक वृत्त बिंदुओं A, B और C से होकर जाता है जो कि CD को (बढ़े हुए CD को) बिंदु  E पर प्रतिच्छेद करता है।

    सिद्ध करना है: AE = AD
    रचना: A और E को मिलाओ।
    प्रमाण: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
    therefore space space angle AED space plus space angle ABC space equals space 180 degree               ...(i)
    अब, EDC एक सरल रेखा है।
    therefore space space space angle ADE space plus space angle ADC space equals space 180 degree
    या        angle ADE space plus space angle ABC space equals space 180 degree          ...(ii)
                             [∵ angle ADC space equals space angle ABC ||gm के सम्मुख कोण]
    (i) और (ii) की तुलना करने पर, 
                    angle AED space plus space angle ABC space equals space angle ADE plus angle ABC
    या               angle AED space equals space angle ADE
    चूँकि  increment AED में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान हैं।
    अत:    AE = AD
      
                 
     
     
      

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