वृत्त

  • Question 17
    CBSEHHIMAH9004455

    एक पार्क में बने 5m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?  

    Solution

     माना  KR = x m

    .ar left parenthesis triangle ORS right parenthesis equals ar left parenthesis triangle ORK right parenthesis plus ar left parenthesis triangle SRK right parenthesis
space space space space space space space space space space space space space space space equals space fraction numerator left parenthesis OK right parenthesis left parenthesis KR right parenthesis over denominator 2 end fraction plus fraction numerator left parenthesis KS right parenthesis left parenthesis KR right parenthesis over denominator 2 end fraction
space space space space space space space space space space space space space space space equals space fraction numerator left parenthesis KR right parenthesis left parenthesis OK plus KS right parenthesis over denominator 2 end fraction equals fraction numerator left parenthesis KR right parenthesis left parenthesis OS right parenthesis over denominator 2 end fraction
space space space space space space space space space space space space space space space equals space fraction numerator left parenthesis straight x right parenthesis left parenthesis 5 right parenthesis over denominator 2 end fraction space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space... left parenthesis 1 right parenthesis


    दोबारा, ar (∆ORS)
    equals fraction numerator RS cross times OL over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 6 cross times OL over denominator 3 end fraction
equals space fraction numerator 6 cross times square root of OR squared minus RL squared end root over denominator 2 end fraction
space space space space space space space space space space left square bracket प ा इथ ा ग ो रस space प ् रम े य space क े space प ् रय ो ग space स े space right square bracket
equals space space fraction numerator 6 cross times square root of left parenthesis 5 right parenthesis squared minus open parentheses begin display style RS over 2 end style close parentheses squared end root over denominator 2 end fraction
equals space fraction numerator 6 cross times square root of left parenthesis 5 right parenthesis squared minus open parentheses begin display style 6 over 2 end style close parentheses squared end root over denominator 2 end fraction
equals space fraction numerator 6 cross times square root of 25 minus 9 end root over denominator 2 end fraction
equals space fraction numerator 6 cross times 4 over denominator 2 end fraction equals space 12 space straight m space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space... left parenthesis 2 right parenthesis
    समीकरण (i) तथा (ii) के प्रयोग से:
    fraction numerator left parenthesis straight x right parenthesis left parenthesis 5 right parenthesis over denominator 2 end fraction equals 12 rightwards double arrow space space straight x equals fraction numerator 12 cross times 2 over denominator 5 end fraction equals 24 over 5 equals 4.8 space straight m

    ⇒ KR = 4.8 m
    ∴  RM = 2KR = 2 × (4.8) = 9.6 m
    अत: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 m है। 

     

    Question 18
    CBSEHHIMAH9004456

    20 m त्रिज्या का गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दुरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या = 20m और केंद्र O है।  
             AB = BC = CA
    ज्ञात करना है: किन्हीं दो बच्चों के बीच की दूरी।

    हल के पद: माना AB = BC = CA = x मीटर
    AOD perpendicular BC खींचों।
    अब,   BD space equals space straight x over 2
     पाइथागोरस प्रमेय से,
                OD squared space equals space OB squared minus BD squared
10 squared space equals space left parenthesis 20 right parenthesis squared minus left parenthesis straight x divided by 2 right parenthesis squared
100 space equals space 400 minus straight x squared over 4
                straight x squared over 4 space equals space 300
    rightwards double arrow space space space straight x squared space equals space 1200
space space space space space space space space space straight x space equals space square root of 1200 space equals space 20 square root of 3 space straight m
     अत: प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई = 20 square root of 3 straight m.


    Question 19
    CBSEHHIMAH9004457

    आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि angle BOC space equals space 30 degree तथा  angle AOB space equals space 60 degree है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु हैं , तो angle ADC ज्ञात कीजिए।



    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त जिसका केंद्र है। A, B, C वृत्त पर इस प्रकार स्थित हैं कि:
                         angle AOB space equals space 60 degree
    और               angle BOC space equals space 30 degree
    ज्ञात करना हैं:  angle ADC 
    हल के पद: हम जानते हैं कि:
                        angle AOC space equals space angle AOB space plus space angle BOC
space space space space space space space space space space space space space space space equals space 60 degree plus 30 degree space equals space 90 degree
    हम यह भी जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग में अंतरित कोण से दोगुना होता है।
    ∴                         angle AOC space equals space 2 angle ADC
    या                        angle ADC space equals space 1 half angle AOC
    या                          angle ADC space equals space 1 half cross times 90 degree space equals space 45 degree
    अत:                   angle ADC space equals space 45 degree

         

    Question 20
    CBSEHHIMAH9004458

    किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, जिसमें जीवा AB = वृत्त की त्रिज्या।
    ज्ञात करना है: angle APB और angle AQB.

    हल के पद: increment AOB में,
                         OA = OB = AB
    ∴   increment AOB एक समबाहु त्रिभुज है। 
     therefore space space space angle AOB space equals space 60 degree
    दीर्घ चाप AQB के लिए, चाप AB, केंद्र पर  angle AOB space equals space 60 degree और शेष भाग में angle AQB अंतरित करती है।
    therefore space space space angle QQB space equals space 1 half angle AOB space equals space 1 half cross times 60 degree space equals space 30 degree
    इसी प्रकार लघु चाप AB केंद्र पर बृहत् कोण angle AOB space शेष भाग में angle APB अंतरित करती है।
    therefore space space space space space space space angle APB space equals space 1 half cross times space ब ृ हत ् space space angle AOB
                       equals space 1 half cross times space left parenthesis 360 degree space minus space 60 degree right parenthesis
equals space 1 half cross times space 300 degree space equals space 150 degree
    अत:       angle APB space equals space 150 degree और angle AQB space equals space 30 degree
     

     

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