वृत्त

  • Question 37
    CBSEHHIMAH9004475

    AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि: 
    (i) AC और  BD व्यास हैं। 
    (ii) ABCD एक आयत है।  

    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त की दो जीवाएँ AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करती हैं। 
    सिद्ध करना है: (i) AC और  BD व्यास हैं।
    (ii) ABCD एक आयत हैं।

    प्रमाण: (i) increment AOB और increment OCD में, 
                      OA = OC (ज्ञात है)
                      OB = OD (ज्ञात है)
    therefore space space space space space space space angle AOB space equals space angle COD (शीर्षाभिमुख कोण)
    therefore space space space space increment OAB space approximately equal to space space increment OCD    (SAS नियम)
    therefore         AB = CD   (CPCT)
    इसलिए,          AB with overparenthesis on top space equals space CD with overparenthesis on top
                             (समान जीवाओं की समान चापें)
     AB with overparenthesis on top space plus space BC with overparenthesis on top space equals space CD with overparenthesis on top space plus space BC with overparenthesis on top
ABC with overparenthesis on top space equals space BCD with overparenthesis on top
AC space equals space BD
                        (समान चापों की संगत जीवाएँ)
     therefore  AC  और BD वृत्त के व्यास हैं।
                    [because space spaceकेवल व्यास ही परस्पर समद्विभाजित होते है]
    (ii)  चूँकि  AB = CD       [ऊपर सिद्ध किया है]
    और विकर्ण  AC व BD समान हैं और परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
    अत: ABCD एक आयत है।   
     

                                        
     


    Question 38
    CBSEHHIMAH9004476

    एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B, और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमश: D, E, और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए त्रिभुज DEF के कोण 90 degree minus 1 half straight A comma space space 90 degree minus 1 half straight B comma space space space तथ ा space space 90 degree minus 1 half straight C हैं। 

    Solution

    ज्ञात हैं:
     एक increment ABC जिसमें angle straight A comma space space angle straight B तथा angle straight C के समद्विभाजक क्रमश: AD, BE और CD हैं।
    सिद्ध करना है: angle straight D space equals space 90 degree minus straight A over 2
                         angle straight E space equals space 90 degree minus straight B over 2
angle straight F space equals space 90 degree minus straight C over 2
    प्रमाण: आकृति में दर्शाये गए अनुसार कोण बनाने पर, 
                 angle 1 space equals space angle 2 space equals space 1 half angle straight A
angle 3 space equals space angle 4 space equals space 1 half angle straight B
angle 5 space equals space angle 6 space equals space 1 half angle straight C
    अब,    angle ADE space equals space angle 3                          ...(i)
                        [∵ एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
    और     angle ADF space equals space angle 6
    (i) और  (ii) को जोड़ने पर
                            angle ADE plus angle ADF space space equals angle 3 plus angle 6
rightwards double arrow space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half angle straight B space plus space 1 half angle straight C
rightwards double arrow space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half left parenthesis angle straight B plus angle straight C right parenthesis
rightwards double arrow space space space space space space space space space space space angle straight D space equals space 1 half left parenthesis 180 degree minus angle straight A right parenthesis
                                 (∵ increment ABC के कोणों का योग  = 180 degree)
    rightwards double arrow space space space space space space space angle straight D space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight A over denominator 2 end fraction
    इसी प्रकार,      angle straight E space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight B over denominator 2 end fraction
                      angle straight F space equals space 90 degree minus fraction numerator angle straight C over denominator 2 end fraction
     



    Question 39
    CBSEHHIMAH9004477

    दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखण्ड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृतों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = PQ है।

    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जो कि सर्वांगसम है और A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर एक रेखाखण्ड PAQ खींचा गया है जबकि P और Q वृत्त पर स्थित हैं।

    सिद्ध करना है: BP = BQ
    रचना: A और B को मिलाओ।
    प्रमाण: चूँकि दो वृत्त सर्वांगसम है।
    ∴ AB इनकी उभयनिष्ठ जीवा है। अर्थात् AB की लम्बाई दोनों वृतों में समान है।
    चूँकि एक उभयनिष्ठ जीवा द्वारा अंतरित कोण दोनों वृतों में समान हैं।
                  ∴ angle straight P space equals space angle straight Q
    इस प्रकार,    BP = PQ
    [∵ समान कोणों के सामने की भुजाएँ समान होती हैं] 
       

    Question 40
    CBSEHHIMAH9004478

    किसी त्रिभुज ABC में, यदि angle straight A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध करों कि वे increment ABC को परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

    Solution
    ज्ञात है: increment ABC है जिसमें angle straight A का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक परस्पर D पर मिलते हैं। 
    सिद्ध करना है: बिंदु D, त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर स्थित मिलाओ।

    रचना: BD और CD को मिलाओ।
    प्रमाण: angle BCD space equals space angle BAD space equals space 1 half angle straight A
                                            (एक वृत्तखंड में स्थित कोण)
    और        angle DBC thin space space equals space angle DAC space equals space 1 half angle straight A
                                          (एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण)
    इसलिए         angle BCD space equals space angle DBC
    ∴                    DB = DC
                                   (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
    इस प्रकार, बिंदु लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

                                       

                                       
                                  
      

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