वृत्त

  • Question 13
    CBSEHHIMAH9004451

    5 cm तथा  3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनको केंद्रों के बीच की दूरी 4cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

    Solution
    ज्ञात है: दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमश: 5 cm तथा 3 cm हैं, परस्पर A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। PQ = 4 cm. जबकि P तथा Q दोनों वृतों के केंद्र हैं।

    ज्ञात करना हैं: उभयनिष्ठ जीवा AB की लम्बाई।
    प्रमाण: चूँकि P और Q वृत्तों के केंद्र हैं इसलिए PQ = 4 cm
    अब, केंद्र P और त्रिज्या = 5 cm लेकर एक वृत्त खींचो।
    पुन: केंद्र Q और त्रिज्या = 3 cm लेकर दूसरा वृत्त खींचो, जैसा कि आकृति में दिखाया गया हैं।
    माना A और B को मिलाने वाला रेखाखण्ड PQ को R पर प्रतिच्छेद करता है।
    अब   AR = RB  और  AB space perpendicular space PQ
    माना  QR = x, अब  AP = 5 cm और AQ = 3 cm
    increment ARP में,  AR squared space equals space 5 squared minus left parenthesis 4 minus straight x right parenthesis squared
    और समकोण  increment ARQ में
                        AR squared space equals space 3 squared minus straight x squared
            therefore space space space space space space space space space space space space space 5 squared minus left parenthesis 4 minus straight x right parenthesis squared equals space 3 squared minus straight x squared
space space space space space 25 minus left parenthesis 16 plus straight x squared minus 8 straight x right parenthesis space equals space 9 minus straight x squared
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 9 minus straight x squared plus 8 straight x space equals 9 minus straight x squared
space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 8 straight x space space equals space 0 space rightwards double arrow space space straight x space equals space 0 
    इस प्रकार Q और R संपाति हैं।
    therefore space space space space AR space equals space space 3 space cm
space space space space space space space space AB space equals space 2 space cross times space AR
space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 2 space cross times space 3 space equals space 6 space cm.
    अत:    AB = 6cm.

     

     
    Question 14
    CBSEHHIMAH9004452

    यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर हैं।

    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है। जीवा AB = जीवा CD है जो कि E पर प्रतिच्छेद करती हैं। OM perpendicular AB comma ON perpendicular CD और OE कों मिलाया गया है।

    सिद्ध करना है: AE = DE और  CE = BE.
    प्रमाण: increment OME और increment ONE में
                OE = OE            (उभयनिष्ठ)
                 OM  = ON
                  (समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती है)
                    angle OME space equals space angle ONE
                                       (प्रत्येक = 90 degree, ज्ञात हैं)
    इस प्रकार             increment OME space approximately equal to space increment ONE       (R.H.S. नियम)
    इसलिए                   ME = NE            ...(i) (CPCT)
    अब,                       AM space equals space 1 half AB
    और                        DN equals space 1 half CD
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है)
    परन्तु                 AB = CD            (ज्ञात है)
    ∴                      AM = DN              ...(ii)
    (i) और (ii) को जोड़ने पर,
               ME + AM = NE + DN
     अत:              AE = DE
    इस प्रकार,        CE = BE
     
     
     

                                                                     
    Question 15
    CBSEHHIMAH9004453

    यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

    Solution
    ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, में जीवा AB  = जीवा CD जो कि पर प्रतिच्छेद करती हैं। OE को मिलाया गया है।
    सिद्ध करना है: angle OEA space equals space angle OED
    रचना: OP perpendicular AB और  OQ space perpendicular space CD खींचो।
    प्रमाण: increment OPE space और increment OQE में,
    OE = OE (उभयनिष्ठ)
    OP = OQ
    (समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती है)

    angle OPE space equals space angle OQE
    (प्रत्येक = 90 degree रचना से)
    इस प्रकार,     increment OPE space approximately equal to space space space increment OQE         (RHS  नियम)
    अत:             angle OEP space approximately equal to space space angle OEQ
    या               angle OEA space equals space angle OED
     

         
    Question 16
    CBSEHHIMAH9004454

    यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए:

    Solution

    दो सकेंद्रीय वृत्त जिनका केंद्र O है। एक रेखा इन दो वृत्तों को A, B, C और D पर प्रतिछेद करती हैं।

    सिद्ध करना है: AB = CD
    रचना: OM perpendicular BC खींचों।
    प्रमाण: चूँकि BC छोटे वृत्त की एक जीवा है और OM space perpendicular space BC.
    ∴            BM = CM           ...(i)
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।)
    पुन:   AD बड़े वृत्त की एक जीवा है और OM perpendicular AD
    ∴           AM = BM            ...(ii)
    (केंद्र से जीवा पर लम्ब इसे समद्विभाजित करता है।)
    (ii) में (i) को घटाने पर, 
             AM - BM  = DM - CM
    अत:     AB = CD 
         
      

     
      
     

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