वर्ग और वर्गमूल

  • Question 69
    CBSEHHIMAH8003920

    निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं? 
    (i) 121            (ii) 55                     (iii) 81
    (iv) 49            (v) 69

    Solution

    (i) दी गई संख्या 121 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 घटाएँ।
      121 - 1 = 120,       120 - 3 = 117,         117 - 5 = 112       
      112 - 7 = 105,       105 - 9 = 96,           96 -11 = 85
      85 - 13 = 72,         72 -15 = 57,            57-17 = 40
      40 - 19 = 21          21 - 21 = 0
    इसका अर्थ है  121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21
    therefore 121 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
    (ii) दी गई संख्या 55 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 घटाएँ।
     55 - 1 = 54,    54 - 3 = 51,    51 - 5 = 46,    46 - 7 = 39,
     39 - 9 = 30,    30 - 11 = 19,  19 -13 = 6,     6 - 15 = -9
    यह दर्शाता है कि 55 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।   
      therefore 55 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है। 
    (iii) दी गई संख्या 81 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाएँ।
    81 - 1 = 80,   80 - 3 = 77,    77 -5 = 72,  72 - 7 = 65,
    65 - 9 = 56,   56 - 11 = 45,  45-13 =32,   32 - 15 = 17,
    17 - 17 = 0
    इसका अर्थ है  81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 
    therefore एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
    (iv) दी गई संख्या 49 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 घटाएँ।
    49 - 1 = 48,   48 - 3 = 45,    45 - 5 = 40, 40 - 7 = 33
    33 - 9 = 24,   24 -11 = 13,    13 - 13 = 0
    इसका अर्थ है  49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
    therefore एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
    (v) दी गई संख्या 81 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 घटाएँ।
    69 - 1 = 68,    68 - 3 = 65,    65 - 5 = 60,  60 - 7 = 53
    53 - 9 = 44,    44 - 11 =33,   33 - 13 = 20,  20 -17 = 3,
    3 - 19 = -16
    यह दर्शाता है कि 69 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।   
      therefore 69 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।  


    Question 70
    CBSEHHIMAH8003921

    निम्नलिखित संख्याओं को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में लिखिए:
    (i) 212        (ii) 132          (iii) 112                (iv) 192

    Solution

    (i)  n = 21
    ∴    space space space space space space space fraction numerator straight n squared minus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 441 minus 1 over denominator 2 end fraction equals 440 over 2 equals 220 space space
           space space space space space fraction numerator straight n squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 441 plus 1 over denominator 2 end fraction equals 442 over 2 equals 221
        therefore space straight n squared space equals space fraction numerator straight n squared minus 1 over denominator 2 end fraction plus fraction numerator straight n squared plus 1 over denominator 2 end fraction
    or    212  = 220 + 221 = 441


    (ii)  n = 13
           therefore space space space space space space space space space space space space space space space fraction numerator straight n squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 13 squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 169 plus 1 over denominator 2 end fraction equals 85
space space


                  space space space space space fraction numerator straight n squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 13 squared minus 1 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 169 minus 1 over denominator 2 end fraction equals 84

                132 = 85 + 84 = 169

               
    Similarly,  
      (iii)            112 = 60 + 61 = 1216
               space space space space space space space space space space open square brackets space because space space fraction numerator 11 squared minus 1 over denominator 2 end fraction equals 60 space and space fraction numerator 11 squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals 61 close square brackets
      (iv)          192 = 180 + 181 = 361
                 space space space space space space space space space space space space open square brackets space because space space fraction numerator 19 squared minus 1 over denominator 2 end fraction equals 180 space and space fraction numerator 119 squared plus 1 over denominator 2 end fraction equals 181 close square brackets

    Question 71
    CBSEHHIMAH8003922

    क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम सत्य है अर्थात् क्या दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर के पक्ष में अपने एक उदहारण दीजिए।             

    Solution

    दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्ण वर्ग नहीं होता है। उदहारण स्वरूप:
     5 + 6  = 11,   21 + 22 = 43 इत्यादि। यहाँ 5 और 6 तथा  21 और 22 क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, परन्तु इनका योग पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हैं। 

    Question 72
    CBSEHHIMAH8003923

    उपरोक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए वर्ग संख्याएँ लिखिए:  
    (i) 1111112         (ii) 11111112

    Solution

    12      =                         1
    112    =                  1      2      1
    1112   =             1   2      3      2        1
    11112  =       1    2   3      4      3        2 
    111112  =  1  2    3   4      5      4        3

    उपरोक्त प्रतिरूप का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:

    (i) (111111)2 = 12345654321

    (ii) (1111111)2 = 1234567654321


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