वर्ग और वर्गमूल

(i) 121 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
121 - 1 = 120          120 - 3 = 117              117 - 5 = 112
112 -7  = 105          105 - 9 = 96                 96 - 11 = 85
85 - 13 = 72            72 - 15 = 57                 57 - 17 = 40
40 - 19 = 21             21 - 21 = 0
हमें 1 से 11 तक पद प्राप्त होते हैं और 121 को 1 से प्रारंभ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अत: 121 का पूर्ण वर्ग हैं और
(ii) 55 में से 1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:     
   55 - 1 = 54                54 - 3 = 51             51 - 5 = 46
   46 - 7 = 39                39 - 9 = 30             30 - 11 = 19
   19 - 13 = 6                6 - 15 = -9
यह दर्शाता है कि हम 55 को 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत संख्याओं को योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
 55 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 36 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
 36 - 1 = 35         35 - 3 = 32         32 - 5 = 27
 27 - 7 = 20         20 - 9 = 11         11 - 11 = 0
हमें 1 से 6 तक पद प्राप्त होते हैं और 36 को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अत: 36 का पूर्ण वर्ग हैं और 
(iv) 49 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
49 - 1 = 48            48 - 3 = 45             45 - 5 = 40
40 - 7 = 33            33 - 9 = 24             24 - 11 = 13
13 - 13 = 0
हमें 1 से 7 तक पद प्राप्त होते हैं और 49 को 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं अत: 49 का पूर्ण वर्ग हैं और 
(v) 90 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
90 - 1 = 89            89 - 3 = 86                86 - 5 = 81
81 - 7 = 74            74 - 9 = 65                65 - 11 =54
54 - 13 = 41           41 - 15 = 26              26 - 17 = 9
9 - 19 = -10
यह दर्शाता है कि हम 90 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।   

संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की संभावना:
(i) 9801 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
( ∵ 1 x 1 = 1 and 9 x 9 = 81)
(ii) 99856 के वर्गमूल में इकाई का अंक 4 या 6 होगा।
( ∵ 4 x 4 = 16 and 6 x 6 = 36)
(iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
( ∵ 1 x 1 = 1 and 9 x 9 = 81)
(iv) 657666025 के वर्गमूल में इकाई का अंक 5 होगा। 
( ∵  5 x 5 = 25)

 

हम जानते हैं कि 2, 3, 7 या 8 से समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं। अत: 
(i) 153 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
(ii) 257 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
(iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
(iv) 441 पूर्ण वर्ग हो सकती हैं।
अत: 153, 257 और 408 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

(i)   
100 में से हम 1 से प्रारंभ करके क्रमश: विषम संख्याएँ घटाएँगे:           
                       100 - 1 = 99                 99 - 3 = 96             96 - 5 = 91
                        91 - 7 = 84                  84 - 9 = 75            75 - 11 = 64
                        64 - 13 = 51                 51 - 15 = 36           36 - 17 = 19
                        19 - 19 = 0
यहाँ, 10वाँ पद 0 प्राप्त होता है। 

(ii) 169 में से हम 1 से प्रारंभ करके क्रमश: विषम संख्याएँ घटाएँगे:            
                       169 - 1 = 168                 168 - 3 = 165            165 - 5 = 160
                       160 - 7 = 153                 153 - 9 = 144            144 - 11 = 133
                       133 - 13 = 120                120 - 15 = 105          105 - 17 = 88
                        88 - 19 = 69                   69 - 21 = 48             48 - 23 = 25
                         25 - 25 = 0

यहाँ, 13वाँ पद 0 प्राप्त होता है।