वर्ग और वर्गमूल

  • Question 89
    CBSEHHIMAH8003940

    1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं को बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए।     
    (i) 121       (ii) 55           (iii) 36      (iv) 49     (v) 90

    Solution

    (i) 121 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
    121 - 1 = 120          120 - 3 = 117              117 - 5 = 112
    112 -7  = 105          105 - 9 = 96                 96 - 11 = 85
    85 - 13 = 72            72 - 15 = 57                 57 - 17 = 40
    40 - 19 = 21             21 - 21 = 0
    हमें 1 से 11 तक पद प्राप्त होते हैं और 121 को 1 से प्रारंभ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अत: 121 का पूर्ण वर्ग हैं और square root of 121 space equals 11
    (ii) 55 में से 1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:     
       55 - 1 = 54                54 - 3 = 51             51 - 5 = 46
       46 - 7 = 39                39 - 9 = 30             30 - 11 = 19
       19 - 13 = 6                6 - 15 = -9
    यह दर्शाता है कि हम 55 को 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत संख्याओं को योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
    therefore 55 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
    (iii) 36 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
     36 - 1 = 35         35 - 3 = 32         32 - 5 = 27
     27 - 7 = 20         20 - 9 = 11         11 - 11 = 0
    हमें 1 से 6 तक पद प्राप्त होते हैं और 36 को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अत: 36 का पूर्ण वर्ग हैं और  square root of 36 space equals space 6
    (iv) 49 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
    49 - 1 = 48            48 - 3 = 45             45 - 5 = 40
    40 - 7 = 33            33 - 9 = 24             24 - 11 = 13
    13 - 13 = 0
    हमें 1 से 7 तक पद प्राप्त होते हैं और 49 को 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं अत: 49 का पूर्ण वर्ग हैं और  square root of 49 space equals space 7
    (v) 90 में से हम क्रमश:1 से प्रारंभ करके विषम संख्याओं को घटायेंगे:
    90 - 1 = 89            89 - 3 = 86                86 - 5 = 81
    81 - 7 = 74            74 - 9 = 65                65 - 11 =54
    54 - 13 = 41           41 - 15 = 26              26 - 17 = 9
    9 - 19 = -10
    यह दर्शाता है कि हम 90 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।
    therefore 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।   

    Question 90
    CBSEHHIMAH8003941

    निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या संभावना है। 

    (i) 9801   (ii) 99856    (iii) 998001    (iv) 657666025

    Solution

    संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की संभावना:
    (i) 9801 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
     1 x 1 = 1 and 9 x 9 = 81)
    (ii) 99856 के वर्गमूल में इकाई का अंक 4 या 6 होगा।
     4 x 4 = 16 and 6 x 6 = 36)
    (iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
     1 x 1 = 1 and 9 x 9 = 81)
    (iv) 657666025 के वर्गमूल में इकाई का अंक 5 होगा। 
      5 x 5 = 25)

    Question 91
    CBSEHHIMAH8003942

    बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है। 
    (i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441

    Solution

     

    हम जानते हैं कि 2, 3, 7 या 8 से समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं। अत: 
    (i) 153 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
    (ii) 257 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
    (iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
    (iv) 441 पूर्ण वर्ग हो सकती हैं।
    अत: 153, 257 और 408 पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

    Question 92
    CBSEHHIMAH8003943

    बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

    Solution

    (i)  square root of 100 
    100 में से हम 1 से प्रारंभ करके क्रमश: विषम संख्याएँ घटाएँगे:           
                           100 - 1 = 99                 99 - 3 = 96             96 - 5 = 91
                            91 - 7 = 84                  84 - 9 = 75            75 - 11 = 64
                            64 - 13 = 51                 51 - 15 = 36           36 - 17 = 19
                            19 - 19 = 0
    यहाँ, 10वाँ पद 0 प्राप्त होता है। 
    therefore space square root of 100 space equals space 10


    (ii) 169 में से हम 1 से प्रारंभ करके क्रमश: विषम संख्याएँ घटाएँगे:            
                           169 - 1 = 168                 168 - 3 = 165            165 - 5 = 160
                           160 - 7 = 153                 153 - 9 = 144            144 - 11 = 133
                           133 - 13 = 120                120 - 15 = 105          105 - 17 = 88
                            88 - 19 = 69                   69 - 21 = 48             48 - 23 = 25
                             25 - 25 = 0

    यहाँ, 13वाँ पद 0 प्राप्त होता है। 
    therefore space square root of 169 space equals space 13

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