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वृत्त

Question
CBSEHHIMAH10010304
Wired Faculty App

यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80 degree के कोण पर झुकी हों, तो angle POA बराबर है:  

  • 50°  
  • 60°
  • 70°
  • 80°

Solution

A.

50°  

ΔPOA और ΔPOB में, 
PA = PB  (बाह्य बिंदु से समान स्पर्श रेखाएँ)
OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)
और    OP = OP (उभयनिष्ठ)
∴        ΔPOA ≅ ΔPOB (SSS सर्वांगसमता)
⇒        angle OPA space equals space angle OPB  
⇒        angle OPA space equals space angle OPB space equals space 1 half cross times 80 degree space equals space 40 degree

हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90° का कोण होता है।
∴       angle OAP space equals space 90 degree
अब ΔOAP में,
angle OAP plus angle OPA plus angle POA space equals space 180 degree
rightwards double arrow space space 90 degree space plus space 40 degree space plus space angle POA space equals space 180 degree rightwards double arrow space 130 degree space plus space angle POA space equals space 180 degree rightwards double arrow space space space space space space angle POA space equals space 50 degree

 

 

Question
CBSEHHIMAH10010305
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सिद्ध कीजिए की किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

Solution

माना AB और CD स्पर्श रेखा वृत्त को P तथा Q पर स्पर्श करती हैं।


हम जानते हैं की स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या लम्बवत्त होते हैं।  
∴  angle APQ = 90°    ....(i)
और  angle PQD space equals space 90 degree  ...(ii)
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) के प्रयोग से,
angle APQ space equals space angle PQD [∵ वैकल्पिक आंतरिक कोण]
∴ AB || CD.

Question
CBSEHHIMAH10010306
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सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त से होकर जाता है। 

Solution


माना AMB तथा CND दो समांतर स्पर्श रेखाएँ है जो O केंद्र वाले वृत्त को M तथा N पर स्पर्श करती हैं। OP || AB खींचें।
अब, AM || PO
⇒ angle AMO plus angle POM space equals space 180 degree
(क्रमागत आंतरिक कोण है)
rightwards double arrow space 90 degree space plus space angle POM space equals space 180 degree rightwards double arrow space angle POM space equals space 90 degree
इसी प्रकार, angle PON space equals space 90 degree
therefore space space angle POM space plus space angle PON space equals space 90 degree space plus space 90 degree space equals space 180 degree
अत: स्पर्श रेखा पर खींचा गया MON लंब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।

Question
CBSEHHIMAH10010307
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एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Solution

हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या लम्बवत्त होते हैं।
therefore      angle OPQ space equals space 90 degree
दिया गया हैं OQ = 5 cm
              PQ = 4 cm

समकोण ΔOPQ में,
OQ2 = OP2 + PQ2
[पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से] 
OP2 = OQ2 – PQ2
⇒ OP2 = (5)2 – (4)2
= 25 – 16 = 9
⇒ OP = 3 cm
अत: वृत्त की त्रिज्या = 3 cm

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