Question

दो सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5cm तथा 3cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

Solution

माना, दिए गए दो सकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र O है तथा PQ बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु M पर स्पर्श करती है।
OP तथा OM को मिलाओ।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और त्रिज्या परस्पर लम्बवत्त होती है।

∴ $angle OMP space equals space 90 degree$
अब, समकोण ΔOMP में,
OP² = OM² + PM²[पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से]
⇒ (5)² = (3)² + PM²⇒ 25 = 9 + PM²⇒ PM² = 16
⇒ PM = 4 cm
PM = MQ = 4 cm
∴ PQ = 2 PM = 2 x 4 = 8 cm
अत: जीवा AB की लंबाई = 8 cm

Question

Wired Faculty App

एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज खींचा गया है (देखिए सलंग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए:
AB + CD = AD + BC.

Solution

हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं:

∴ AP = AS    ...(i)
BP = BQ    ...(ii)
CR = CQ    ...(iii)
और DR = DS    ...(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii), व (iv) को जोड़ने पर
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
अत: AB + CD = BC + DA.

Question

Wired Faculty App

सलंग्न आकृति में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $angle AOB space equals space 90 degree$ है।

Solution

दिया है: XY और X'Y' केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा स्पर्श बिंदु C वाली एक अन्य स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। OAऔर OB को मिलाने पर $angle AOB$ प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है: $angle AOB space equals space 90 degree$
रचना - O और C को मिलाइए। इसी प्रकार स्पर्श रेखाओं XY और X'Y' के स्पर्श बिंदु P और Q को O से मिलाएँ।
प्रमाण: क्योंकि XY स्पर्श रेखा है और OP एक त्रिज्या है।
∴ $angle OPA space space equals space 90 degree$ ...(i)
इसी प्रकार, AB स्पर्श रेखा है और OC एक त्रिज्या है।
∴ $angle OCA space equals space 90 degree$ ...(ii)
अब समकोण $increment OPA$ और समकोण $increment OCA$ में,
AP = PC (बाह्य बिंदु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
$angle OPA space equals space angle OCA$ (प्रत्येक $90 degree$ )
OA = OA (उभयनिष्ठ)
अत: $increment OPA space approximately equal to space increment OCA$ (समकोण-कर्ण भुजा सर्वांगसम नियम से)
$rightwards double arrow$ $angle POA space equals space angle COA$ ...(iii)
इसी प्रकार $angle QOB space equals space angle COB$ ...(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
$angle POA plus angle QOB space equals space angle COA plus angle COB space equals space 1 half cross times 180 degree$ [∵ POQ एक सरल रेखा है]
$rightwards double arrow space space space space angle COA plus angle COB space equals space 90 degree rightwards double arrow space space space space space space space space space space space angle AOB space equals space 90 degree$

Question

Wired Faculty App

सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

Solution

दिया है: एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु P से PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: $angle APB plus angle AOB space equals space 180 degree$
रचना: A व B को वृत्त के केंद्र O से मिलाओ।
प्रमाण: क्योंकि PA स्पर्श रेखा है और त्रिज्या है।
$therefore$    $OA perpendicular PA$
$rightwards double arrow$ $angle PAO space equals space 90 degree$ ...(i)
इसी प्रकार, $angle PBO space equals space 90 degree$ ...(ii)
चतुर्भुज PAOB में,
$angle APB space plus space angle PAO space plus space angle AOB space plus space angle PBO space equals space 360 degree space space space space space space space space angle APB space plus space 90 degree space plus space angle AOB space plus space 90 degree space equals space 360 degree$
$rightwards double arrow$    $angle AOB space plus space angle APB space equals space 360 degree minus 90 degree minus 90 degree space equals space 180 degree$
अत: एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच कोण का स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपर्क होता है।