वृत्त

  • Question 17
    CBSEHHIMAH10010312

    सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।  

    Solution
    माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज हैं जिसकी चारों भुजाएँ एक वृत्त को जिसका केंद्र O हैं EFGH बिंदुओं पर स्पर्श  करती हैं। 

    हम जानते हैं कि किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती है।
    ∴    AE = AH    ...(i)   [बिंदु Aसे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
         BE = BF    ....(ii)  [बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
         CG = CF    ...(iii) [बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
    और    DG = DH    ....(iv) [बिंदु D से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ] 
    समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
    AE + BE + GC + DG = AH + BF + CF + DH
    ⇒ (AE + BE) + (GC + DG)
    = (AH + DH) + (BF + CF)
    ⇒ AB + CD = AD + BC
    ⇒    2 AB = 2BC
    या       AB = BC
    इसलिए समानांतर चतुर्भुज ABCD में AB = BC = CD = AD
    अत:  ABCD एक समचतुर्भुज है। 

    Question 18
    CBSEHHIMAH10010313

    4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमश: 8cm और 6cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

      

    Solution

    माना, increment ABC का अंत: केंद्र O इस प्रकार है कि-
                     OD = OE = OF = 4 cm
                          BD = BE = 8 cm        (बाह्य बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ)
                          CD = CF = 6cm         (बाह्य बिंदु C से स्पर्श रेखाएँ)
    माना          AF = AE = x cm               (बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

    अब 
                       AB = AE + BE = (x+8) cm
                       AC = AF + CF = (x+6) cm
                       BC = CD + BD = 6 + 8 = 14 cm
    अब increment ABC thin space में,
                         straight S space equals space fraction numerator 14 plus left parenthesis straight x plus 6 right parenthesis plus left parenthesis straight x plus 8 right parenthesis over denominator 2 end fraction
                           equals space fraction numerator 2 straight x plus 28 over denominator 2 end fraction space equals space straight x plus 14  
    त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 

    equals square root of straight s open parentheses straight s minus straight a close parentheses left parenthesis straight s minus straight b right parenthesis left parenthesis straight s minus straight c right parenthesis end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space
equals square root of left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus 14 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus straight x minus 8 right parenthesis left parenthesis straight x plus 14 minus straight x minus 6 right parenthesis end root
equals square root of straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis left parenthesis 6 right parenthesis left parenthesis 8 right parenthesis end root
equals square root of 48 straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space... left parenthesis straight i right parenthesis
    परन्तु, increment ABC का क्षेत्रफल  = left parenthesis increment BOC plus increment AOC plus increment AOB right parenthesis का क्षेत्रफल, 
    equals 1 half straight x space BC space straight x space OD space plus space 1 half straight x space AC space straight x space OE space plus 1 half straight x space AB space straight x space OF
    equals space 1 half cross times 14 cross times 4 plus 1 half cross times left parenthesis straight x plus 8 right parenthesis cross times 4 plus 1 half cross times left parenthesis straight x plus 6 right parenthesis cross times 4
    = 28 + 2 (x + 8) + 2 (x + 6)
    = 28 + 2x + 16 + 2x + 12
    = 4x + 56                                                ...(ii)
    समीकरण (i) व (ii) की तुलना से'
            square root of 48 straight x left parenthesis straight x plus 14 right parenthesis end root space equals space 4 straight x space plus space 56
    दोनों ओर का वर्ग करने पर, 
          48x (x + 14) = (4x + 56 )   
    rightwards double arrow  48x (x + 14) = (4 (x + 14)]
    rightwards double arrow  48x (x + 14) = 16 (x + 14)]
    rightwards double arrow   3x (x + 14) = (x + 14)
    rightwards double arrow  3x (x + 14) - (x + 14) = 0
    rightwards double arrow space (x + 14) [3x - (x + 14)] = 0
    rightwards double arrow   3x - x - 14 = 0
    rightwards double arrow   2x - 14 = 0
    rightwards double arrow          2x = 14
    rightwards double arrow            x = 7
    अत:         AB = x + 8 = 7 + 8  = 15 cm
                   AC = x + 6 = 7 + 6  = 13 cm

    Question 19
    CBSEHHIMAH10010314

    सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

    Solution

    दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है जोकि एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और को क्रमश: बिंदुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।
    सिद्ध करना है: angle AOB space plus space angle COD space equals space 180 degree
    angle AOD plus angle BOC equals space space 180 degree

    रचना: OP, OQ, OR तथा OS को मिलाइए।  
    प्रमाण: हम जानते हैं की बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। 
    ∴   angle 1 space equals space angle 2 comma space angle 3 space equals space angle 4 comma space angle 5 space equals space angle 6 comma space angle 7 space equals space angle 8
    हम जानते हैं कि बिंदु O पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है। 
    angle 1 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 4 plus angle 5 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 8 space equals space 360 degree
    या      angle 2 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 7 space equals space 360 degree
    rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 2 left parenthesis angle 2 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 7 right parenthesis space equals space 360 degree
    rightwards double arrow space space space space space angle 2 plus angle 3 plus angle 6 plus angle 7 space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space space space left parenthesis angle 6 plus angle 7 right parenthesis space plus space left parenthesis angle 2 plus angle 3 right parenthesis space equals space 180 degree
    rightwards double arrow space space space angle AOB space plus space angle COD space equals space 180 degree
    इसी प्रकार,
                   angle AOD space plus space angle BOC space equals space 180 degree
                       



    Question 20
    CBSEHHIMAH10010467

    एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए की उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो। 

    Solution

    दी गई रेखा l के समांतर दो रेखाएँ m और n खींचिए। अब रेखाओं l, m और n से एक लंब xy खींचिए। रेखाखंड xy पर एक बिंदु O तथा रेखा m पर बिंदु P लीजिए। O केंद्र तथा OP को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए जो n को Q तथा R पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार m स्पर्श रेखा तथा n छेदक रेखा होगी।
          

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