वृत्त

  • Question 25
    CBSEHHIMAH10010505

    सिध्द कीजिए कि एक वृत्त के व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं। 

    Solution

    angle PAO space equals space angle OBS space equals space 90 degree
ल े क ि न space य े space व ै कल ् प ि क space आ ं तर ि क space क ो ण space ह ैं। space
therefore space PQ space parallel to space RS
    स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।
    Question 26
    CBSEHHIMAH10010514

    O केंद्र वाले वृत्त पर एक बाह्म बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिध्द कीजिए कि angle space PTQ space equals space 2 angle space OPQ 

    Solution

    दिया है : TP और TQ एक सर्कल की दो स्पर्शरेखाएँ हैं। केंद्र O और P और Q संपर्क के बिंदु हैं। 
    सिद्ध करना : ∠PTQ=2∠OPQ
    मान लीजिए, ∠PTQ=θ
    अब प्रमेय के अनुसार, "एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त में खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई बराबर होती है"
    इसलिए, TPQ एक आइसोकेलस त्रिकोण है।
    angle TPQ space equals space angle TQP space equals space begin inline style 1 half end style space left parenthesis 180 degree space minus space straight theta right parenthesis space equals space 90 degree space minus space begin inline style straight theta over 2 end style
    इसके अलावा प्रमेय के अनुसार "किसी भी बिंदु के स्पर्शरेन्ट त्रिज्या के संपर्क के बिंदु से लंबवत हैं" ∠OPT = 90 °,
    अतः, 
    ∠OPQ=∠OPT−∠TPQ
    equals space 90 degree space minus space left parenthesis 90 degree space minus space begin inline style 1 half end style straight theta right parenthesis
equals space begin inline style 1 half end style straight theta
equals space begin inline style 1 half end style angle PTQ
space अत colon comma space angle PTQ space equals space 2 angle OPQ space

    Question 27
    CBSEHHIMAH10010532

    सिद्ध कीजिए कि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है

    Solution

    O में केंद्रित एक वृत्त खींचे
    Prove that the lengths of tangents drawn from an external point to a c
    ΔOPR और ΔOQR में,
    OP=OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्या है)
    ∠OPR =∠OQR (PR और QR बाह्य बिंदु R से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा)
    OR=OR (सामान्य पक्ष)
    ∆OPR ≅ ∆OQR (By R.H.S)∴ PR = QR (C.P.C.T)
    इस प्रकार,एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है

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